Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [20]

Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f,g:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$, με 

$f(e)=g(1)=1$, $f(e^{-1})=-1$ και $g(e)=e^{-1}$

οι οποίες ικανοποιούν τις συνθήκες: 

• $f^{\prime }(x)=g(x)$, για κάθε $x\in (0,+\mathrm{\infty })$ 
• $xf(x)f^{\prime }(x)+x^2{g}^2(x)+x^{2}f(x)g^{\prime }(x)=1$, για κάθε $x\in (0,+\mathrm{\infty })$ 

α) Να αποδείξετε ότι 

$f(x)g(x)={\displaystyle \frac{\ln x}{x}}$, $x\in (0,+\mathrm{\infty })$. 

 Αν επιπλέον θεωρήσουμε τη συνάρτηση $h(x)=f(x)g(x)$, $x\in (0,+\mathrm{\infty })$, τότε: 

 β) i) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $h$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 

 ii) Να αποδείξετε ότι 

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [21]

Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν:

1. Είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $(0,+\mathrm{\infty })$.
2. Παρουσιάζει μέγιστο στη θέση $x_0$ με τιμή $f(x_0)=2x_0$.
3. $f^{\prime }(x)<0$ για κάθε $x\in (0,x_0]$. 
4. Έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο $+\mathrm{\infty }$ την ευθεία $y=0$.

α) Να υπολογίσετε (αν υπάρχουν) τα όρια:

i) $\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{1}{f(x)}}$

ii) $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{x+f(x)}{\sqrt{x^2+1}-1}}$ 

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [13]

Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[0,\pi ]\to \mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν:  

• $(1+\eta \mu x{)}^2{f}^{\prime }(x)=\sigma \upsilon \nu x$, για κάθε $x\in [0,\pi ]$ 
• $f(0)=0$ 

α) Να αποδείξετε ότι 

$f(x)=1-{\displaystyle \frac{1}{1+\eta \mu x}}$, $x\in [0,\pi ]$.

 

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και την κυρτότητα. 

γ) Να βρείτε το όριο 

$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\eta \mu 2x-x}{xf(x)}}$. 

δ) Να λύσετε την εξίσωση 

$2f(x)=(2x-\pi )f^{\prime }(x)+1$. 

ε) Να εξετάσετε αν η ευθεία $x=\rho$, όπου $\rho$ η ρίζα της εξίσωσης του ερωτήματος (δ), χωρίζει το χωρίο $\mathrm{\Omega }$ που περικλείεται από τη γραφική παράσταση $C_f$ της συνάρτησης $f$ και τον άξονα $x^{\prime }x$, σε δύο ισεμβαδικά χωρία.

ΨΗΦΙΑΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ : Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου | ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΘΕΩΡΙΑΣ: 'Ολοι οι αρισμοί του βιβλίου

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικά Θέματα από το digitalschool.gov [2-3]

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [106]

Η συνάρτηση $g$ είναι τέτοια ώστε η δεύτερη παράγωγος $g^{″}$ να είναι συνεχής, με $g^{″}(x)\ge 1$. 

Δείξτε ότι αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής με $f(0)=f(1)=0$, τότε $${\int }_0^1{f}^2(x)e^{g(x)}dx\le {\int }_0^1(f^{\prime }(x){)}^2{e}^{g(x)}dx.$$

Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [8]

 Του Δημήτρη Σπαθάρα  

Δίνεται η συνάρτηση 

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x\ln x}{x-1}}+3-\underset{x\to 1}{lim}f(x),& \text{αν }0<x\ne 1\\ 2,& \text{αν }x=1\end{array}$ 

Δ1) Να δείξετε ότι 

$\underset{x\to 1}{lim}f(x)=2$. 

Δ2) Να δείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής, γνησίως αύξουσα και κοίλη στο $(0,+\mathrm{\infty })$. 

Δ3) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας $AB$, όπου $A(1,f(1))$ και $B(2,f(2))$ και στη συνέχεια να δείξετε ότι για κάθε $x\in [1,2]$ η γραφική παράσταση της $f$ βρίσκεται πάνω από την ευθεία $AB$ εκτός από τα κοινά τους σημεία $A$ και $B$. 

Δ4) α) Να δείξετε ότι 

${\int }_1^{2}f(x)dx>{\displaystyle \frac{3+\ln 4}{2}}$.

 β) Να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία της παραπάνω ανισότητας.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικά Θέματα από το digitalschool.gov [1]

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει: 

• $f(e)=1$
• $x^2{f}^{\prime }(x)+xf(x)-1=x$, για κάθε $x\in (0,+\mathrm{\infty })$ 

i) Να αποδείξετε ότι 

$f(x)={\displaystyle \frac{\ln x}{x}}+1$, $x\in (0,+\mathrm{\infty })$. 

ii) Να μελετήσετε την $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 

ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών και τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της $f$. 

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [12]

Δίνονται οι συναρτήσεις 

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{e^x}{x^x}},& x>0\\ 1,& x=0\end{array}$ 

και 

$g(x)={\ln }^{2}x-{\displaystyle \frac{1}{x}},x>0$. 

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $x_0=0$. 

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία και να χαρακτηρίσετε τα ακρότατα. 

γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $g(x)=0$ έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα $(0,+\mathrm{\infty })$. 

δ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη κυρτότητα και να αποδείξετε ότι η $C_f$ έχει ένα ακριβώς σημείο καμπής.

ΨΗΦΙΑΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ : Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου | ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΘΕΩΡΙΑΣ: Αποδείξεις – Διατυπώσεις - Γεωμετρικές Ερμηνείες

Interactive applet: The Sandwich Theorem (or the Squeeze Theorem)

Click on the image.

Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [7]

Έστω συνάρτηση $g:[0,+\mathrm{\infty })\to [0,+\mathrm{\infty })$ για την οποία ισχύει: 

$$(g\circ g)(x)-g(x)=e^x-\ln (x+1)-1,\text{για κάθε }x\ge 0.$$ Α. Να δείξετε ότι η $g$ αντιστρέφεται.

Β. Δίνεται, επίσης, ότι η $g$ είναι παραγωγίσιμη στο $[0,+\mathrm{\infty })$ με $g^{\prime }(0)\ne 0$. 

1. Να δείξετε ότι η $g$ δεν έχει ακρότατα στο διάστημα $(0,+\mathrm{\infty })$. 

2. Να βρείτε την εφαπτομένη της $C_g$ στο $x_0=0$. 

3. Να υπολογίσετε το όριο: 

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(g(x))$. 

4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 

$g(g(x))=1821$ 

έχει τουλάχιστον μία λύση $x_0$, με $x_0\in (0,+\mathrm{\infty })$. 

5. Να δείξετε ότι υπάρχει $\xi \in (0,x_0)$ ώστε: 

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [10]

Δίνεται η συνάρτηση 

$f(x)=x^4-2x^2+2x$ 

και η ευθεία $\epsilon$ που εφάπτεται στη γραφική παράσταση $C_f$ της συνάρτησης $f$ στα σημεία της $A(x_1,f(x_1))$ και $B(x_2,f(x_2))$ με $x_1\ne x_2$. 

α) Να βρείτε τα σημεία $A$, $B$ και την εξίσωση της ευθείας $\epsilon$. 

β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την $C_f$ και την ευθεία $\epsilon$. 

γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς την κυρτότητα. 

δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $x_0\in (-2,-1)$, στο οποίο η συνάρτηση $f$ παρουσιάζει ολικό ακρότατο.

Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [6]

 Του Θανάση Κοπάδη  

Δίνονται οι συναρτήσεις $f:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ και $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύουν: 

• $f(x)={\displaystyle \frac{\alpha +\ln x}{x}}$,$\alpha \in \mathbb{R}$ 
• $g(x)=e^x$ 
• ${\int }_0^1(f\circ g)(x)dx={\displaystyle \frac{2e-3}{e}}$ 

α) Να δείξετε ότι $\alpha =1$. 

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 

γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. 

δ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της $C_f$. 

Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [5]

Έστω συνεχής συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού το $(0,+\mathrm{\infty })$, για την οποία ισχύουν: 

• $f(x)>0$ για κάθε $x\in (0,+\mathrm{\infty })$ 
• $\underset{x\to 2}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-4}{x-2}}=4(ln2+1)$ 
• Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα $(1,+\mathrm{\infty })$ με $f^{\prime }(x)=f(x)(\ln x+1)$ 
• Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα $(0,1)$ με $f^{\prime }(x)=f(x)\left({\displaystyle \frac{1-\ln x}{x^2}}\right)$ 

A. Να υπολογιστεί το $f(2)$} 

B. Να βρεθεί ο τύπος της $f$

Γ. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει:

• ακριβώς ένα $x_0\in (0,+\mathrm{\infty })$ ώστε $f(x_0)=3$ 
• τουλάχιστον ένα $\xi \in (\frac{1}{2},x_0)$

 τέτοιο ώστε 

$2(2x_0-1)f^{\prime }(\xi )=11$ 

Δ. Δίνεται η συνάρτηση 

$g(x)=e^{-x}(x^2-x+2)$.} 

Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των $f,g$: 

1. Στο διάστημα $(0,1)$ έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο. 
2. Δεν δέχονται κοινή εφαπτομένη.

@maths4people

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [102]

Προσδιορίστε τον μεγαλύτερο αριθμό $k$, ώστε $$e^x\le k{x}^k$$

για κάθε $x\ge 0$.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [9]

Δίνεται η συνάρτηση 

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{x-1}},& x<1\\ e^{x-1}+\ln x-2,& x\ge 1\end{array}$ 

α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη συνέχεια. 

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς την μονοτονία και την κυρτότητα. 

γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης $f$. 

δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=0$ έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα $(1,2)$. 

ε) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση $f$ αντιστρέφεται. 

στ) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης $f(x)=\alpha$, για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού $\alpha$. 

ζ) Να αποδείξετε ότι για κάθε $\kappa >1$ υπάρχει μοναδικό $\xi \in (1,+\mathrm{\infty })$ τέτοιο, ώστε να ισχύει

 $f(\xi )={\displaystyle \frac{f(\kappa )+\kappa f(\kappa +1)+(\kappa +1)f(\kappa +2)}{2(\kappa +1)}}$.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [8]

Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$, για την οποία ισχύουν: 

• $f(1)=0$ 
• $x^2{f}^{\prime }(x)+1=4{\int }_1^{e}f(x)dx-xf(x)$, για κάθε $x>0$. 

α) Να αποδείξετε ότι 

$f(x)={\displaystyle \frac{\ln x}{x}}$

για κάθε $x>0$. 

β) Να αποδείξετε ότι 

$f(x)\le x-1$

για κάθε $x>0$. 

γ) Να αποδείξετε ότι 

${\int }_0^1{\displaystyle \frac{(2x+3)-x}{e^x}}dx<3-{\displaystyle \frac{4}{e}}$. 

δ) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις $C_f$ και $C_g$ των συναρτήσεων $f$ και $g(x)=-x^2$ αντιστοίχως έχουν μια τουλάχιστον κοινή εφαπτομένη.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [7]

Έστω μία συνεχής συνάρτηση $f:(-e,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ με $f(0)=1$, η οποία ικανοποιεί τη σχέση 

$e^{f(x)}={\displaystyle \frac{1}{f^{\prime }(x)}}$ 

για κάθε $x\in (-e,+\mathrm{\infty }).$ 

α) Να αποδείξετε ότι

 $f(x)=\ln (x+e)$, $x\in (-e,+\mathrm{\infty })$. 

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ αντιστρέφεται και να ορίσετε την αντίστροφή της. 

γ) Να υπολογίσετε το όριο 

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(f(x)-x)$. 

δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση $C_f$ της συνάρτησης $f$ και τους ημιάξονες $O{x}^{\prime }$ και $Oy$. 

ε) Να βρείτε τον θετικό πραγματικό αριθμό $a$, αν ισχύει 

$e^{f(x)}+2e^x-xa\ge e+2$ 

για κάθε $x>-e$. 

στ) Να αποδείξετε ότι 

${\int }_{\frac{1}{2}}^1{\displaystyle \frac{\ln (x+e)}{\ln (x^2+e)}}dx>{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [6]

Έστω συνάρτηση $f:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$, η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $(0,+\mathrm{\infty })$ και για την οποία ισχύουν: 

• $f(1)=1$ 
• $(x-1)f^{″}(x)+2f^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$, για κάθε $x>0$ 

 α) Να αποδείξετε ότι 

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\ln x}{x-1}},& 0<x\ne 1\\ 1,& x=1\end{array}$ 

 β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως φθίνουσα και ότι το σύνολο τιμών της είναι το $(0,+\mathrm{\infty })$. 

 γ) Να αποδείξετε ότι 

$f^{″}(1)={\displaystyle \frac{2}{3}}$. 

 δ) Έστω συνάρτηση $g:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$, η οποία είναι συνεχής και ικανοποιεί τις σχέσεις $g(1)=1$ και 

$(g(x)-f(x))(g(x)+3f(x))=0$

για κάθε $x>0$. Να αποδείξετε ότι $f=g$. 

ε) Ένα σημείο $M$ κινείται στη γραφική παράσταση $C_f$ της συνάρτησης $f$ και η τετμημένη του αυξάνεται με ρυθμό 4 cm/sec. Αν $A$ είναι η προβολή του σημείου $M$ στον άξονα $x^{\prime }x$ και $B$ τυχαίο σημείο του άξονα $y^{\prime }y$, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου $ABM$ τη χρονική στιγμή κατά την οποία το $M$ διέρχεται από το σημείο $(1,f(1))$.