Click to Translate Whole Page to Read and Solve

Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων
Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων

Παρασκευή 4 Απριλίου 2025

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [13]

Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[0,π]R για την οποία ισχύουν:  
  • (1+ημx)2f(x)=συνx, για κάθε x[0,π] 
  • f(0)=0 
α) Να αποδείξετε ότι 
f(x)=111+ημx, x[0,π].
 
β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και την κυρτότητα. 
γ) Να βρείτε το όριο 
limx0ημ2xxxf(x)
δ) Να λύσετε την εξίσωση 
2f(x)=(2xπ)f(x)+1
ε) Να εξετάσετε αν η ευθεία x=ρ, όπου ρ η ρίζα της εξίσωσης του ερωτήματος (δ), χωρίζει το χωρίο Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης f και τον άξονα xx, σε δύο ισεμβαδικά χωρία.

ΨΗΦΙΑΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ : Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου | ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΘΕΩΡΙΑΣ: 'Ολοι οι αρισμοί του βιβλίου

Πέμπτη 3 Απριλίου 2025

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικά Θέματα από το digitalschool.gov [2-3]

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [106]

Η συνάρτηση g είναι τέτοια ώστε η δεύτερη παράγωγος g να είναι συνεχής, με g(x)1
Δείξτε ότι αν η συνάρτηση f είναι συνεχής με f(0)=f(1)=0, τότε 01f2(x)eg(x)dx01(f(x))2eg(x)dx.

Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [8]

 Του Δημήτρη Σπαθάρα  
Δίνεται η συνάρτηση 
f(x)={xlnxx1+3limx1f(x),αν 0<x12,αν x=1 
Δ1) Να δείξετε ότι 
limx1f(x)=2
Δ2) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής, γνησίως αύξουσα και κοίλη στο (0,+)
Δ3) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας AB, όπου A(1,f(1)) και B(2,f(2)) και στη συνέχεια να δείξετε ότι για κάθε x[1,2] η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την ευθεία AB εκτός από τα κοινά τους σημεία A και B
Δ4) α) Να δείξετε ότι 
12f(x)dx>3+ln42.
 β) Να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία της παραπάνω ανισότητας.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικά Θέματα από το digitalschool.gov [1]

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:(0,+)R για την οποία ισχύει: 
  • f(e)=1
  • x2f(x)+xf(x)1=x, για κάθε x(0,+) 
i) Να αποδείξετε ότι 
f(x)=lnxx+1, x(0,+)
ii) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 
ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών και τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [12]

Δίνονται οι συναρτήσεις 
f(x)={exxx,x>01,x=0 
και 
g(x)=ln2x1x,x>0
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0=0
β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να χαρακτηρίσετε τα ακρότατα. 
γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g(x)=0 έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (0,+)
δ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη κυρτότητα και να αποδείξετε ότι η Cf έχει ένα ακριβώς σημείο καμπής.

ΨΗΦΙΑΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ : Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου | ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΘΕΩΡΙΑΣ: Αποδείξεις – Διατυπώσεις - Γεωμετρικές Ερμηνείες

Τετάρτη 2 Απριλίου 2025

Interactive applet: The Sandwich Theorem (or the Squeeze Theorem)

Click on the image.

Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [7]

Έστω συνάρτηση g:[0,+)[0,+) για την οποία ισχύει: 
(gg)(x)g(x)=exln(x+1)1,για κάθε x0. Α. Να δείξετε ότι η g αντιστρέφεται.
Β. Δίνεται, επίσης, ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο [0,+) με g(0)0
1. Να δείξετε ότι η g δεν έχει ακρότατα στο διάστημα (0,+)
2. Να βρείτε την εφαπτομένη της Cg στο x0=0
3. Να υπολογίσετε το όριο: 
limx+g(g(x))
4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 
g(g(x))=1821 
έχει τουλάχιστον μία λύση x0, με x0(0,+)
5. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ(0,x0) ώστε: 

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [10]

Δίνεται η συνάρτηση 
f(x)=x42x2+2x 
και η ευθεία ε που εφάπτεται στη γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης f στα σημεία της A(x1,f(x1)) και B(x2,f(x2)) με x1x2
α) Να βρείτε τα σημεία A, B και την εξίσωση της ευθείας ε
β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf και την ευθεία ε
γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα. 
δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό x0(2,1), στο οποίο η συνάρτηση f παρουσιάζει ολικό ακρότατο.

Τρίτη 1 Απριλίου 2025

Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [6]

 Του Θανάση Κοπάδη  
Δίνονται οι συναρτήσεις f:(0,+)R και g:RR για τις οποίες ισχύουν: 
  • f(x)=α+lnxx,αR 
  • g(x)=ex 
  • 01(fg)(x)dx=2e3e 
α) Να δείξετε ότι α=1
β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 
γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. 
δ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της Cf

Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [5]

Έστω συνεχής συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το (0,+), για την οποία ισχύουν: 
  • f(x)>0 για κάθε x(0,+) 
  • limx2f(x)4x2=4(ln2+1) 
  • Η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (1,+) με f(x)=f(x)(lnx+1) 
  • Η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (0,1) με f(x)=f(x)(1lnxx2) 
A. Να υπολογιστεί το f(2)
B. Να βρεθεί ο τύπος της f
Γ. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει:
  • ακριβώς ένα x0(0,+) ώστε f(x0)=3 
  • τουλάχιστον ένα ξ(12,x0)
 τέτοιο ώστε 
2(2x01)f(ξ)=11 
Δ. Δίνεται η συνάρτηση 
g(x)=ex(x2x+2).} 
Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f,g
  1. Στο διάστημα (0,1) έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο. 
  2. Δεν δέχονται κοινή εφαπτομένη.

Δευτέρα 31 Μαρτίου 2025

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [102]

Προσδιορίστε τον μεγαλύτερο αριθμό k, ώστε exkxk
για κάθε x0.

Κυριακή 30 Μαρτίου 2025

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [9]

Δίνεται η συνάρτηση 
f(x)={1x1,x<1ex1+lnx2,x1 
α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη συνέχεια. 
β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και την κυρτότητα. 
γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f
δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα (1,2)
ε) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f αντιστρέφεται. 
στ) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης f(x)=α, για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού α
ζ) Να αποδείξετε ότι για κάθε κ>1 υπάρχει μοναδικό ξ(1,+) τέτοιο, ώστε να ισχύει
 f(ξ)=f(κ)+κf(κ+1)+(κ+1)f(κ+2)2(κ+1).

Σάββατο 29 Μαρτίου 2025

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [8]

Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση f:(0,+)R, για την οποία ισχύουν: 
  • f(1)=0 
  • x2f(x)+1=41ef(x)dxxf(x), για κάθε x>0
α) Να αποδείξετε ότι 
f(x)=lnxx
για κάθε x>0
β) Να αποδείξετε ότι 
f(x)x1
για κάθε x>0
γ) Να αποδείξετε ότι 
01(2x+3)xexdx<34e
δ) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις Cf και Cg των συναρτήσεων f και g(x)=x2 αντιστοίχως έχουν μια τουλάχιστον κοινή εφαπτομένη.

Παρασκευή 28 Μαρτίου 2025

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [7]

Έστω μία συνεχής συνάρτηση f:(e,+)R με f(0)=1, η οποία ικανοποιεί τη σχέση 
ef(x)=1f(x) 
για κάθε x(e,+). 
α) Να αποδείξετε ότι
 f(x)=ln(x+e), x(e,+)
β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να ορίσετε την αντίστροφή της. 
γ) Να υπολογίσετε το όριο 
limx+(f(x)x)
δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης f και τους ημιάξονες Ox και Oy
ε) Να βρείτε τον θετικό πραγματικό αριθμό a, αν ισχύει 
ef(x)+2exxae+2 
για κάθε x>e
στ) Να αποδείξετε ότι 
121ln(x+e)ln(x2+e)dx>12.

Πέμπτη 27 Μαρτίου 2025

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [6]

Έστω συνάρτηση f:(0,+)R, η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (0,+) και για την οποία ισχύουν: 
  • f(1)=1 
  • (x1)f(x)+2f(x)=1x2, για κάθε x>0 
 α) Να αποδείξετε ότι 
f(x)={lnxx1,0<x11,x=1 
 β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και ότι το σύνολο τιμών της είναι το (0,+)
 γ) Να αποδείξετε ότι 
f(1)=23
 δ) Έστω συνάρτηση g:(0,+)R, η οποία είναι συνεχής και ικανοποιεί τις σχέσεις g(1)=1 και 
(g(x)f(x))(g(x)+3f(x))=0
για κάθε x>0. Να αποδείξετε ότι f=g
ε) Ένα σημείο M κινείται στη γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης f και η τετμημένη του αυξάνεται με ρυθμό 4 cm/sec. Αν A είναι η προβολή του σημείου M στον άξονα xx και B τυχαίο σημείο του άξονα yy, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ABM τη χρονική στιγμή κατά την οποία το M διέρχεται από το σημείο (1,f(1))

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [105]

 

Τετάρτη 26 Μαρτίου 2025

Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [4]

 Δημήτρη Σπαθάρα  
Δίνεται η συνάρτηση 
f(x)={lnx+x2x2αν 0<x1xlnxx1αν x>1  
Δ1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (0,+) και να βρείτε ασύμπτωτες της γραφικής της παράστασης. 
Δ2) Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της f και να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία. 
Δ3) Να δείξετε ότι: 
α) η εξίσωση f(x)=0 έχει μοναδική ρίζα x0, η οποία ανήκει στο διάστημα (0,1) και 
β) το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα xx και τις ευθείες με εξισώσεις x=1 και x=x0, όπου x0 η μοναδική ρίζα της εξίσωσης f(x)=0, είναι 
E(Ω)=1x02x0
Δ4) Αν F είναι μια παράγουσα συνάρτηση της f, τότε για κάθε x(1,+) να δείξετε ότι ισχύει 
(x+1)F(x)<xF(1)+F(x).