Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [7]

Έστω μία συνεχής συνάρτηση $f:(-e,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ με $f(0)=1$, η οποία ικανοποιεί τη σχέση 

$e^{f(x)}={\displaystyle \frac{1}{f^{\prime }(x)}}$ 

για κάθε $x\in (-e,+\mathrm{\infty }).$ 

α) Να αποδείξετε ότι

 $f(x)=\ln (x+e)$, $x\in (-e,+\mathrm{\infty })$. 

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ αντιστρέφεται και να ορίσετε την αντίστροφή της. 

γ) Να υπολογίσετε το όριο 

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(f(x)-x)$. 

δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση $C_f$ της συνάρτησης $f$ και τους ημιάξονες $O{x}^{\prime }$ και $Oy$. 

ε) Να βρείτε τον θετικό πραγματικό αριθμό $a$, αν ισχύει 

$e^{f(x)}+2e^x-xa\ge e+2$ 

για κάθε $x>-e$. 

στ) Να αποδείξετε ότι 

${\int }_{\frac{1}{2}}^1{\displaystyle \frac{\ln (x+e)}{\ln (x^2+e)}}dx>{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [6]

Έστω συνάρτηση $f:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$, η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $(0,+\mathrm{\infty })$ και για την οποία ισχύουν: 

• $f(1)=1$ 
• $(x-1)f^{″}(x)+2f^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$, για κάθε $x>0$ 

 α) Να αποδείξετε ότι 

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\ln x}{x-1}},& 0<x\ne 1\\ 1,& x=1\end{array}$ 

 β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως φθίνουσα και ότι το σύνολο τιμών της είναι το $(0,+\mathrm{\infty })$. 

 γ) Να αποδείξετε ότι 

$f^{″}(1)={\displaystyle \frac{2}{3}}$. 

 δ) Έστω συνάρτηση $g:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$, η οποία είναι συνεχής και ικανοποιεί τις σχέσεις $g(1)=1$ και 

$(g(x)-f(x))(g(x)+3f(x))=0$

για κάθε $x>0$. Να αποδείξετε ότι $f=g$. 

ε) Ένα σημείο $M$ κινείται στη γραφική παράσταση $C_f$ της συνάρτησης $f$ και η τετμημένη του αυξάνεται με ρυθμό 4 cm/sec. Αν $A$ είναι η προβολή του σημείου $M$ στον άξονα $x^{\prime }x$ και $B$ τυχαίο σημείο του άξονα $y^{\prime }y$, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου $ABM$ τη χρονική στιγμή κατά την οποία το $M$ διέρχεται από το σημείο $(1,f(1))$. 

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [105]

 

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενο ΘΕΜΑ Δ

 Δημήτρη Σπαθάρα  

Δίνεται η συνάρτηση 

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\ln x+x^2}{x^2}}& \text{αν }0<x\le 1\\ {\displaystyle \frac{x\ln x}{x-1}}& \text{αν }x>1\end{array}$  

Δ1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $(0,+\mathrm{\infty })$ και να βρείτε ασύμπτωτες της γραφικής της παράστασης. 

Δ2) Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της $f$ και να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία. 

Δ3) Να δείξετε ότι: 

α) η εξίσωση $f(x)=0$ έχει μοναδική ρίζα $x_0$, η οποία ανήκει στο διάστημα $(0,1)$ και 

β) το εμβαδόν του χωρίου $\mathrm{\Omega }$ που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $f$, τον άξονα $x^{\prime }x$ και τις ευθείες με εξισώσεις $x=1$ και $x=x_0$, όπου $x_0$ η μοναδική ρίζα της εξίσωσης $f(x)=0$, είναι 

$E(\mathrm{\Omega })={\displaystyle \frac{1}{x_0}}-2x_0$. 

Δ4) Αν $F$ είναι μια παράγουσα συνάρτηση της $f$, τότε για κάθε $x\in (1,+\mathrm{\infty })$ να δείξετε ότι ισχύει 

$(\sqrt{x}+1)F(\sqrt{x})<\sqrt{x}F(1)+F(x)$.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [5]

Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$, με συνεχή δεύτερη παράγωγο και τέτοια, ώστε:

• $2f^2(1)+f^2(3)\le 2f(1)-f(3)$
• $f^{\prime }(1)=2$
• $f^{″}(x)\ne 0$, για κάθε $x\in \mathbb{R}$

α) Να αποδείξετε ότι η $f$ δεν είναι συνάρτηση 1-1.

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ έχει ένα ακριβώς κρίσιμο σημείο στο $\mathbb{R}$.

γ) Να εξετάσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς την κυρτότητα και στη συνέχεια να υπολογίσετε το $$\underset{x\to 1}{lim}\frac{\eta \mu (\pi x)}{(x-1)(f(x)-2x+2)}$$

δ) Να αποδείξετε ότι 

${\int }_0^{4}f(x)dx<{\int }_1^{3}f(x)dx$.

ε) Να αποδείξετε ότι $E<(\xi -1{)}^2$, όπου $E$ το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση $C_f$ της συνάρτησης $f$, τον άξονα $x^{\prime }x$ και τις ευθείες $x=1$ και $x=\xi$, με $\xi$ το κρίσιμο σημείο της συνάρτησης $f$.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [4]

Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν:

$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(\sqrt{e^{2t}+(x+1)e^{x+t}+1-e^t}\right)={\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{2(x+1)}},x\ne -1$ και $f(-1)={\displaystyle \frac{2}{e}}$.

α) Να αποδείξετε ότι 

$f(x)=(x^2+1)e^x,x\in \mathbb{R}$

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ με σύνολο τιμών το $(0,+\mathrm{\infty })$.

γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η $f$ είναι κοίλη ή κυρτή και να προσδιορίσετε τα σημεία καμπής της $C_f$.

δ) Να αποδείξετε ότι 

$f(x)(x+1)\le f(x^2)+2ex$ 

για κάθε $x\ge 1$.

ε) Να αποδείξετε ότι 

${\int }_1^2{\displaystyle \frac{(x^4+1)e^x}{e(x+1)}}dx>3e-4-2\ln {\displaystyle \frac{2}{3}}$.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενο ΘΕΜΑ Δ

 Του Γιώργου Μιχαηλίδη  

Δίνεται η συνάρτηση $f:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ με τύπο: $$f(x)=e^{x-1}-\ln x$$ 2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να αποδείξετε ότι είναι κυρτή. 

3. Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου $k\in (1,+\mathrm{\infty })$ να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης: $$f(x)f(k+1)=f(e^k)$$ 4. Θεωρούμε επιπλέον την ευθεία $ϵ$ με εξίσωση $\psi =x$. Να αποδείξετε ότι η $C_f$ έχει ακριβώς δύο κοινά σημεία με την $ϵ$, τα $A(1,1)$ και $B(a,a)$, όπου $a>1$. 

5. Να αποδείξετε ότι: 

(i) Υπάρχει μοναδικό $x_1\in (1,a)$, ώστε $f^{\prime }(x_1)=1$ 

(ii) $f(x_1)<x_1$ 

6. Για τον αριθμό $a$ του ερωτήματος Δ3 να αποδείξετε ότι: $${\int }_1^a\ln f(x)dx<{\displaystyle \frac{(a-1{)}^2}{2}}$$

ΘΕΜΑ με 15 Προκλήσεις Μαθηματικών για Πανελλαδικές: Είσαι Έτοιμος;

 Tου Σπύρου Γιαννάκαρου  

Πηγή: mathamagicpath

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [3]

Δίνονται οι συναρτήσεις: 

$f(x)=\ln x-1+\frac{1}{x}$

και 

$g(x)=(x\ln x-x+1)\ln x$

με $x\in (0,+\mathrm{\infty })$. 

α) Να αποδείξετε ότι 

$f(x)\ge 0$ 

για κάθε $x\in (0,+\mathrm{\infty })$. 

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $g$ ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. 

γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $g$ ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής της $C_g$. 

δ) Αν $A$ είναι το σημείο καμπής της $C_g$ και $B(e,g(e))$, να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη $C_g$ και το ευθύγραμμο τμήμα $AB$.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [104]

Έστω η πραγματική συνάρτηση $f$ με τις παρακάτω ιδιότητες:

• Η $f$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο διάστημα $[0,1]$
• $f(0)=f(1)=0$.
  

α) Αν $f(x)\ne 0$ για $0\le x\le 1$, να αποδειχθεί ότι ο λόγος ${\displaystyle \frac{f^{\prime }}{f}}$ παίρνει όλες τις πραγματικές τιμές, όταν $x\in (0,1)$.

β) Αν $|f^{\prime }(x)|\le 1$ για κάθε $x\in [0,1]$, να αποδειχθεί ότι:$${\int }_0^{1}x|f(x)|dx\le {\displaystyle \frac{1}{8}}.$$

Επιπλέον, να διερευνηθεί αν μπορεί να ισχύει ισότητα.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενο ΘΕΜΑ Γ

 Του Γιάννη Τσομπανόπουλου  

Δίνεται η συνάρτηση 

$f(x)=x{e}^x-\ln x$, $x>0$.

i) Να δείξετε ότι η $C_f$ παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο σε κάποιο $x_0\in (0,1)$.

ii) Να δείξετε ότι η μοναδική ρίζα τηε εξίσωσης $$x+\ln x=-\ln (x+1),x>0$$ είναι το $x_0$ του ερωτήματος i).

iii) Νa δείξετε ότι $${\displaystyle \frac{1-x_0}{2}}(1+ln2)<{\int }_{x_0}^1[x+\ln x+\ln (x+1)]dx<{\displaystyle \frac{(1+\ln 2{)}^2}{5}}$$

iv) Έστω $g(x)={\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{3}{2}}+\ln 2-\ln x-\ln (x+1)$, $x>0$. 

Να δείξετε ότι εξίσωση $${\int }_{x_0}^{1}g(x)dx=G(x)-G(1)$$- όπου $G$ μία παράγουσα της $g$ - έχει μοναδική λύση στο διάστημα $(1,+\infty )$

Μαθηματικά 1ης Δέσμης 1998 - Τα δυσκολότερα θέματα όλων των εποχών!

Τα θέματα της χρονιάς αυτής ήταν όλα ασκήσεις εκτός από 1α)i) που ήταν απόδειξη θεωρήματος και η ύλη των θεμάτων περιελάμβανε εκτός της σημερινής και ΠΙΝΑΚΕΣ - ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ και το Ολοκλήρωμα με μεταβλητό άκρο! 

Αν συνυπολογίσουμε και την κατοχύρωση βαθμολογίας που υπήρχε τότε, που σημαίνει ότι οι υποψήφιοι είχαν να συναγωνισθούν και τους υποψηφίους εκείνους που κατοχύρωσαν καλές βαθμολογίες, ο αγώνας των παιδιών ήταν ένας άθλος !🏅 

Συγκρίνετε με το σήμερα ...😔

- ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ -

ΘΕΜΑ 1ο

α) i) Αν ο μιγαδικός αριθμός $z_0$ είναι ρίζα της πολυωνυμικής εξίσωσης

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [2]

Έστω $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ μια συνεχής συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα $y$ στο σημείο με τεταγμένη 1 και τα μόνα κοινά σημεία της με τον άξονα $x$ έχουν τετμημένες -2 και 4. Επιπλέον η $f$ είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα $[0,+\mathrm{\infty })$.

(α) Να βρείτε το πρόσημο του αριθμού $f(-{\displaystyle \frac{7}{4}})$ και τη μονοτονία της $f$ στο διάστημα $[0,+\mathrm{\infty })$. 

(β) Να υπολογίσετε το όριο: $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(-0,1)x^3+f(1)x^2+f(2)}{f(-1)f(5)x^2+f(0)}$$

(γ) Να λύσετε την εξίσωση $$f(e^x)+f(e^{3x})=f(e^{2x})+f(e^{4x})$$ (δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει $x_0\in (-2,4)$ τέτοιο, ώστε $f(x_0)=\sqrt[4]{f^3(-0,1)f(2)}$

(ε) Αν η $f$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και για κάθε $x\in (0,4)$ ισχύει $(f(x)-1)f^{″}(x)<0$ να αποδείξετε ότι $${\int }_0^{4}f(x)dx<2.$$

Το 12ο γενικό διαγώνισμα από την ομάδα του Ασκησόπολις με τις λύσεις του

 

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [1]

Δίνεται η συνάρτηση 

$f(x)=\ln x-{\displaystyle \frac{e}{x}}+x$, $x>0$ 

α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία, την κυρτότητα και να βρείτε τις ασύμπτωτες της $C_f$. 

β) i) Να αποδείξετε ότι η $f$ αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της $f^{-1}$. 

ii) Να λύσετε την ανίσωση 

$f^{-1}(2e-f(x))>e$. 

γ) Να λύσετε την εξίσωση 

$\ln x-(ex+1)({\displaystyle \frac{e}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{e}})=2$. 

δ) Θεωρούμε τη συνάρτηση 

$g(x)=f(x)+f\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$, $x>0$. 

i) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική της παράσταση, τον άξονα $x^{\prime }x$ και τις ευθείες $x=1$, $x=e$. 

ii) Να αποδείξετε ότι αν για κάποιο $\alpha \in \mathbb{R}$ ισχύει $g(x)\le \alpha$ για κάθε $x>0$, τότε 

${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}+e\ge 1$. 

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄Λυκείου: Προτεινόμενο ΘΕΜΑ Δ

 Του Δημήτρη Σπαθάρα 

Δ1) Να δείξετε ότι η εξίσωση $e^x={\displaystyle \frac{1}{x}}$ έχει μοναδική ρίζα $x_0$ στο διάστημα $(0,1)$.

Στα παρακάτω ερωτήματα να θεωρήσετε ότι το $x_0$ είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης $e^x={\displaystyle \frac{1}{x}}$ του ερωτήματος Δ1 και η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ έχει τύπο

 $f(x)=e^{x_0}(x+1)-e^x-1$.

Δ2) Να δείξετε ότι η συνάρτηση $f$ παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο $x_0$, το $f(x_0)=0$.

Δ3) Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις 

$g(x)=x_0+\ln (x+1)$, $x>-1$ 

και 

$h(x)=\ln (e^x+1)$, $x\in \mathbb{R}$ 

έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, στο οποίο έχουν κοινή εφαπτομένη.

Δ4) Έστω η συνεχής συνάρτηση $\varphi :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ με $\varphi (x)>f(x)$, για κάθε $x\in \mathbb{R}$. Θεωρούμε τα σημεία $A(x,f(x))$ και $B(x,\varphi (x))$, με $x\in \mathbb{R}$. Αν η απόσταση των σημείων $A$ και $B$ γίνεται ελάχιστη στο $x=x_0$, να δείξετε ότι το $x_0$ είναι κρίσιμο σημείο της συνάρτησης $\varphi$.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄Λυκείου: Προτεινόμενο ΘΕΜΑ Δ από το study4exams

17. Δίνεται η συνάρτηση 

$f(x)=(x-{\displaystyle \frac{1}{x}})\ln x$, $x>0$.

Δ1) Να αποδείξετε ότι ισχύει: $f\circ h=f$, όπου $h(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$, $x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$. 

Δ2) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $(0,1]$ και γνησίως αύξουσα στο διάστημα $[1,+\mathrm{\infty })$, και στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της. 

Δ3) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=1$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $(0,1)$. 

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄Λυκείου: Προτεινόμενο ΘΕΜΑ Δ από το study4exams

16. Δίνεται η συνάρτηση 

$g(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x+1}{x}},& x<0\\ 2\sqrt{x}+1,& x\ge 0\end{array}$ 

και έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ για την οποία 

ισχύουν: 

• $f(x)\ne 0$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ 
• $f(0)=e$ 
• ${\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}}-e^x=0$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ 

Δ1) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης $g$. 

Τριγωνομετρικό Όριο

Nα αποδειχθεί ότι:

Απόδειξη

- Για $x=0$, προφανώς ισχύει η ισότητα.

- Για $x\in (0,\pi /2)$, από το διπλανό σχήμα έχουμε: $$\sin x=(M{M}_1)<(MA)<(\text{τοξ }MA)=x.$$

Άρα: $$|\sin x|<|x|,\text{για κάθε }x\in (0,\pi /2).(1)$$ 

- Για $x\in (-\pi /2,0)$, είναι $-x\in (0,\pi /2)$, οπότε λόγω της (1), έχουμε: $$|\sin (-x)|<|-x|,\text{ή, ισοδύναμα, }|\sin x|<|x|.$$ 

- Για $x\notin (-\pi /2,\pi /2)$, είναι $|x|\ge \pi /2>1\ge |\sin x|,$ οπότε: $$|\sin x|<|x|.$$

Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις ισχύει $|\eta \mu x|\le x$, με την ισότητα να ισχύει μόνο για $x=0$.

Από το σχολικό βιβλίο των μαθηματικών της Γ΄ Λυκείου.

Το Κριτήριο Παρεμβολής (Squeeze Theorem) και η Χρήση του

Το Κριτήριο Παρεμβολής, γνωστό και ως Squeeze Theorem, αποτελεί ένα χρήσιμο εργαλείο για τον υπολογισμό ορίων συναρτήσεων σε περιπτώσεις όπου η άμεση αντικατάσταση αποτυγχάνει. 

Σε αυτό το άρθρο, θα εξηγήσουμε το θεώρημα μέσα από ένα απλό παράδειγμα και στη συνέχεια θα προχωρήσουμε στην απόδειξή του. Θα χρησιμοποιήσουμε το Κριτήριο Παρεμβολής για να υπολογίσουμε το όριο:$$\underset{x\to 0}{lim}x\sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$$