Απόδειξη Ιδιότητας των Ριζών Τριωνύμου

Η εξίσωση $a{x}^2+bx-a=0$ έχει ρίζες $x_1$ και $x_2$. Να αποδείξετε ότι $${\displaystyle \frac{x_1^2+1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{x_2^2+1}{x_2}}=0(a\ne 0).$$

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ και Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ: Το βιβλίο του καθηγητή

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Ένα μεγάλο εκθετικό ερώτημα

 

Όροι αριθμητικής προόδου

Αν $p^2-qr$, $q^2-rp$, και $r^2-pq$ είναι όροι αριθμητικής προόδου και $p+q+r\ne 0$, τότε να αποδειχθεί ότι και οι αριθμοί $p,q,r$ αποτελούν όρους αριθμητικής προόδου.

Επαναλαμβανόμενη Ρίζα του 3

 

Ανίσωση 2ου βαθμού με απόλυτα

Να λυθεί η ανίσωση:

@CalculusCanvas

Ένας Λόγος στον Κόσμο των Πολυωνύμων

Να βρεθεί ο λόγος:

Κορυφές ορθογωνίου

Έστω εγγεγραμμένο τετράπλευρο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$. Να δείξετε ότι τα 

σημεία τομής των διχοτόμων των τριγώνων ${\displaystyle \mathrm{A}\stackrel{\mathrm{\Delta }}{\mathrm{B}}\mathrm{\Delta },\mathrm{A}\stackrel{\mathrm{\Delta }}{\mathrm{B}}\mathrm{\Gamma },\mathrm{B}\stackrel{\mathrm{\Delta }}{\mathrm{\Gamma }}\mathrm{\Delta },\mathrm{\Gamma }\stackrel{\mathrm{\Delta }}{\mathrm{A}}\mathrm{\Delta }}$ είναι κορυφές ορθογωνίου.

Πηγή: mathematica

"Γεωμετρική επίλυση" δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Να λυθεί "γεωμετρικά" η εξίσωση 

${\displaystyle x^2-6x-55=0}$.

Λύση

Σε ευθεία θεωρώ τα σημεία $A,B,C\mu \epsilon AB=5,AC=6$ και γράφω τον κύκλο $(k_1)$ διαμέτρου $AB$ και το ημικύκλιο $(b_1)$ διαμέτρου $AC$. Η κάθετη στην $AB$ στο $B$ τέμνει το ημικύκλιο στο $D$.

Επειδή $D{C}^2=CB\cdot CA\Rightarrow \boxed{{\displaystyle D{C}^2=55}}$.

Τώρα σχηματίζω το τετράγωνο $BCED$ και θα είναι $DC=BE=\sqrt{55}$. Γράφω τόξο $(B,BE)$ που τέμνει την $BD$ στο $Z$, άρα θα είναι $BZ=BE=\sqrt{55}$. Φέρνω την ευθεία που ενώνει το $Z$ με το κέντρο του κύκλου $(k_1)$. 

Ως x θεωρώ το μήκος της μεγάλης τέμνουσας αφού δέχομαι «γεωμετρικά» μόνο θετικές ρίζες. Από την δύναμη του $Z$ στον κύκλο $(k_1)$ έχω: 

$B{Z}^2=x(x-6)\iff x^2-6x-55=0$.

Πηγή: mathematica

Εξίσωση με απόλυτα

Ερώτημα διά λόγου

 

Μαθηματικός Λόγος με Σφαιρική Παρουσία

Παράσταση με Εκθέτες και Ρίζες

Συμπληρώστε τα κενά τετραγωνάκια στους εκθέτες, ώστε η ισότητα να είναι σωστή.

Παράσταση 16a−8c+15

Δυνατές τιμές αθροίσματος

Έστω $m$ ένας ακέραιος αριθμός. Οι ρίζες της εξίσωσης $$x^2-(2m-3)x+2m+1=0$$ είναι $x_1$​ και $x_2$​. Δίνεται ότι: $3\le x_1\cdot x_2\le 73.$

Ποιο είναι το άθροισμα όλων των δυνατών τιμών που μπορεί να πάρει το άθροισμα 

$S=x_1+x_2$​;

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ: 41+ Διαγωνίσματα από το φροντιστήριο «συν»

Οκτώβριος 2015

Δεκέμβριος 2015

Ιανουάριος 2016

Μάρτιος 2016

Μάιος 2016

Νοέμβριος 2016

Δεκέμβριος 2016

Ιανουάριος 2017

Μάρτιος 2017

Οκτώβριος 2017

Άθροισμα a+b+c+d

Έστω $a,b,c$ και $d$ πραγματικοί αριθμοί και

$a{x}^2+bx+12\ge 0$

$c{x}^2+dx+24\le 0.$ 

Για την εύρεση του συνόλου λύσεων του συστήματος ανισοτήτων χρησιμοποιείται ο παρακάτω πίνακας και το σύνολο λύσεων είναι $[-2,-1]\cup [4,6]$. 

Σύμφωνα με αυτό, ποιο είναι το άθροισμα των $$a+b+c+d;$$

Άρρητη παράσταση

Να υπολογιστεί:

Ανισότητες και τα διαστήματα που συνδέονται με αυτές

XY=?