Τι είναι ο αριθμός $e$ ;

Ο αριθμός $e$, ή η σταθερά του Euler, είναι ένας σταθερός πραγματικός αριθμός που έχει σημαντική θέση στα μαθηματικά, τις φυσικές επιστήμες και τη μηχανική, και είναι η βάση του φυσικού λογάριθμου.

Επομένως, είναι άρρητος και η ακριβής τιμή του δεν μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας έναν πεπερασμένο αριθμό ψηφίων. Η κατά προσέγγιση τιμή του είναι: $2,718281828459…$

Visualization of Euler's formula

Euler's and Lhuilier's Formula

Euler's Formula

Lhuilier's Formula

Counterexample to Eulers Conjecture on Sums of Like Powers

Η εργασία των Lander και Parkin σχετικά με την εικασία του Euler (που σχετίζεται με το τελευταίο θεώρημα του Fermat) είναι μόνο δύο προτάσεις.

Click on the image to enlarge it.

Οπτικοποίηση του τύπου του Euler: $e^{iθ} = cosθ + isinθ$

Οι μονάδες ίδιες

Σύμφωνα με το θεώρημα του Euler, για οποιονδήποτε θετικό ακέραιο $a$, το ψηφίο των μονάδων των αριθμών $a^5$ και $a$ είναι το ίδιο.

Για παράδειγμα

$7^5 = 7\times 7 \times 7\times 7 \times 7 = 16807$.

Ομοίως 

$24 ^5 = 24 \times  24 \times  24 \times  24 \times  24 = 7962624$.

Το πρόβλημα των $36$ αξιωματικών του Euler

Το $1779$, ο Ελβετός μαθηματικός Leonhard Euler έθεσε το ακόλουθο παζλ. Φανταστείτε ότι υπάρχει πόλεμος. Είστε ο διοικητής ενός στρατού που αποτελείται από έξι συντάγματα. Κάθε ένα από αυτά τα συντάγματα έχει έξι αξιωματικούς, τον καθένα με έξι διαφορετικούς βαθμούς. 

Έτσι, υπάρχουν $36$ αξιωματικοί υπό τις διαταγές σας. Πρέπει να τοποθετήσετε αυτούς τους αξιωματικούς σε ένα πλέγμα $6\times 6$. Είναι δυνατόν να τοποθετηθεί μόνο ένας αξιωματικός από κάθε σύνταγμα και κάθε βαθμό σε κάθε σειρά και στήλη αυτού του πίνακα;

Ο Euler γράφει στον Bernoulli

Σαν σήμερα $15$ Σεπτεμβρίου, το $1739$, ο Leonard Euler έγραψε στον Johann Bernoulli για τη γενική αντιμετώπιση της ομογενούς γραμμικής διαφορικής εξίσωσης με σταθερούς συντελεστές. Μέσα σε ένα χρόνο ο Euler είχε ολοκληρώσει την εργασία αυτή.

Τι είπε ο Gauss για τον Euler

«Η μελέτη των έργων του Euler θα παραμείνει το καλύτερο σχολείο για τους διάφορους τομείς των μαθηματικών και τίποτα άλλο δεν μπορεί να το αντικαταστήσει.»

Μαθηματικά γραμματόσημα: Leonhard Euler (1707-1783)

Leonhard Euler (1707-1783)

A Tribute to Euler

ζΓ Relation

Riemann zeta function

BASEL PROBLEM: Euler's Second Proof

Euler Through Time: A New Look at Old Themes (pdf)

Click on the image.

Το σύμβολο $f(x)$

Ο Leonhard Euler ήταν ο πρώτος που εισήγαγε το σύμβολο της συνάρτησης $f(x)$ και το ενσωμάτωσε συστηματικά στον λογισμό. Αυτός ο συμβολισμός είναι πλέον θεμελιώδης στα μαθηματικά.

Η ικανότητά του Euler να εννοιολογεί και να επικοινωνεί σύνθετες μαθηματικές ιδέες τον κατέστησε μια από τις προσωπικότητες με τη μεγαλύτερη επιρροή στην ιστορία των μαθηματικών.

Project Euler - Problem Archives

ID	Title	Solved By
1	Multiples of 3 or 5	1004876
2	Even Fibonacci Numbers	801179
3	Largest Prime Factor	577193
4	Largest Palindrome Product	510444
5	Smallest Multiple	513163
6	Sum Square Difference	516532
7	10001st Prime	442044
8	Largest Product in a Series	370646

Euler's identity: $e^{iπ}+1=0$

Euler's identity

How Euler Did It series

By Ed Sandifer

How Euler Did It is an online MAA column, written by Ed Sandifer of Western Connecticut State University from 2003 to 2010. Each article examines a specific work or concept developed by Leonhard Euler, with the topics ranging from number theory to geography to fluid mechanics.

Click on the image.

The Euler Archive, in collaboration with the MAA, hosts the article collection for the How Euler Did It series. The series was published in two volumes, both volumes are available from the MAA: How Euler Did It (2007), How Euler Did Even More (2014).

Δημιουργία πρώτων αριθμών

Το $1772$, ο Euler παρατήρησε ότι αυτός ο απλός τύπος δίνει διακριτούς πρώτους αριθμούς για $40$ διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς, από $n=0$ έως $39$. 

Για παράδειγμα, οι πρώτοι είναι: 

$41, 43, 47, 53, 61, 71...$

The Euler Line (Geogebra)

The diagram below contains a triangle $ΔABC$ with circumcentre $O$, centroid $G$ and orthocentre $H$. Euler's theorem says that $O, G$ and $H$ are collinear. 

You can see this in the diagram below, the Euler line through the points $O, G$ and $H$ is coloured in black, and its extension is coloured in orange.

By moving the vertices $A$, $B$ and $C$ you can see how the Euler line depends on these points.

See here.