Το Πρόβλημα της Βασιλείας: Όταν οι Φυσικοί Αριθμοί Συναντούν το π

Το Πρόβλημα της Βασιλείας (Basel problem), ένα κλασικό πρόβλημα των μαθηματικών, ζητά να βρεθεί η τιμή του άπειρου αθροίσματος των αντιστρόφων των τετραγώνων όλων των φυσικών αριθμών. Δηλαδή: $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}=1+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{16}}+{\displaystyle \frac{1}{25}}+\cdots$$

Ο Leonard Euler, το 1735, απέδειξε ότι αυτό το άθροισμα συγκλίνει στην τιμή: $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{6}}$$ Αυτή η ανακάλυψη συνδέει τους φυσικούς αριθμούς με την σταθερά $\pi$, αποτελώντας ένα εντυπωσιακό αποτέλεσμα της μαθηματικής ανάλυσης.

Απόδειξη ταυτότητας Euler χωρίς τριγωνομετρία

Euler Brick και Τέλειο Euler Brick

 

Η πρώτη σελίδα της εργασίας του Euler "De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt"

Βασικά Μαθηματικά Σύμβολα που Καθιέρωσε ο Leonard Euler

Ο Leonard Euler εισήγαγε ή καθιέρωσε διάφορα βασικά σύμβολα και σημειώσεις που χρησιμοποιούνται ακόμα και σήμερα, συμπεριλαμβανομένων των εξής:

• $f(x)$ για τη σημειογραφία συνάρτησης
• $e$ για τη βάση των φυσικών λογαρίθμων
• $i$ για τη μονάδα των φανταστικών αριθμών $\sqrt{-1}$
• $\mathrm{\Sigma }$ (σίγμα) ως σύμβολο αθροίσματος
• $\pi$ για τον λόγο της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του (καθιερώθηκε από τον Euler, αν και η πρώτη χρήση έγινε από τον Γουίλιαμ Τζόουνς)
• $\mathrm{\Delta }y$ και ${\mathrm{\Delta }}^{2}y$ για τις πεπερασμένες διαφορές
• $\sin$, $\cos$, $\tan$ ως συντομογραφίες για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις
• $\phi (n)$ για τη συνάρτηση Euler 

Η Βόλτα στις Γέφυρες του Μπρίστολ

Στον $18$ο αιώνα, ο Leonhard Euler θέτει το διάσημο πρόβλημα σχετικά με το εάν είναι δυνατόν να περπατήσει κάποιος μέσα από την πόλη Königsberg και να επιστρέψει στο σπίτι του, διασχίζοντας κάθε μία από τις επτά γέφυρες ακριβώς μία φορά.

Η απάντηση στην ερώτηση ήταν αρνητική, αλλά το 2013 ο επιστήμονας του δικτύου Thilo Gross παρατήρησε ότι η πόλη του Μπρίστολ παρουσιάζει μια παρόμοια διάταξη. 

Σε αυτή την περίπτωση, όμως, το πρόβλημα είναι επιλύσιμο: 

Εάν είστε έτοιμοι να περπατήσετε $30$ μίλια, μπορείτε να διασχίσετε και τις $45$ γέφυρες του Μπρίστολ και να επιστρέψετε στο σημείο εκκίνησης.

Για περισσότερες λεπτομέρειες, δείτε εδώ.

Η Γεωμετρία της Μπάλας Ποδοσφαίρου: Πώς Ο Euler Αποκαλύπτει τον Αριθμό των Πενταγώνων

Πόσο καλά ξέρετε την μπάλα που παίζετε;

Η επιφάνεια μιας τυπικής μπάλας ποδοσφαίρου αποτελεί ένα θαύμα γεωμετρίας, καλυμμένη από ακριβώς $20$ εξάγωνα και $12$ πεντάγωνα. 

Πόσο περίεργο ακούγεται αυτό; Αλλά γιατί ακριβώς $12$ πεντάγωνα;

Αυτό συνδέεται με την χαρακτηριστική του Euler για σφαιρικά σχήματα, η οποία δηλώνει ότι: $$V-E+F=2$$ όπου: 

Όμορφο γκράφιτι στο λιβάδι

 

Από τον Ευκλείδη στον Euler: Υπάρχει Σύγχρονο Μαθηματικό Αριστούργημα;

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη, γραμμένα γύρω στο 300 π.Χ., δεν ήταν απλώς ένα εγχειρίδιο γεωμετρίας — αποτέλεσαν το θεμέλιο της μαθηματικής απόδειξης και λογικής, επηρεάζοντας τη διδασκαλία για πάνω από δύο χιλιετίες. 

Στον Μεσαίωνα, ο Πέρσης μαθηματικός Al-Khwarizmi, με το Al-jabr (9ος αιώνας), εισήγαγε την άλγεβρα, δίνοντας όνομα και μέθοδο σε έναν νέο κλάδο που προσέγγιζε την επίλυση εξισώσεων με συστηματικότητα. Αυτά τα έργα θεωρούνται ορόσημα — αλλά ποιο είναι το αντίστοιχο στη σύγχρονη εποχή;

THEOREM OF THE DAY: Euler’s Continued Fraction Correspondence

Click on the image. 

Το Μυστήριο των Πρώτων Αριθμών: Η Άποψη του Leonard Euler

 

Ο φυσικός λογάριθμος μπορεί να εκφραστεί ως άπειρο γινόμενο

Ο φυσικός λογάριθμος μπορεί να εκφραστεί ως άπειρο γινόμενο με διάφορους τρόπους. Ένας από τους πιο γνωστούς τύπους είναι το άπειρο γινόμενο του Euler: $$\ln (2)=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n{)}^2}{(2n-1)(2n+1)}\right)$$

Ένα άλλο άπειρο γινόμενο για τον φυσικό λογάριθμο, που ισχύει για $0<x<2$, είναι: $$\ln (x)=2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{1}{2n-1}\right){\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^{2n-1}$$ Επιπλέον, χρησιμοποιώντας τον τύπο του Weierstrass, έχουμε: $$\ln (x)=(x-1)\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x-1}{n})e^{-(x-1)/n}$$ Αυτές οι εκφράσεις δείχνουν τη βαθιά σχέση του φυσικού λογαρίθμου με τη θεωρία αριθμών και τη μαθηματική ανάλυση.

Leonhard Euler: Ο Μαθηματικός που Διαμόρφωσε την Επιστήμη

Ο Leonhard Euler (1707 - 1783) ήταν ένας από τους πιο παραγωγικούς και επιδραστικούς μαθηματικούς όλων των εποχών. Η συνεισφορά του καλύπτει ένα εντυπωσιακό φάσμα τομέων, από τη θεωρία γραφημάτων και τη σύνθετη ανάλυση μέχρι τη μηχανική ρευστών και τη μουσική θεωρία.

Ο Clifford Truesdell εκτίμησε ότι περίπου το ένα τρίτο της συνολικής έρευνας του 18ου αιώνα στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανική οφείλεται στον Euler. Αυτή η εκτίμηση δεν είναι υπερβολική αν αναλογιστούμε ότι δημοσίευσε πάνω από 850 εργασίες και βιβλία, ενώ άφησε πίσω του περισσότερες από $30.000$ σελίδες χειρόγραφων.

Η Ταυτότητα του Euler: Μια Από τις Ομορφότερες Εξισώσεις των Μαθηματικών

Η ταυτότητα του Euler συνδυάζει πέντε θεμελιώδεις μαθηματικές σταθερές σε μια απλή και κομψή εξίσωση. Παρόλο που καθεμία από αυτές τις σταθερές προέρχεται από διαφορετικούς τομείς των μαθηματικών—άλγεβρα, γεωμετρία και μιγαδική ανάλυση—συγκλίνουν όλες σε αυτήν την εξίσωση, αποκαλύπτοντας μια βαθιά και εκπληκτική σύνδεση μεταξύ διαφορετικών κλάδων των μαθηματικών.

Για να κατανοήσουμε γιατί αυτή η εξίσωση θεωρείται συχνά η πιο όμορφη στα μαθηματικά, αξίζει να γνωρίσουμε τις βασικές αριθμητικές σταθερές και τα σύμβολα που τη συνθέτουν:

• e: Ο αριθμός του Euler, περίπου ίσος με $2,71828$. Είναι ένας άρρητος αριθμός (δηλαδή δεν μπορεί να εκφραστεί ως απλό κλάσμα) και αποτελεί τη βάση των φυσικών λογαρίθμων. Εμφανίζεται σε διάφορα μαθηματικά πεδία, ιδιαίτερα στον λογισμό και στη μοντελοποίηση της εκθετικής ανάπτυξης.

Η Σύνδεση των Θεμελιωδών Σταθερών: Εξίσωση του Euler

Η πιο συναρπαστική εξίσωση στα μαθηματικά που συνδέει τις πέντε θεμελιώδεις μαθηματικές σταθερές $0,1,\pi ,e$ και $i$ είναι η Εξίσωση του Euler: 

$e^{i\pi }+1=0$

 

Αυτή η εξίσωση είναι εξαιρετικά σημαντική γιατί:

• $e$ είναι η βάση των φυσικών λογαρίθμων (περίπου $2.71828$).
• $i$ είναι η φανταστική μονάδα, όπου $i^2=-1$.
• $\pi$ είναι η σταθερά του π (περίπου 3.14159).
• $1$ και $0$ είναι οι θεμελιώδεις αριθμοί της αριθμητικής.

Η εξίσωση αυτή συνδυάζει την άλγεβρα, την ανάλυση και την γεωμετρία με έναν απίστευτα αρμονικό τρόπο.

Leonard Euler: Ο Μαθηματικός που Ένωσε Επιστήμη και Πίστη

Ο Λέοναρντ Όιλερ, ένας από τους πιο επιφανείς μαθηματικούς της ιστορίας, γνωστός για τις αμέτρητες συνεισφορές του στα μαθηματικά και τη φυσική, ήταν επίσης γνωστός για τη βαθιά θρησκευτική του πίστη. 

Γεννημένος το 1707 στη Βασιλεία της Ελβετίας, ο Όιλερ ήταν γιος ενός πάστορα της Εκκλησίας της Ελβετίας, γεγονός που επηρέασε σημαντικά τη θρησκευτική του ανατροφή και τις πεποιθήσεις του.

Νόμισμα με τον Leonhard Euler δίπλα σε έναν όμορφο μαθηματικό τύπο (Ρωσία)

ΒΙΒΛΙΟ: Euler, The Master of Us All

Click on the image.

Τι είναι ο αριθμός e ;

Ο αριθμός $e$, ή η σταθερά του Euler, είναι ένας σταθερός πραγματικός αριθμός που έχει σημαντική θέση στα μαθηματικά, τις φυσικές επιστήμες και τη μηχανική, και είναι η βάση του φυσικού λογάριθμου.

Επομένως, είναι άρρητος και η ακριβής τιμή του δεν μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας έναν πεπερασμένο αριθμό ψηφίων. Η κατά προσέγγιση τιμή του είναι: $2,718281828459\dots$

Visualization of Euler's formula