Όμορφο γκράφιτι στο λιβάδι

 

Από τον Ευκλείδη στον Euler: Υπάρχει Σύγχρονο Μαθηματικό Αριστούργημα;

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη, γραμμένα γύρω στο 300 π.Χ., δεν ήταν απλώς ένα εγχειρίδιο γεωμετρίας — αποτέλεσαν το θεμέλιο της μαθηματικής απόδειξης και λογικής, επηρεάζοντας τη διδασκαλία για πάνω από δύο χιλιετίες. 

Στον Μεσαίωνα, ο Πέρσης μαθηματικός Al-Khwarizmi, με το Al-jabr (9ος αιώνας), εισήγαγε την άλγεβρα, δίνοντας όνομα και μέθοδο σε έναν νέο κλάδο που προσέγγιζε την επίλυση εξισώσεων με συστηματικότητα. Αυτά τα έργα θεωρούνται ορόσημα — αλλά ποιο είναι το αντίστοιχο στη σύγχρονη εποχή;

THEOREM OF THE DAY: Euler’s Continued Fraction Correspondence

Click on the image. 

Το Μυστήριο των Πρώτων Αριθμών: Η Άποψη του Leonard Euler

 

Ο φυσικός λογάριθμος μπορεί να εκφραστεί ως άπειρο γινόμενο

Ο φυσικός λογάριθμος μπορεί να εκφραστεί ως άπειρο γινόμενο με διάφορους τρόπους. Ένας από τους πιο γνωστούς τύπους είναι το άπειρο γινόμενο του Euler: \[ \ln(2) = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)} \right) \]

Ένα άλλο άπειρο γινόμενο για τον φυσικό λογάριθμο, που ισχύει για \( 0 < x < 2 \), είναι: \[ \ln(x) = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2n-1} \right) \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{2n-1} \] Επιπλέον, χρησιμοποιώντας τον τύπο του Weierstrass, έχουμε: \[ \ln(x) = (x-1) \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 + \frac{x-1}{n} \right) e^{-(x-1)/n} \] Αυτές οι εκφράσεις δείχνουν τη βαθιά σχέση του φυσικού λογαρίθμου με τη θεωρία αριθμών και τη μαθηματική ανάλυση.

Leonhard Euler: Ο Μαθηματικός που Διαμόρφωσε την Επιστήμη

Ο Leonhard Euler (1707 - 1783) ήταν ένας από τους πιο παραγωγικούς και επιδραστικούς μαθηματικούς όλων των εποχών. Η συνεισφορά του καλύπτει ένα εντυπωσιακό φάσμα τομέων, από τη θεωρία γραφημάτων και τη σύνθετη ανάλυση μέχρι τη μηχανική ρευστών και τη μουσική θεωρία.

Ο Clifford Truesdell εκτίμησε ότι περίπου το ένα τρίτο της συνολικής έρευνας του 18ου αιώνα στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανική οφείλεται στον Euler. Αυτή η εκτίμηση δεν είναι υπερβολική αν αναλογιστούμε ότι δημοσίευσε πάνω από 850 εργασίες και βιβλία, ενώ άφησε πίσω του περισσότερες από $30.000$ σελίδες χειρόγραφων.

Η Ταυτότητα του Euler: Μια Από τις Ομορφότερες Εξισώσεις των Μαθηματικών

Η ταυτότητα του Euler συνδυάζει πέντε θεμελιώδεις μαθηματικές σταθερές σε μια απλή και κομψή εξίσωση. Παρόλο που καθεμία από αυτές τις σταθερές προέρχεται από διαφορετικούς τομείς των μαθηματικών—άλγεβρα, γεωμετρία και μιγαδική ανάλυση—συγκλίνουν όλες σε αυτήν την εξίσωση, αποκαλύπτοντας μια βαθιά και εκπληκτική σύνδεση μεταξύ διαφορετικών κλάδων των μαθηματικών.

Για να κατανοήσουμε γιατί αυτή η εξίσωση θεωρείται συχνά η πιο όμορφη στα μαθηματικά, αξίζει να γνωρίσουμε τις βασικές αριθμητικές σταθερές και τα σύμβολα που τη συνθέτουν:

• e: Ο αριθμός του Euler, περίπου ίσος με $2,71828$. Είναι ένας άρρητος αριθμός (δηλαδή δεν μπορεί να εκφραστεί ως απλό κλάσμα) και αποτελεί τη βάση των φυσικών λογαρίθμων. Εμφανίζεται σε διάφορα μαθηματικά πεδία, ιδιαίτερα στον λογισμό και στη μοντελοποίηση της εκθετικής ανάπτυξης.

Η Σύνδεση των Θεμελιωδών Σταθερών: Εξίσωση του Euler

Η πιο συναρπαστική εξίσωση στα μαθηματικά που συνδέει τις πέντε θεμελιώδεις μαθηματικές σταθερές $0,1,π,e$ και $i$ είναι η Εξίσωση του Euler: 

$e^{iπ}+1=0$

 

Αυτή η εξίσωση είναι εξαιρετικά σημαντική γιατί:

• $e$ είναι η βάση των φυσικών λογαρίθμων (περίπου $2.71828$).
• $i$ είναι η φανταστική μονάδα, όπου $i^2=−1$.
• $π$ είναι η σταθερά του π (περίπου 3.14159).
• $1$ και $0$ είναι οι θεμελιώδεις αριθμοί της αριθμητικής.

Η εξίσωση αυτή συνδυάζει την άλγεβρα, την ανάλυση και την γεωμετρία με έναν απίστευτα αρμονικό τρόπο.

Leonard Euler: Ο Μαθηματικός που Ένωσε Επιστήμη και Πίστη

Ο Λέοναρντ Όιλερ, ένας από τους πιο επιφανείς μαθηματικούς της ιστορίας, γνωστός για τις αμέτρητες συνεισφορές του στα μαθηματικά και τη φυσική, ήταν επίσης γνωστός για τη βαθιά θρησκευτική του πίστη. 

Γεννημένος το 1707 στη Βασιλεία της Ελβετίας, ο Όιλερ ήταν γιος ενός πάστορα της Εκκλησίας της Ελβετίας, γεγονός που επηρέασε σημαντικά τη θρησκευτική του ανατροφή και τις πεποιθήσεις του.

Νόμισμα με τον Leonhard Euler δίπλα σε έναν όμορφο μαθηματικό τύπο (Ρωσία)

ΒΙΒΛΙΟ: Euler, The Master of Us All

Click on the image.

Τι είναι ο αριθμός $e$ ;

Ο αριθμός $e$, ή η σταθερά του Euler, είναι ένας σταθερός πραγματικός αριθμός που έχει σημαντική θέση στα μαθηματικά, τις φυσικές επιστήμες και τη μηχανική, και είναι η βάση του φυσικού λογάριθμου.

Επομένως, είναι άρρητος και η ακριβής τιμή του δεν μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας έναν πεπερασμένο αριθμό ψηφίων. Η κατά προσέγγιση τιμή του είναι: $2,718281828459…$

Visualization of Euler's formula

Euler's and Lhuilier's Formula

Euler's Formula

Lhuilier's Formula

Counterexample to Eulers Conjecture on Sums of Like Powers

Η εργασία των Lander και Parkin σχετικά με την εικασία του Euler (που σχετίζεται με το τελευταίο θεώρημα του Fermat) είναι μόνο δύο προτάσεις.

Click on the image to enlarge it.

Οπτικοποίηση του τύπου του Euler: $e^{iθ} = cosθ + isinθ$

Οι μονάδες ίδιες

Σύμφωνα με το θεώρημα του Euler, για οποιονδήποτε θετικό ακέραιο $a$, το ψηφίο των μονάδων των αριθμών $a^5$ και $a$ είναι το ίδιο.

Για παράδειγμα

$7^5 = 7\times 7 \times 7\times 7 \times 7 = 16807$.

Ομοίως 

$24 ^5 = 24 \times  24 \times  24 \times  24 \times  24 = 7962624$.

Το πρόβλημα των $36$ αξιωματικών του Euler

Το $1779$, ο Ελβετός μαθηματικός Leonhard Euler έθεσε το ακόλουθο παζλ. Φανταστείτε ότι υπάρχει πόλεμος. Είστε ο διοικητής ενός στρατού που αποτελείται από έξι συντάγματα. Κάθε ένα από αυτά τα συντάγματα έχει έξι αξιωματικούς, τον καθένα με έξι διαφορετικούς βαθμούς. 

Έτσι, υπάρχουν $36$ αξιωματικοί υπό τις διαταγές σας. Πρέπει να τοποθετήσετε αυτούς τους αξιωματικούς σε ένα πλέγμα $6\times 6$. Είναι δυνατόν να τοποθετηθεί μόνο ένας αξιωματικός από κάθε σύνταγμα και κάθε βαθμό σε κάθε σειρά και στήλη αυτού του πίνακα;

Ο Euler γράφει στον Bernoulli

Σαν σήμερα $15$ Σεπτεμβρίου, το $1739$, ο Leonard Euler έγραψε στον Johann Bernoulli για τη γενική αντιμετώπιση της ομογενούς γραμμικής διαφορικής εξίσωσης με σταθερούς συντελεστές. Μέσα σε ένα χρόνο ο Euler είχε ολοκληρώσει την εργασία αυτή.

Τι είπε ο Gauss για τον Euler

«Η μελέτη των έργων του Euler θα παραμείνει το καλύτερο σχολείο για τους διάφορους τομείς των μαθηματικών και τίποτα άλλο δεν μπορεί να το αντικαταστήσει.»