Εύρεση Θετικών Ακέραιων Λύσεων

 

Η Δύναμη των Εκθετών: Βρίσκοντας το r

 

Ζεύγη Θετικών Ακεραίων

 

[21] - Equations for and from Math Contests

 

Αναζήτηση Θετικών Ακέραιων Λύσεων για την Εξίσωση

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη των ακεραίων θετικών ακεραίων αριθμών που ικανοποιούν την εξίσωση:

 

[20] - Equations for and from Math Contests

Nα λυθεί η εξίσωση: $$x^2+\frac{1}{x}+7(x+1)=8\sqrt{2(x^2+1)}.$$

[19] - Equations for and from Math Contests

 

[18] - Equations for and from Math Contests

Λύστε την εξίσωση $$\frac{12}{\sqrt{x-8}+9}+\frac{7}{\sqrt{x-8}+4}+\frac{1}{\sqrt{x-8}-4}+\frac{6}{\sqrt{x-8}-9}=0.$$

Μία προκλητική εξίσωση

Η πιο δύσκολη ερώτηση για τις εισαγωγικές εξετάσεις του Χάρβαρντ

Το $95\mathrm{\%}$ απέτυχε να απαντήσει σωστά.

Μπορείτε να το λύσετε;

Εύρεση Λύσεων Άρρητης Εξίσωσης

Να λυθεί η εξίσωση:

[17] - Equations for and from Math Contests

Να λυθεί η εξίσωση $$\sqrt[3]{x+\sqrt{1+x^2}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{1+x^2}}=a$$

Geodesic Equation

Geodesic Equation

[16] - Equations for and from Math Contests

 

Ταυτότητα και Αόριστη Εξίσωση: Ποια Είναι η Διαφορά;

 🔹 Ταυτότητα: Είναι μια μαθηματική ισότητα που ισχύει για όλες τις τιμές του αγνώστου. Δηλαδή, όποια τιμή και αν βάλεις στο $x$, η ισότητα παραμένει αληθής.

🔹 Αόριστη εξίσωση: Είναι μια εξίσωση που έχει άπειρες λύσεις, δηλαδή μπορεί να ικανοποιηθεί από άπειρες τιμές του αγνώστου.

👉 Οι δύο έννοιες συχνά ταυτίζονται, αλλά με μια μικρή διαφορά στη διατύπωση:

• Αν μια εξίσωση αποδεικνύεται ότι ισχύει για όλες τις τιμές του αγνώστου, τότε λέμε ότι είναι ταυτότητα.
• Αν μια εξίσωση δεν έχει μία συγκεκριμένη λύση, αλλά άπειρες, τότε συχνά τη χαρακτηρίζουμε ως αόριστη.

"Γεωμετρική επίλυση" δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Να λυθεί "γεωμετρικά" η εξίσωση 

${\displaystyle x^2-6x-55=0}$.

Λύση

Σε ευθεία θεωρώ τα σημεία $A,B,C\mu \epsilon AB=5,AC=6$ και γράφω τον κύκλο $(k_1)$ διαμέτρου $AB$ και το ημικύκλιο $(b_1)$ διαμέτρου $AC$. Η κάθετη στην $AB$ στο $B$ τέμνει το ημικύκλιο στο $D$.

Επειδή $D{C}^2=CB\cdot CA\Rightarrow \boxed{{\displaystyle D{C}^2=55}}$.

Τώρα σχηματίζω το τετράγωνο $BCED$ και θα είναι $DC=BE=\sqrt{55}$. Γράφω τόξο $(B,BE)$ που τέμνει την $BD$ στο $Z$, άρα θα είναι $BZ=BE=\sqrt{55}$. Φέρνω την ευθεία που ενώνει το $Z$ με το κέντρο του κύκλου $(k_1)$. 

Ως x θεωρώ το μήκος της μεγάλης τέμνουσας αφού δέχομαι «γεωμετρικά» μόνο θετικές ρίζες. Από την δύναμη του $Z$ στον κύκλο $(k_1)$ έχω: 

$B{Z}^2=x(x-6)\iff x^2-6x-55=0$.

Πηγή: mathematica

Λύση χωρίς Λογάριθμους

Nα λυθεί η εξίσωση, χωρίς τη χρήση λογαρίθμων:

Η Μαθηματική Ομορφιά της Φύσης: Euler-Lagrange και Ελάχιστες Επιφάνειες

Εξίσωση Euler-Lagrange

Η εξίσωση Euler-Lagrange αποτελεί θεμελιώδη σχέση στον λογισμό των μεταβολών, ένα μαθηματικό πεδίο που μελετά τη βελτιστοποίηση συναρτήσεων και φυσικών συστημάτων. 

Διατυπώνεται ως:

${\displaystyle \frac{d}{dt}}\left({\displaystyle \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}}\right)-{\displaystyle \frac{\partial L}{\partial q}}=0$

όπου $(L)$ είναι η Λαγκρανζιανή του συστήματος, $(q)$ οι γενικευμένες συντεταγμένες και $q$ οι αντίστοιχες ταχύτητες. 

TON 618

 

Εξίσωση με απόλυτα