«Γεωμετρική επίλυση» δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Να λυθεί "γεωμετρικά" η εξίσωση $x^2-6x-55=0$. 

Λύση 

Σε ευθεία θεωρώ τα σημεία $A,B,C\,\,\mu \varepsilon \,\,AB = 5\,\,,\,\,AC = 6$ και γράφω τον κύκλο $({k_1})$ διαμέτρου $AB$ και το ημικύκλιο $({b_1})$ διαμέτρου $AC$. 

Η κάθετη στην $AB$ στο $B$ τέμνει το ημικύκλιο στο $D$. Επειδή 

$D{C^2} = CB \cdot CA \Rightarrow \boxed{D{C^2} = 55}$. 

Τώρα σχηματίζω το τετράγωνο $BCED$ και θα είναι $DC = BE = \sqrt {55}$. Γράφω τόξο $(B,BE)$ που τέμνει την $BD$ στο $Z$, άρα θα είναι 

Άγνωστοι θετικοί ακέραιοι

Εκθετική εξίσωση

 

[5] - Algebraic Equations for Contests

Απλή εκθετική

Να λυθεί η εξίσωση:

[4] - Algebraic Equations for Contests

Μοναδιαίο κλάσμα

Να λυθεί η εξίσωση:

[3] - Algebraic Equations for Contests

LNοκρατία

Να λυθεί η εξίσωση:

Πολύ μεγάλη ρίζα

Να βρεθεί η τιμή του $k$ για την οποία η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης $x ^2 +4x +k$ είναι η

 $ \big(2+ \sqrt{3}\big)  \times  \big( \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{3}}}\big)  \times$

$\times \big( \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{3}}}} \big)  \times  \big( \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{3}}}}}  \big).$

[2] - Algebraic Equations for Contests

[1] - Equations for math contests

Άρρητες υπερδυνάμεις

$cosx$ VS $cosx^2$

Ποια από τις δύο παρακάτω εξισώσεις έχει περισσότερες λύσεις?

• Η εξίσωση $cos(x)=0$: 

• Η εξίσωση $cos^2(x)=0$:
  

Πηλίκο αντίστροφων

Να λυθεί η εξίσωση:

Δύσκολη άρρητη

Να λυθεί η εξίσωση $$\dfrac{3}{\sqrt{x^2+4}}+6=2\sqrt{\dfrac{x^2+3x-3}{3x+2}}+x^2.$$

Υπερεκθετική εξίσωση

Εκθετική στο κάδρο

Συνενώσεις αριθμών

Λύστε την εξίσωση $$ \dfrac{A}{BC} +\dfrac{D}{EF} +\dfrac{G}{HI}=1$$

όπου $\{A, B, C, ..., I\} ∈\{1, 2, 3, ..., 9\}$ και κάθε ψηφίο χρησιμοποιείται ακριβώς μία φορά.

Εδώ τα $BC, EF, HI$ είναι συνενώσεις αριθμών και όχι πολλαπλασιασμοί. 

Για παράδειγμα, εάν $B = 4$ και $C = 7$, τότε το $BC$ είναι ο αριθμός $47$, όχι το γινόμενο $4 · 7 = 28$.

$(x,y,z)=?$