Κλασματική και εκθετική

Να λυθεί η εξίσωση:

 

Απόδειξη Ιδιότητας των Ριζών Τριωνύμου

Η εξίσωση $a{x}^2+bx-a=0$ έχει ρίζες $x_1$ και $x_2$. Να αποδείξετε ότι $${\displaystyle \frac{x_1^2+1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{x_2^2+1}{x_2}}=0(a\ne 0).$$

Η Μέθοδος του Picard για την Επίλυση Εξισώσεων

Η επίλυση της εξίσωσης:

$f(x)=0$

είναι ισοδύναμη με την εύρεση λύσης της εξίσωσης:

$g(x)=f(x)+x=x$,

η οποία προκύπτει αν προσθέσουμε το xx κατά μέλη στην αρχική εξίσωση. Με αυτή τη διαδικασία, φέρνουμε την εξίσωση σε μια μορφή κατάλληλη για επίλυση με υπολογιστή, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Picard.

Εύρεση Θετικών Ακέραιων Λύσεων

 

Η Δύναμη των Εκθετών: Βρίσκοντας το r

 

Ζεύγη Θετικών Ακεραίων

 

[21] - Equations for and from Math Contests

 

Αναζήτηση Θετικών Ακέραιων Λύσεων για την Εξίσωση

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη των ακεραίων θετικών ακεραίων αριθμών που ικανοποιούν την εξίσωση:

 

[20] - Equations for and from Math Contests

Nα λυθεί η εξίσωση: $$x^2+\frac{1}{x}+7(x+1)=8\sqrt{2(x^2+1)}.$$

[19] - Equations for and from Math Contests

 

[18] - Equations for and from Math Contests

Λύστε την εξίσωση $$\frac{12}{\sqrt{x-8}+9}+\frac{7}{\sqrt{x-8}+4}+\frac{1}{\sqrt{x-8}-4}+\frac{6}{\sqrt{x-8}-9}=0.$$

Μία προκλητική εξίσωση

Η πιο δύσκολη ερώτηση για τις εισαγωγικές εξετάσεις του Χάρβαρντ

Το $95\mathrm{\%}$ απέτυχε να απαντήσει σωστά.

Μπορείτε να το λύσετε;

Εύρεση Λύσεων Άρρητης Εξίσωσης

Να λυθεί η εξίσωση:

[17] - Equations for and from Math Contests

Να λυθεί η εξίσωση $$\sqrt[3]{x+\sqrt{1+x^2}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{1+x^2}}=a$$

Geodesic Equation

Geodesic Equation

[16] - Equations for and from Math Contests

 

Ταυτότητα και Αόριστη Εξίσωση: Ποια Είναι η Διαφορά;

 🔹 Ταυτότητα: Είναι μια μαθηματική ισότητα που ισχύει για όλες τις τιμές του αγνώστου. Δηλαδή, όποια τιμή και αν βάλεις στο $x$, η ισότητα παραμένει αληθής.

🔹 Αόριστη εξίσωση: Είναι μια εξίσωση που έχει άπειρες λύσεις, δηλαδή μπορεί να ικανοποιηθεί από άπειρες τιμές του αγνώστου.

👉 Οι δύο έννοιες συχνά ταυτίζονται, αλλά με μια μικρή διαφορά στη διατύπωση:

• Αν μια εξίσωση αποδεικνύεται ότι ισχύει για όλες τις τιμές του αγνώστου, τότε λέμε ότι είναι ταυτότητα.
• Αν μια εξίσωση δεν έχει μία συγκεκριμένη λύση, αλλά άπειρες, τότε συχνά τη χαρακτηρίζουμε ως αόριστη.

"Γεωμετρική επίλυση" δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Να λυθεί "γεωμετρικά" η εξίσωση 

${\displaystyle x^2-6x-55=0}$.

Λύση

Σε ευθεία θεωρώ τα σημεία $A,B,C\mu \epsilon AB=5,AC=6$ και γράφω τον κύκλο $(k_1)$ διαμέτρου $AB$ και το ημικύκλιο $(b_1)$ διαμέτρου $AC$. Η κάθετη στην $AB$ στο $B$ τέμνει το ημικύκλιο στο $D$.

Επειδή $D{C}^2=CB\cdot CA\Rightarrow \boxed{{\displaystyle D{C}^2=55}}$.

Τώρα σχηματίζω το τετράγωνο $BCED$ και θα είναι $DC=BE=\sqrt{55}$. Γράφω τόξο $(B,BE)$ που τέμνει την $BD$ στο $Z$, άρα θα είναι $BZ=BE=\sqrt{55}$. Φέρνω την ευθεία που ενώνει το $Z$ με το κέντρο του κύκλου $(k_1)$. 

Ως x θεωρώ το μήκος της μεγάλης τέμνουσας αφού δέχομαι «γεωμετρικά» μόνο θετικές ρίζες. Από την δύναμη του $Z$ στον κύκλο $(k_1)$ έχω: 

$B{Z}^2=x(x-6)\iff x^2-6x-55=0$.

Πηγή: mathematica

Λύση χωρίς Λογάριθμους

Nα λυθεί η εξίσωση, χωρίς τη χρήση λογαρίθμων: