Ημικύκλιο + Τεταρτοκύκλιο σε Τετράγωνο

Στο παρακάτω σχήμα, ένα τεταρτοκύκλιο και ένα ημικύκλιο εγγράφονται σε ένα τετράγωνο. Είναι ενδιαφέρον ότι και τα δύο έχουν εμβαδόν $\pi$.

Να βρεθεί η πλευρά του τετραγώνου.

Μπλε Σχήμα με Ημικύκλια

Η παρακάτω φιγούρα αποτελείται από ένα μπλε σχήμα που αποτελείται από έξι μπλε ημικύκλια, μαζί με ένα πράσινο ημικύκλιο με κουκκίδες. Τα μικρά μπλε ημικύκλια έχουν όλα την ίδια διάμετρο, η οποία ισούται με το μήκος του μπλε σχήματος. 

Η γραμμή με τις κόκκινες κουκκίδες περνά από τα κέντρα όλων των μπλε ημικύκλιων. Το πράσινο ημικύκλιο με τις κουκκίδες έχει ακτίνα $10$ και είναι εφαπτόμενο στη γραμμή με τις κόκκινες κουκκίδες.

Να βρεθεί το εμβαδόν ολόκληρου του μπλε σχήματος;

[9] - Geometric problems from and for Μath Contests

Στο παρακάτω σχήμα, είναι $AB\Vert JG$, $BC\Vert FI$ και $AC\Vert EH$. Αν $S$ είναι το εμβαδόν του τριγώνου $ABC$, να αποδειχθεί ότι $$S=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}{)}^2.$$

Χορδή ίση με εφαπτόμενο τμήμα

Έστω οξυγώνιο $△ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $V$, στο οποίο $$\widehat{BA{C}_{}^{}}>\widehat{CB{A}_{}^{}}.$$ 

Στην πλευρά $BC$ έστω σημείο $D$ με $$\theta =\widehat{DA{C}_{}^{}}=\widehat{CB{A}_{}^{}}.$$ Κύκλος $\mathrm{\Omega }$ εφάπτεται, του τμήματος $BD$ στο $E$, της πλευράς $DA$ στο $N$ και του κύκλου $V$ στο $Z$. Να δειχθεί ότι η χορδή $AC$ ισούται με το εφαπτόμενο τμήμα,$CE$.

Πηγή: mathematica

Γενίκευση

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο και μία τυχούσα χορδή $AT$ που τέμνει την πλευρά $BC$ στο $D$. 

 

Ένας άλλος κύκλος εφάπτεται στα τμήματα $BD,AD$ στα $E,N$ αντίστοιχα και εσωτερικά στον περίκυκλο του $ABC$ στο σημείο $Z$. Να δείξετε ότι $${\displaystyle CE\cdot AT=CT\cdot AN+AC\cdot NT.}$$

Πηγή: mathematica

[8] - Geometric problems from and for Μath Contests

Από ένα σημείο $O$ στο εσωτερικό ενός τριγώνου $AB\Gamma$, φέρουμε κάθετα ευθύγραμμα τμήματα $OM$, $ON$, και $OP$ στις πλευρές $AB$, $B$, και $A$, αντίστοιχα. 

Αν $AM=3$, $MB=5$, $BN=4$, $N\Gamma =2$ και $\Gamma P=4$, βρείτε το $PA$. 

E. Tsinovi

Διχρωμίας Λόγος

@Eduard16180

[7] - Geometric problems from and for Μath Contests

Μέσα σε έναν μεγάλο κύκλο ακτίνας $R$, έχουν σχεδιαστεί δύο μικρότεροι κύκλοι με ακτίνες $r_1$ και $r_2$, οι οποίοι εφάπτονται μεταξύ τους και εσωτερικά του μεγάλου κύκλου. 

Τα σημεία στα οποία οι μικρότεροι κύκλοι εφάπτονται του μεγάλου κύκλου ορίζουν το ευθύγραμμο τμήμα $AB$, το οποίο διέρχεται από το κοινό σημείο επαφής τους. 

Να αποδείξετε ότι 

$r_1+r_2=R$

και να εξετάσετε αν ισχύει το αντίστροφο.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ και Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ: Το βιβλίο του καθηγητή

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Αφθονία ορθών γωνιών

Από την κορυφή $A$ ενός τετραγώνου $AB\Gamma \Delta$ σχεδιάζουμε δύο ευθείες μέσα στο τετράγωνο. Από τις κορυφές $B$ και $\Delta$, φέρουμε κάθετα ευθύγραμμα τμήματα προς τις δύο ευθείες: το $BK$ και το $\Delta M$ είναι κάθετα στη μία από αυτές, ενώ το $B\Lambda$ και το $\Delta N$ είναι κάθετα στη δεύτερη. 

Αποδείξτε ότι τα τμήματα $K\Lambda$ και $MN$ είναι μεταξύ τους ίσα και κάθετα.

D. Nyamsuren

[6] - Geometric problems from and for Μath Contests

Έστω $P$ σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου $\mathrm{\Delta }ABC$ τέτοιο ώστε $\mathrm{\angle }ABP=\mathrm{\angle }ACP$. Δεδομένου ότι $AB=6$, $A{C}^{\prime }=8$, $BC=7$ και ${\displaystyle \frac{BP}{PC}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$, να υπολογιστεί ο λόγοε $[{\displaystyle \frac{BP}{ABC}}]$. (το $[XYZ]$ συμβολίζει το εμβαδόν του $\mathrm{\Delta }XYZ$). 

Harvard MIT Math Tournament 2025 

Η Ομορφιά της Σπειροειδούς Ομοιότητας!

Η σπειροειδής ομοιότητα συνδυάζει δύο θεμελιώδεις γεωμετρικές λειτουργίες: την περιστροφή και την κλίμακα (μεγέθυνση/μείωση).

Μέσω αυτής, μπορούμε να μετατρέψουμε σχήματα στο επίπεδο με έναν εντυπωσιακό τρόπο. Στο παράδειγμα, το τρίγωνο $ABC$ μετασχηματίζεται στο τρίγωνο $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ με κέντρο το σημείο $O$.

Θεώρημα

Κάθε δύο σχήματα που είναι όμοια μεταξύ τους συνδέονται είτε με μεταφορά, είτε με σπειροειδή ομοιότητα.

Αυτός ο τύπος ομοιότητας βρίσκει εκτεταμένη χρήση σε γεωμετρικές αποδείξεις και μαθηματικούς διαγωνισμούς, αναδεικνύοντας την ισχύ του στην επίλυση σύνθετων προβλημάτων!

Γεωμετρική κατασκευή του άρρητου αριθμού 3

Ο μεγάλος έχει διάμετρο ίση με το άθροισμα των διαμέτρων των 9 μικρών λευκών κύκλων. Ο κόκκινος και ο μπλε κύκλος επικαλύπτουν το κέντρο του μεγάλου γκρι κύκλου. 

Η απόσταση των σημείων τομής των δύο κύκλων (κόκκινου και μπλε) είναι $\sqrt{3}$.

Μπορεί Η Διαίσθηση Να Σε Ξεγελάσει; Η Απόδειξη Θα Σου Δείξει Την Αλήθεια!

Ποιο από τα δύο χρωματισμένα μέρη έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν; Ή μήπως είναι ίσα;

 

Συγκρίσεις Εμβαδών σε Πεντάγωνο

1. Ποιο από τα δύο ισόπλευρα τρίγωνα που είναι εγγεγραμμένα σε κανονικό πεντάγωνο έχει μεγαλύτερο εμβαδόν;

2. Ποιο από τα δύο τετράγωνα που είναι εγγεγραμμένα σε ένα κανονικό πεντάγωνο έχει μεγαλύτερο εμβαδόν;

[5] - Geometric problems from and for Μath Contests

Έστω $ABCD$ ένα ισοσκελές τραπέζιο τέτοιο ώστε $CD>AB=4$. Ας είναι το $E$ ένα σημείο στη γραμμή $CD$ τέτοιο ώστε $DE=2$ και το $D$ να βρίσκεται μεταξύ $E$ και $C$. 

Έστω $M$ το μέσο του $AE$. Δεδομένου ότι τα σημεία $A$, $B$, $C$, $D$ και $M$ βρίσκονται σε κύκλο με ακτίνα $5$, να υπολογιστεί το $MD$.

Harvard MIT Math Tournament 2025

Ισότητες και Ανισότητες στο Τρίγωνο [1-13]

1. Να αποδείξετε ότι: $$a^2+{\beta }^2+{\gamma }^2\ge 9R^2$$

2. Να αποδείξετε ότι: 

$(4R+\rho {)}^2+2\tau [\frac{R}{\rho }\sqrt{(\tau -\alpha )}+\sqrt{(\tau -\beta )}+\sqrt{(\tau -\gamma )}]\ge$

$\ge {\tau }^2+2\tau (4R+\rho )R\rho [{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\alpha (\tau -\alpha )}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\beta (\tau -\beta )}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\gamma (\tau -\gamma )}}}]$ 

Τα Τρίγωνα του Ήρωνα: Ακέραιες Πλευρές και Εμβαδόν!

Γνωρίζατε ότι υπάρχουν τρίγωνα με ακέραιες πλευρές και ακέραιο εμβαδόν; Αυτά τα τρίγωνα ονομάζονται Ηρώνεια τρίγωνα!

Ένας τρόπος να κατασκευάσουμε ένα Ηρώνειο τρίγωνο είναι να ενώσουμε δύο ορθογώνια τρίγωνα με ακέραιες πλευρές κατά μήκος μιας κοινής κάθετης πλευράς.

Για παράδειγμα, αν ενώσουμε τα δύο Πυθαγόρεια τρίγωνα $(9,12,15)$ και $(5,12,13)$, παίρνουμε το Ηρώνειο τρίγωνο $(13,14,15)$ με εμβαδόν $84$!

Μερικές ενδιαφέρουσες ιδιότητες των Ηρώνειων τριγώνων:

• Η ημιπερίμετρος τους είναι πάντα ακέραιος αριθμός.
• Το εμβαδόν τους είναι πάντα πολλαπλάσιο του $6$.

[4] - Geometric problems from and for Μath Contests

Στο τρίγωνο $\mathrm{△}ABC$, υπάρχει ένα σημείο $P$ στο εσωτερικό του. Η ευθεία $AC$ τέμνει την ευθεία $BP$  στο σημείο $Q$. Επίσης, η ευθεία $AB$ τέμνει την ευθεία $CP$ στο σημείο $R$. 

Δίνεται ότι:

• $AR=RB=CP$
• $CQ=PQ$

Να βρεθεί η γωνία $\mathrm{\angle }BRC$.

Υπολογισμός του Εμβαδού σε μία Κυκλική Διάταξη

Αν η ακτίνα καθενός από τους μικρότερους κύκλους είναι $1$ cm και η ακτίνα του μεγαλύτερου κύκλου είναι τετραγωνική ρίζα $2$, ποιο είναι το εμβαδόν της μπλε περιοχής;