Επέκταση του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Με την ονομασία αυτή είναι γνωστό το εξής θεώρημα:

Θεώρημα

Αν κατασκευάσουμε επί των καθέτων πλευρών και της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου όμοια σχήματα, τότε

το άθροισμα των εμβαδών των σχημάτων που είναι πάνω από τις κάθετες είναι ίσο με το εμβαδόν του οχήματος που είναι πάνω από την υποτείνουσα.

Thales' Theorem

Μοιρομετρήσεις

Στο παρακάτω σχήμα, είναι 

$\angle DOC = 36^\circ$, $\angle AOC = 90^\circ$, 

$\angle AOB = 4x$, $\angle FOE = 5x$. 

Να βρεθούν οι μοίρες $x$.

Kyiv Mathematical Olympiad 2025, Round 1

Τρίχρωμο εμβαδόν

Στο παρακάτω σχήμα, στο εσωτερικό του τετραγώνου έχουμε τρία χρωματισμένα τρίγωνα. 

Να βρεθεί το εμβαδόν αυτής της τριχρωματσιμένης επιφάνειας.

$S_1+S_2+S_3=S_4$

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

Άγνωστο πηλίκο

@Eduard Razvan Tomciuc

Sangaku με ίσους κύκλους

Το σημείο $D$ στην πλευρά $BC$ του $ΔABC$ είναι τέτοιο ώστε οι περιγγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $ACD$ και $ABD$ να έχουν ίσες ακτίνες. 

Να βρείτε το μήκος της $AD$, συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου.

Εύρεση γωνίας [78]

Στο παρακάτω σχήμα, να βρεθεί η γωνία $x$ στο εσωτερικό του κανονικού οκταγώνου (το πράσινο τρίγωνο έχει βάση την πλευρά του μπλε τετραγώνου).

Τετραχρωμία εμβαδών

Στο παρακάτω σχήμα, να αποδειχθεί ότι $$ S_1+S_2=S_4-S_3.$$

Πυθαγόρειο θεώρημα: $a^2 h+b^2 h = c^2h$

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

Η Μαθηματική Στήλη του Κουρέα

Στα παλιά κομμωτήρια και κουρεία χρησιμοποιούσαν μια χαρακτηριστική κυλινδρική στήλη, διακοσμημένη με κόκκινες, λευκές και μπλε ταινίες ίδιου πλάτους, τοποθετημένες σε σπειροειδή διάταξη γύρω από την επιφάνειά της.

Αν η στήλη έχει ύψος $0,5$ μέτρα και οι ταινίες σχηματίζουν γωνία $60º$ με την οριζόντια, ποια είναι η επιφάνεια που καταλαμβάνει καθένα από τα τρία χρώματα;

Μέγιστη γωνία

Με δεδομένη μια ευθεία και δύο σημεία $A$ και $B$, ποιο σημείο $P$ της ευθείας σχηματίζει τη μεγαλύτερη γωνία $APB$;

Εύρεση γωνίας [77]

Να βρεθεί η ζητούμενη γωνία.

Γινόμενα μηκών

@Eduard Razvan Tomciuc 

Εύρεση γωνίας [77]

Στο παρακάτω σχήμα, να βρεθεί η γωνία $x$ που βρίσκεται στο εσωτερικό του κανονικού εξαγώνου.

$\dfrac{G+O}{P+B+S}=? $

@RonySarker71

Όριο σε τρίγωνο - 4

@Eduard Razvan Tomciuc

Ομόκεντροι κύκλοι

Βλέπουμε ένα μυστηριώδες σύνολο ομόκεντρων κυκλικών δακτυλίων στον νυχτερινό ουρανό. Κάθε δακτύλιος έχει το ίδιο πλάτος. 

Ποιο είναι μεγαλύτερο: 

α) το εμβαδόν του μωβ σκιασμένου (εξωτερικού) δακτυλίου ή 

β) το σύνολο των δακτυλίων με κυανή σκίαση;

@Cliff Pickover

Yellow area = Red area + Green area

Pappus' Sangaku

Οι κύκλοι $C_1(r)$ και $C_2(r)$ εφάπτονται στο $Ο$ στον κύκλο $O(2r)$ και επίσης εφάπτονται στο $O(2r)$, ενώ ο $C_1(r)$ εφάπτεται στο $Τ$. 

Ο $O_1(r_1)$ εφάπτεται εσωτερικά στο $O(2r)$ και εξωτερικά τόσο στον $C_1(r)$ όσο και στον $C_2(r)$, ο $O_2(r_2)$ εφάπτεται εξωτερικά στον $O_1(r_1)$ και στον $C_1(r)$ και εσωτερικά στο $O(2r)$ κ.ο.κ.

Βρείτε το $r_n$.