Γεωμετρική κατασκευή του άρρητου αριθμού 3

Ο μεγάλος έχει διάμετρο ίση με το άθροισμα των διαμέτρων των 9 μικρών λευκών κύκλων. Ο κόκκινος και ο μπλε κύκλος επικαλύπτουν το κέντρο του μεγάλου γκρι κύκλου. 

Η απόσταση των σημείων τομής των δύο κύκλων (κόκκινου και μπλε) είναι $\sqrt{3}$.

Μπορεί Η Διαίσθηση Να Σε Ξεγελάσει; Η Απόδειξη Θα Σου Δείξει Την Αλήθεια!

Ποιο από τα δύο χρωματισμένα μέρη έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν; Ή μήπως είναι ίσα;

 

Συγκρίσεις Εμβαδών σε Πεντάγωνο

1. Ποιο από τα δύο ισόπλευρα τρίγωνα που είναι εγγεγραμμένα σε κανονικό πεντάγωνο έχει μεγαλύτερο εμβαδόν;

2. Ποιο από τα δύο τετράγωνα που είναι εγγεγραμμένα σε ένα κανονικό πεντάγωνο έχει μεγαλύτερο εμβαδόν;

[5] - Geometric problems from and for Μath Contests

Έστω $ABCD$ ένα ισοσκελές τραπέζιο τέτοιο ώστε $CD>AB=4$. Ας είναι το $E$ ένα σημείο στη γραμμή $CD$ τέτοιο ώστε $DE=2$ και το $D$ να βρίσκεται μεταξύ $E$ και $C$. 

Έστω $M$ το μέσο του $AE$. Δεδομένου ότι τα σημεία $A$, $B$, $C$, $D$ και $M$ βρίσκονται σε κύκλο με ακτίνα $5$, να υπολογιστεί το $MD$.

Harvard MIT Math Tournament 2025

Ισότητες και Ανισότητες στο Τρίγωνο [1-13]

1. Να αποδείξετε ότι: $$a^2+{\beta }^2+{\gamma }^2\ge 9R^2$$

2. Να αποδείξετε ότι: 

$(4R+\rho {)}^2+2\tau [\frac{R}{\rho }\sqrt{(\tau -\alpha )}+\sqrt{(\tau -\beta )}+\sqrt{(\tau -\gamma )}]\ge$

$\ge {\tau }^2+2\tau (4R+\rho )R\rho [{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\alpha (\tau -\alpha )}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\beta (\tau -\beta )}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\gamma (\tau -\gamma )}}}]$ 

Τα Τρίγωνα του Ήρωνα: Ακέραιες Πλευρές και Εμβαδόν!

Γνωρίζατε ότι υπάρχουν τρίγωνα με ακέραιες πλευρές και ακέραιο εμβαδόν; Αυτά τα τρίγωνα ονομάζονται Ηρώνεια τρίγωνα!

Ένας τρόπος να κατασκευάσουμε ένα Ηρώνειο τρίγωνο είναι να ενώσουμε δύο ορθογώνια τρίγωνα με ακέραιες πλευρές κατά μήκος μιας κοινής κάθετης πλευράς.

Για παράδειγμα, αν ενώσουμε τα δύο Πυθαγόρεια τρίγωνα $(9,12,15)$ και $(5,12,13)$, παίρνουμε το Ηρώνειο τρίγωνο $(13,14,15)$ με εμβαδόν $84$!

Μερικές ενδιαφέρουσες ιδιότητες των Ηρώνειων τριγώνων:

• Η ημιπερίμετρος τους είναι πάντα ακέραιος αριθμός.
• Το εμβαδόν τους είναι πάντα πολλαπλάσιο του $6$.

[4] - Geometric problems from and for Μath Contests

Στο τρίγωνο $\mathrm{△}ABC$, υπάρχει ένα σημείο $P$ στο εσωτερικό του. Η ευθεία $AC$ τέμνει την ευθεία $BP$  στο σημείο $Q$. Επίσης, η ευθεία $AB$ τέμνει την ευθεία $CP$ στο σημείο $R$. 

Δίνεται ότι:

• $AR=RB=CP$
• $CQ=PQ$

Να βρεθεί η γωνία $\mathrm{\angle }BRC$.

Υπολογισμός του Εμβαδού σε μία Κυκλική Διάταξη

Αν η ακτίνα καθενός από τους μικρότερους κύκλους είναι $1$ cm και η ακτίνα του μεγαλύτερου κύκλου είναι τετραγωνική ρίζα $2$, ποιο είναι το εμβαδόν της μπλε περιοχής;

Απόδειξη για Τετράγωνα Αποστάσεων

Να αποδειχθεί ότι : $$2(O{P}^2+O{Q}^2+O{R}^2+O{S}^2)=F{A}^2+F{B}^2+F{C}^2+F{D}^2.$$

23 -- 03 -- 25 

Debarbara Nag -- A.B.Γ.

Ισεμβαδικά τρίγωνα

Στο σχήμα επί των πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου κατασκευάσαμε τρία τετράγωνα. Ενώνουμε τις κορυφές τους και σχηματίζονται τρία τρίγωνα. 

Να αποδείξετε ότι αυτά τα τρίγωνα έχουν ίσα εμβαδά. 

Ν. Αβίλοφ (Περιοδικό Quantum)

4 Γεωμετρικά Προβλήματα με Κύκλους και Πολύγωνα

Πρόβλημα 1

Να αποδειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο $ABC$ και για κάθε κύκλο $O$ που είναι εφαπτόμενος στις πλευρές $AB$ και $AC$, ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $BFC$ και ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $ABC$ είναι εφαπτόμενοι στην πλευρά $BC$ στο ίδιο σημείο.

Πρόβλημα 2

Να αποδειχθεί ότι αν οι κύκλοι $O_1$ και $O_2$ είναι ίσοι και εφαπτόμενοι ο ένας στον άλλο και στις πλευρές του τετραγώνου $ABCD$, όπως φαίνεται στο σχήμα, τότε ο κύκλος $O_3$ είναι του ίδιου μεγέθους και αυτός.

Τριχοτόμηση Γωνίας 54°: Όταν Σπάνε οι Κανόνες

Ένα από τα τρία διάσημα αρχαία γεωμετρικά προβλήματα είναι η τριχοτόμηση μιας γωνίας με κανόνα και διαβήτη. Ενώ είναι γνωστό ότι γενικά το πρόβλημα αυτό (όπως και τα άλλα δύο) δεν είναι λύσιμο με παραδοσιακές γεωμετρικές μεθόδους, υπάρχουν ορισμένες εξαιρέσεις. 

Στην περίπτωση αυτή, ζητείται να τριχοτομήσουμε μια γωνία 54° χρησιμοποιώντας μόνο διαβήτη. 

A. Shvetsov (Περιοδικό Quantum) 

Όλα ισοσκελή

Επί των ευθειών $AB$ και $BC$ ενός παραλληλογράμμου $ABCD$, επιλέγονται σημεία $H$ και $K$ έτσι ώστε τα τρίγωνα $KAB$ και $HCB$ να είναι ισοσκελή ($KA=AB,HC=CB$). 

Αποδείξτε ότι το τρίγωνο $KDH$ είναι επίσης ισοσκελές. 

(V. Gutenmacher))

Πέντε ισεμβαδικά τρίγωνα

Πώς μπορεί να σχεδιαστεί ένα $BDEFG$ ζιγκ ζαγκ σε ένα τρίγωνο $ABC$, έτσι ώστε τα πέντε τρίγωνα που σχηματίζονται να έχουν το ίδιο εμβαδόν;

Περιοδικό Quantum

Λόγος περί λόγου

Στο παρακάτω σχήμα, να βρεθεί ο λόγος ${\displaystyle \frac{AE}{CE}}.$

@PerHenrikChris1

Λόγος Ακτίνων 3:2

Αν οι ακτίνες των εγγεγραμμένων κύκλων στις κάθετες πλευρές σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχουν αναλογία $3:2$, τότε ποιες είναι οι γωνίες του;

Εμβαδόν επταγώνου

Στο τρίγωνο $ABC$, τα σημεία $D$ και $E$ βρίσκονται στην πλευρά $\overline{AB}$ έτσι ώστε $AD<AE<AB$, ενώ τα σημεία $F$ και $G$ βρίσκονται στην πλευρά $\overline{AC}$ έτσι ώστε $AF<AG<AC$.

Έστω ότι $AD=4$,$DE=16$,$EB=8$,$AF=13$,$FG=52$ και $GC=26$.

Έστω $M$ το συμμετρικό σημείο του $D$ ως προς το $F$, και $N$ το συμμετρικό του $G$ ως προς το $E$. Το εμβαδόν του τετραπλεύρου $DEGF$ είναι $288$.

Βρείτε το εμβαδόν του επταγώνου $AFNBCEM$.

AIME 2025

[3] - Geometric problems from and for Μath Contests

Έστω $P$ σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου $\mathrm{\Delta }ABC$ τέτοιο ώστε $\mathrm{\angle }ABP=\mathrm{\angle }ACP$.

Δεδομένου ότι $AB=6$, $A{C}^{\prime }=8$, $BC=7$ και ${\displaystyle \frac{BP}{PC}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$, να υπολογιστεί ο λόγοε $[{\displaystyle \frac{BP}{ABC}}]$. (το $[XYZ]$ συμβολίζει το εμβαδόν του $\mathrm{\Delta }XYZ$).

Harvard MIT Math Tournament 2025

Ζητούμενο άθροισμα

Ο κύκλος ${\omega }_1$ με ακτίνα $6$ και κέντρο το σημείο $A$ είναι εσωτερικά εφαπτόμενος στον κύκλο ${\omega }_2$ με ακτίνα $15$ στο σημείο $B$. 

Τα σημεία $C$ και $D$ βρίσκονται στον κύκλο ${\omega }_2$ έτσι ώστε το $\overline{BC}$ να είναι διάμετρος του κύκλου ${\omega }_2$ και $\overline{BC}\perp \overline{AD}$. 

Μήκος πλευράς εξαγώνου

Όλες οι πλευρές του μη κανονικού εξαγώνου έχουν ίσο μήκος.Το τετράγωνο έχει πλευρά $1$.

Ποιο είναι το μήκος μίας πλευράς του εξαγώνου;