3-4-5 Triangle by a Kid

Two pink circles of radius $r$ and two white circles of radius $t$ are inscribed in a square, as shown. 

The square itself is inscribed in a large triangle and, as illustrated, two circles of radii $r$ and $R$ are inscribed in the small triangles outside the square. Show that $R=2t$.

Solution

Σάρωση για να αποθηκεύσετε ή να κοινοποιήσετε την ανάρτηση

Λόγος Εμβαδών Ορθογωνίων

Δίνεται ορθογώνιο $ABCD$, όπου ισχύει: 

$AB:BC=2:1.$ 

Πάνω στις πλευρές $AB,BC,CD,DA$ του ορθογωνίου $ABCD$ βρίσκονται διαδοχικά τα σημεία $K,L,M,N$, έτσι ώστε το τετράπλευρο $KLMN$ να είναι επίσης ορθογώνιο και να ισχύει: 

$KL:LM=3:1.$ 

Να υπολογιστεί ο λόγος των εμβαδών των ορθογωνίων $ABCD$ και $KLMN$. 

Θεώρημα του Πτολεμαίου: Η Σχέση Πλευρών και Διαγωνίων

Θεώρημα του Πτολεμαίου

Σε ένα εγγράψιμο τετράπλευρο (δηλαδή τετράπλευρο του οποίου οι κορυφές ανήκουν σε έναν κύκλο), το άθροισμα των γινομένων των ζευγών των αντίθετων πλευρών ισούται με το γινόμενο των διαγωνίων. 

Δηλαδή, αν έχουμε ένα κυκλικό τετράπλευρο με πλευρές $a,b,c,d$ και διαγώνιες $e,f$, τότε: $$a\cdot c+b\cdot d=e\cdot f.$$

Γαλάζιο πριόνι

Από ένα κανονικό εξάγωνο αφαιρούμε έξι τρίγωνα, το καθένα με μέτρα γωνίας $30◦,60◦$ και $90◦$, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. 

Εάν το μήκος της μεγαλύτερης διαγωνίου του εξαγώνου είναι $12$, ποιο είναι το εμβαδόν του χρωματισμένου πριονιού;

Eμβαδόν κυρτού εξαγώνου

Δίνονται δύο κύκλοι ${\omega }_1$​ και ${\omega }_2$​, οι οποίοι είναι εξωτερικά εφαπτόμενοι, με κέντρα τα σημεία $O_1$​ και $O_2$​, αντίστοιχα. Ένας τρίτος κύκλος $\mathrm{\Omega }$ διέρχεται από τα σημεία $O_1$​ και $O_2$​, και τέμνει:

• τον κύκλο ${\omega }_2$ στα σημεία $A$ και $D$,
• τον κύκλο ${\omega }_1$​ στα σημεία $B$ και $C$.

Όλα τα σημεία $A,B,C,D,O_1,O_2$​ βρίσκονται πάνω στον κύκλο $\mathrm{\Omega }$, και σχηματίζουν το κυρτό εξάγωνο $AB{O}_{1}CD{O}_2$​.

Εάν ισχύουν:

• $AB=2$,
• $CD=16$,
• $O_1{O}_2=15$,

τότε να βρείτε το εμβαδόν του κυρτού εξαγώνου $AB{O}_{1}CD{O}_2$​.

AIME 2022

Εμβαδόν τραπεζίου = (ημιάθροισμα των βάσεων του) x ύψος

Από το σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας Β΄ Λυκείου.

Πέντε τετράγωνα

Στο παρακάτω σχήμα, έχουμε ένα μεγάλο τετράγωνο και τέσσερα μικρότερα ίσα τετράγωνα.

Να βρεθεί το εμβαδόν των μικρών τετραγώνων.

Τριχοτόμηση Γωνίας με Αναδίπλωση Χαρτιού

Η τριχοτόμηση μιας αυθαίρετης γωνίας — δηλαδή η διαίρεσή της σε τρία ίσα μέρη — είναι ένα από τα κλασικά προβλήματα της αρχαίας ελληνικής γεωμετρίας.
Αποδείχθηκε ότι είναι αδύνατο να επιλυθεί με κανόνα και διαβήτη μόνο, όπως απέδειξε ο Pierre Wantzel το 1837.

Ωστόσο, η χρήση αναδιπλώσεων (origami) ανοίγει νέους δρόμους: η τριχοτόμηση καθίσταται εφικτή!

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια γωνία σχεδιασμένη στην άκρη ενός φύλλου χαρτιού – συγκεκριμένα, θεωρούμε τη γωνία που σχηματίζεται ανάμεσα στον βάση του φύλλου και μια ευθεία γραμμή $d$.

Βήματα της κατασκευής:

Γεωμετρία παντού!

 

Ισοσκελές τρίγωνο και τετράγωνο

Το ισοσκελές τρίγωνο $ABC$ (με $AB=BC$) και το τετράγωνο $AKLM$ είναι τοποθετημένα, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Το σημείο $S$ πάνω στη $AB$ είναι τέτοιο ώστε $AS=SL$.

Βρείτε τη γωνία $\angle SLB$.

Περιοδικό Quantum

Πώς να σχεδιάσετε ένα κανονικό πεντάγωνο;

Απόδειξη του Πυθαγόρειου Θεωρήματος μέσω Γεωμετρικής Σειράς – Η απόδειξη του Arioni

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι μία από τις πιο γνωστές σχέσεις στα Μαθηματικά: $a^2+b^2=c^2$. Ανά τους αιώνες έχουν δοθεί πάνω από 400 διαφορετικές αποδείξεις. Εδώ παρουσιάζουμε μία λιγότερο γνωστή αλλά ιδιαίτερα εντυπωσιακή απόδειξη που βασίζεται στη γεωμετρική σειρά. 

Το Γεωμετρικό Μοντέλο

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο $\mathrm{△}ABC$, με $\mathrm{\angle }A={90}^{\circ }$, $AB=a$, $AC=b$, και υποτείνουσα $BC=c$. Το τρίγωνο διαμερίζεται σε άπειρα τρίγωνα, τα οποία εναλλάσσονται σε χρώμα και μέγεθος, όπως φαίνεται στην πιο πάνω εικόνα. 

Διπλάσιο της χορδής

Έστω $M$ το μέσο ενός τμήματος $OK$ και $N$ το μέσο του $OM$. Γράφω τους κύκλους $(O,OM),(K,KN)$ και ονομάζω $A$ ένα κοινό σημείο τους. 

Φέρνω το κοινό εφαπτόμενα τμήμα $ST$ που βρίσκεται πλησιέστερα στο $A$ ($S$ σημείο του κύκλου ($O$) ). Να δείξετε ότι $ST=2SA$ και να υπολογίσετε το $\cos \theta$, όπου $\theta =A\hat{O}S$.

Πηγή: mathematica

Sangaku in Multiple Geometries: Examining Japanese Temple Geometry Beyond Euclid

 

Click on the image.

A Geometric Mean Sangaku

Squares and circles are inscribed in successive right triangles. 

What is the relation between the radii of the circles?

Solution

Όμορφο παζλ του Henry Dudeney

Αν μια σημαία του Αγίου Γεωργίου έχει διαστάσεις $4\times 3$ και περιέχει ίσες επιφάνειες κόκκινου και λευκού χρώματος, ποιο είναι το πλάτος των μερών του σταυρού;

Εμβαδόν της Μπλε Περιοχής

To μικρότερο από τα τρία τετράγωνα του παρακάτω σχήματος έχει εμβαδόν $7$. 

Να βρεθεί το εμβαδόν της χρωματισμένης επιφάνειας.

Viviani’s Theorem

Sangaku via Peru

Να αποδειχθεί ότι: $${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}={\displaystyle \frac{1}{m}}+{\displaystyle \frac{1}{n}}.$$

 

Επικαλυπτόμενα χαρτιά

Κίτρινα και κόκκινα ημιδιαφανή χαρτιά σε σχήμα ορθογωνίου τοποθετούνται το ένα πάνω στο άλλο, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα, σχηματίζοντας ένα πορτοκαλί τετράπλευρο $ABCD$. 

Δίνεται ότι $\mathrm{\angle }EAB={65}^{\circ }$. Να βρεθεί η γωνία $\angle BCD$. 

A) ${100}^{\circ }$     B) ${105}^{\circ }$    C) ${110}^{\circ }$     D) ${115}^{\circ }$      E) ${120}^{\circ }$