Make Two 3D Vectors Parallel by Rotating Them Around Separate Axes

Δημιουργία τριών ελλείψεων !

Πως σχεδιάζουμε μια υπερβολή με δύο κύκλους

Πως σχεδιάζουμε μια διάμετρο με δύο κύκλους?

Με τη σειρά: $\sqrt{2} , 2, 2\sqrt{2} , 4, 4\sqrt{2} , 8,...$

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ: Κανονικό πεντάγωνο

Κατασκευή του αριθμού π (με προσέγγιση)

Πώς να κατασκευάσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους $π=3,1415$;

Δημιουργήστε ένα φιλί

Ο Frederick Soddy, νικητής του βραβείου Νόμπελ το 1921, ονόμασε Kiss αυτό που εμείς ονμάζουμε κύκλους του Descartes.

Δίνονται τρία σημεία σε κύκλο.

Να κατασκευάσουμε τρεις κύκλοι που εφάπτονται εξωτερικά ανά ζεύγη και εφάπτονται εσωτερικά στον δεδομένο κύκλο στα δεδομένα σημεία.

Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου

Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου με κανόνα και διαβήτη.

Κατασκευή τετραγώνου

Κατασκευή τετραγώνου με κανόνα και διαβήτη.

Κατασκευή κανονικού επταγώνου

Το επτάγωνο είναι ένα από τα μόνα κανονικά πολύγωνα που δεν μπορούν να κατασκευαστούν με πυξίδα και χάρακα. Αυτή είναι απλώς μια προσέγγιση που μας οδηγεί σε έναν βαθμό ακρίβειας.

Κατασκευή τέταρτης αναλόγου

Αν δοθούν τρία ευθύγραμμα τμήματα $α, β$ και $γ$, να κατασκευασθεί το τμήμα x, που ορίζεται από την αναλογία

$\dfrac{α}{β} = \dfrac{γ}{x}$.

Λύση

Έστω μια γωνία $zÔy$. Πάνω στη μία πλευρά της Οz παίρνουμε διαδοχικά τα τμήματα $ΟΑ = α, ΑΒ = β$ και πάνω στην $Oy$ το τμήμα $ΟΓ = y$.

Από το $Β$ φέρουμε την παράλληλη προς την $ΑΓ$, που τέμνει την $Oy$ στο $Δ$. Τότε $ΓΔ = x$ γιατί

$\dfrac{ΟΑ}{ΑΒ} = \dfrac{ΟΓ}{ΓΔ}$

ή

$\dfrac{α}{β} = \dfrac{γ}{x}$.

Είναι φανερό ότι με τον ίδιο τρόπο κατασκευάζεται το τμήμα $x$ αν

$\dfrac{x}{α} = \dfrac{β}{γ}$ ή $\dfrac{α}{x} = \dfrac{β}{γ}$ ή $\dfrac{α}{β} = \dfrac{x}{γ}$, αρκεί κάθε φορά να γράφουμε το $x$ ως τέταρτο όρο της αναλογίας.

Από σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας.

Ισεμβαδικά σχήματα

Να κατασκευαστεί ένα ισοσκελές τρίγωνο επί της μίας πλευράς ενός κανονικού πενταγώνου με τέτοιο τρόπο, ώστε τα εμβαδά του τριγώνου και του πενταγώνου να είναι ίσα, όπως φαίνεται παρακάτω.

Trisecting an angle

Πως κατασκευάζουμε τετράγωνο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν δοθέντος ορθογωνίου;

Δίνεται το ορθογώνιο $AGHI$.

1. Προεκτείνουμε την $AG$ στο $J$, έτσι ώστε $GJ = GH$.

2. Σημειώνουμε το μέσο $O$, του $AJ$.

3. Χρησιμοποιώντας το $Ο$ ως κέντρο, το $ΟΑ$ ως ακτίνα, σχεδιάζουμε ένα ημικύκλιο.

4. Προεκτείνουμε την $GH$ και σημειώνουμε με $Κ$ το σημείο τομής με το ημικύκλιο.

5. Χρησιμοποιήστε το $GK$ ως πλευρά, κατασκευάζουμε το τετράγωνο $GKLM$.

6. Εμβαδόν του $AGHI$ = εμβαδόν του $GKLM$.

Απόδειξη;

Πως κατασκευάζουμε τετράγωνο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν ενός δεδομένου πολυγώνου;

Βήμα 1

Αρχικά θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα τρίγωνο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν ενός δεδομένου τετραπλεύρου. Η μέθοδος που αναφέρεται εδώ μπορεί να επεκταθεί σε οποιοδήποτε άλλο πολύγωνο. 

Δίνεται ένα τετράπλευρο $ABCD$.

1. Φέρουμε την $BD$.

2. Σχεδιάστε μια ευθεία που διέρχεται από το $C$ και είναι παράλληλη προς τη $DB$.

3. Προεκτείνουμε την $ΑΒ$ ώστε να συναντήσει την ευθεία του 2 στο σημείο $Ε$.

4. Φέρουμε την $DE$.

5. Τότε το τρίγωνο $AED$ έχει ίσο εμβαδόν με το τετράπλευρο $ABCD$.

Απόδειξη;

Πως κατασκευάζουμε ένα ορθογώνιο ίσου εμβαδού με ένα δεδομένο τρίγωνο;

Δίνεται το τρίγωνο $AED$.

1. Σχεδιάζουμε μια ευθεία που διέρχεται από το $D$ και είναι παράλληλη προς το $AE$.

2. Διχοτομούμε το τμήμα $AE$ στο σημείο $G$.

3. Από το $G$ υψώνουμε μια κάθετη στην $AE$ που τέμνει την ευθεία του $1$ στο $H$.

4. Από το $Α$ υψώνουμε μια κάθετη στην $ΑΕ$ που τέμνει την ευθεία στο $1$ στο $Ι$.

5. Τότε το εμβαδόν του ορθογωνίου $AGHI$ είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου $AED$.

Απόδειξη;

Κατασκευή ενός κανονικού 17 - γώνου με κανόνα και διαβήτη

Όμορφος τρόπος κατασκευής 6 ελλείψεων

 

Δύο Γεωμετρικές κατασκευές

1. Να κατασκευαστεί το παρακάτω σχήμα:

2. Να κατασκευαστεί το παρακάτω σχήμα: