Hockey Stick Identity από το Τρίγωνο του Πασκάλ

Η ταυτότητα αυτή εκφράζεται μαθηματικά ως εξής: $$\sum _{i=0}^r(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+i}{i})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r+1}{r})$$ Αυτή η ταυτότητα λέει ότι το άθροισμα των διωνυμικών συντελεστών από ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})}$ έως ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r}{r})}$ είναι ίσο με τον διωνυμικό συντελεστή ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r+1}{r})}$. 

 

Το όνομα "Hockey Stick" προέρχεται από το σχήμα που δημιουργείται όταν απεικονίζεται αυτή η σχέση στο Τρίγωνο του Πασκάλ, το οποίο μοιάζει με το σχήμα ενός ραβδιού χόκεϊ. 

Αριθμητικές σχέσεις στο τρίγωνο Pascal

Το τρίγωνο Pascal σχηματίζεται ως εξής:

Οι αριθμοί $1$ βρίσκονται σε κάθε πλευρά του τριγώνου και οι υπόλοιποι είναι το άθροισμα των δύο αριθμών ακριβώς από πάνω τους.

Pascal, Catalan, Συνάντηση

Όταν το τρίγωνο του Pascal συναντά τους αριθμούς Catalan $$1,1,2,5,14,42,132,...$$

Blaise Pascal: «It is a natural illness of man to think that he possesses the truth directly»

Μαθηματικά γραμματόσημα: Blaise Pascal (1623-1662)

Blaise Pascal (1623-1662)

THEOREM OF THE DAY: Pascal’s Rule

Click on the image.

Τα τρίγωνα του Pascal στο χώρο

Η παρακάτω πυραμίδα που κατασκευάζεται από τα τρίγωνα του Pascal στο χώρο επιτρέπει τον προσδιορισμό όλων των αριθμητικών συντελεστών, οι οποίοι είναι αναπτύγματα των συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού με τρία μονώνυμα.

Τρίγωνο Pascal - Διωνυμικό Θεώρημα του Νεύτωνα

Pascal's Mystic Hexagon (Geogebra)

Click on the image.

Blaise Pascal: fire ...

He died in 1692 when he was 39 years young. Eight years before death, he left his brilliant career as a physicist and mathematician for the monastery where he defended the Jansenists against the Jesuits. He explained the change:

Reason has its own sphere, mathematics and the natural sciences… but the truths which it is really important for man to know, his nature and his supernatural destiny, these cannot be discovered by the philosopher or the scientist. I passed a long time in the study of the abstract sciences, but the scant communication which one can have in them (that is, the comparative fewness of the people with whom one shares these studies and with whom one can communicate) disgusted me.

Blaise Pascal (1623-1662): «Οι άνθρωποι σχεδόν πάντα καταλήγουν στις πεποιθήσεις τους όχι βάσει αποδείξεων, αλλά βάσει αυτού που βρίσκουν ελκυστικό»

Pascal's Theorem

Pascal's Theorem

Blaise Pascal, μία διὰ Χριστὸν ἰδιοφυία

Ο Blaise Pascal ήταν μαθηματικός, φυσικός, συγγραφέας καὶ φιλόσοφος. Γεννήθηκε τὸ 1623 στὸ Clermont τῆς Γαλλίας. Ἀπὸ μικρὸς ἐμφάνισε δείγματα ἰδιαίτερης εὐφυίας καὶ ἐφευρετικότητας, τὰ ὁποία ἀντιλήφθηκε γρήγορα ὁ πατέρας του, μὲ ἀποτέλεσμα νὰ ἀναλάβει ἀποκλειστικὰ ὁ ἴδιος τὴ μόρφωσή του. 

Ἀπὸ τὰ τρία του, μόλις, χρόνια ὁ Pascal ἔμεινε χωρὶς μητέρα, ἐνῶ ἀπὸ τὴν ἡλικία τῶν 12 μέχρι τῶν 30 περίπου ἐτῶν ἔκανε πολυ σημαντικὲς ἀνακαλύψεις στον χῶρο τῶν μαθηματικῶν καὶ τῆς φυσικῆς.

εφ2Α, εφ3Α, εφ4α, ... : Βρείτε εύκολα τους τύπους με το τρίγωνο Pascal !

Extension of Pascal's Triangle (a+b+c)n

Pascal's Pyramid

In mathematics, Pascal's pyramid is a three-dimensional arrangement of the trinomial numbers, which are the coefficients of the trinomial expansion and the trinomial distribution. 

Pascal's pyramid is the three-dimensional analog of the two-dimensional Pascal's triangle, which contains the binomial numbers and relates to the binomial expansion and the binomial distribution. The binomial and trinomial numbers, coefficients, expansions, and distributions are subsets of the multinomial constructs with the same names.

Read more »

Χαρτονόμισμα με τον Blaise Pascal (Banque de France)

Τα Μαθηματικά στα γραμματόσημα: Seoul ICM 2014

Seoul, Korea, 13-21 August 2014

The International Congress of Mathematicians (ICM)

MITSUBISHI logo brand

Limaçon (or snail) of Pascal

Courbe étudiée par Dürer en 1525 (sous le nom d'arachnée), Étienne Pascal en 1630, et Roberval (qui a donné le nom à la courbe) en 1650. Étienne Pascal (1588 -1651) : magistrat et mathématicien amateur, père de Blaise.

Κάντε κλικ στην εικόνα.