Αντίφαση στο Σύνταγμα των Η.Π.Α

Σαν σήμερα, στις 6 Δεκεμβρίου το $1947$, ο Kurt Gödel έδωσε εξετάσεις για να γίνει πολίτης των Ηνωμένων Πολιτειών. 

Ως επιμελής που ήταν, μελέτησε προσεκτικά το σύνταγμα για τις εξετάσεις και αισθάνθηκε ότι είχε βρει μια αντίφαση (Gödel's Loophole).

Maths in a minute: Gödel's incompleteness theorems

In the early 20th century, the mathematician David Hilbert had a dream. He was hoping that all of mathematics could be grounded on a small, elegant collection of self-evident truths, or axioms. Using the rules of logical inference, one should then be able to derive any true mathematical statement directly from these axioms.

The paradox at the heart of mathematics: Gödel's Incompleteness Theorem

Marcus du Sautoy: Explore Gödel’s Incompleteness Theorem, a discovery which changed what we know about mathematical proofs and statements.

The Mathematician Who Discovered Math's Greatest Mystery

Akihiro Kanamori – Gödel vis-à-vis Russell: Logic and Set Theory

ΒΙΒΛΙΟ: Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid, by Douglas R. Hofstadter

One of the best books on mathematical logic:

΄

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Ο Ντάβιντ Χίλμπερτ και το συνέδριο – Ο Κουρτ Γκέντελ και η θεωρία τηs μη πληρότητας

Ο Ντάβιντ Χίλμπερτ υπήρξε για πολλούς ο κορυφαίος μαθηματικός της γενιάς του και ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών. Γεννήθηκε στο Κένιγκσμπεργκ και ήταν καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν, ένα από τα πιο σπουδαία πανεπιστήμια στον κόσμο.

Τον Αύγουστο του 1900, το Παρίσι φιλοξένησε το 2ο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών. Στο αμφιθέατρο της Σορβόννης, ο Ντάβιντ Χίλμπερτ, που ήταν ο κύριος ομιλητής του συνεδρίου, παρουσίασε έναν κατάλογο με τα 23, κατά την κρίση του, σπουδαιότερα προβλήματα των οποίων η λύση θα συντελούσε εντυπωσιακά στην πρόοδο της επιστήμης, και προκάλεσε τους μαθηματικούς του 20ού αιώνα δηλώνοντας:

These Are the 10 Hardest Math Problems Ever Solved: Gödel’s Incompleteness Theorems [6]

Gödel’s work in mathematical logic was totally next-level. On top of proving stuff, Gödel also liked to prove whether or not it was possible to prove stuff. His Incompleteness Theorems are often misunderstood, so here’s a perfect chance to clarify them.

Gödel’s First Incompleteness Theorem says that, in any proof language, there are always unprovable statements. There’s always something that’s true, that you can’t prove true. It’s possible to understand a (non-mathematically rigorous) version of Gödel’s argument, with some careful thinking. So buckle up, here it is: Consider the statement, “This statement cannot be proven true.”

Gödel’s Mathematical Proof of God’s Existence

Πήρα αυτήν την απόδειξη από τον Hao Wang, «Reflections on Kurt Gödel» (Cambridge, Mass.: MIT Press, 1987), σελίδα 195.

Aπό το βιβλίο «Passion for Mathematics», Clifford Pickover.

Can you solve it? Gödel’s incompleteness theorem

In 1931, the Austrian logician Kurt Gödel published his incompleteness theorem, a result widely considered one of the greatest intellectual achievements of modern times.

The theorem states that in any reasonable mathematical system there will always be true statements that cannot be proved. The result was a huge shock to the mathematical community, where the prevailing view was an unshakeable optimism about the power and reach of their subject. It had been assumed that maths was “complete”, meaning that all mathematical statements are either provable or refutable. The 25-year-old Gödel demonstrated this was incorrect by constructing a true statement that was not provable. Maths, he announced, has its limits.

Read more »

Δεύτερο θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ

Το δεύτερο θεώρημα μη πληρότητας Γκέντελ μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:Για κάθε αποτελεσματικά παραχθείσα τυπική θεωρία Θ που συμπεριλαμβάνει βασικές αριθμητικές αλήθειες και επίσης συγκεκριμένες αλήθειες για την δυνατότητα τυπικής απόδειξης, η Θ συμπεριλαμβάνει δήλωση περί της ιδίας συνέπειας αν και μόνο αν η Θ είναι ασυνεπής.

Αυτό ενισχύει το πρώτο θεώρημα μη πληρότητας, επειδή η δήλωση που κατασκευάσαμε στο πρώτο θεώρημα μη πληρότητας δεν εκφράζει ευθέως την συνέπεια της θεωρίας. Η απόδειξη του δεύτερου θεωρήματος μη πληρότητας λαμβάνεται, ουσιαστικά, τυπικοποιώντας την απόδειξη του πρώτου θεωρήματος μη πληρότητας μέσα στην ίδια την θεωρία.

Πρώτο θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ

Το πρώτο θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ δηλώνει ότι:
Οποιαδήποτε αποτελεσματικά παραχθείσα θεωρία που είναι ικανή να εκφράσει τη στοιχειώδη αριθμητική δεν μπορεί να είναι και συνεπής και πλήρης.

Συγκεκριμένα, για κάθε συνεπή, αποτελεσματικά παραχθείσα τυπική θεωρία που αποδεικνύει συγκεκριμένες αλήθειες βασικής αριθμητικής, υπάρχει μία αριθμητική δήλωση η οποία είναι αληθής, αλλά δεν μπορεί να αποδειχθεί από τη θεωρία (Kleene 1967, p. 250).

Πρώτο και δεύτερο θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ

- Το πρώτο θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ δηλώνει ότι:

Οποιαδήποτε αποτελεσματικά παραχθείσα θεωρία που είναι ικανή να εκφράσει τη στοιχειώδη αριθμητική δεν μπορεί να είναι και συνεπής και πλήρης. Συγκεκριμένα, για κάθε συνεπή, αποτελεσματικά παραχθείσα τυπική θεωρία που αποδεικνύει συγκεκριμένες αλήθειες βασικής αριθμητικής, υπάρχει μία αριθμητική δήλωση η οποία είναι αληθής, αλλά δεν μπορεί να αποδειχθεί από τη θεωρία (Kleene 1967, p. 250).

- Το δεύτερο θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:

Για κάθε αποτελεσματικά παραχθείσα τυπική θεωρία Θ που συμπεριλαμβάνει βασικές αριθμητικές αλήθειες και επίσης συγκεκριμένες αλήθειες για την δυνατότητα τυπικής απόδειξης, η Θ συμπεριλαμβάνει δήλωση περί της ιδίας συνέπειας αν και μόνο αν η Θ είναι ασυνεπής.

▪ Ο Γκέντελ και ο χρόνος

Η εξαφάνιση του χρόνου από τον Γκέντελ

O Immanuel Kant υποστήριζε την άποψη ότι η αλλαγή είναι μια αυταπάτη που οφείλεται στους ειδικούς μας ανθρώπινους τρόπους πρόσληψης. Συγκεκριμένα, στην Κριτική του Καθαρού Λόγου, ο Καντ δηλώνει: «Εκείνα τα συναισθήματα τα οποία παρουσιάζουμε στους εαυτούς μας ως αλλαγές, σε όντα με άλλες μορφές διαίσθησης θα προκαλούσαν μια πρόσληψη στην οποία η ιδέα του χρόνου, και συνεπώς και της αλλαγής, δε θα εμφανιζόταν καθόλου».

Το 1949 ο Kurt Gödel (Γκέντελ), προς τιμή των εβδομηκοστών γενεθλίων του Αϊνστάιν, παρουσίασε ένα άρθρο με λύσεις των εξισώσεων πεδίου του Αϊνστάιν στη ΓΘΣ. Οι λύσεις του παρήγαγαν θεωρητικά σύμπαντα στα οποία «δεν μπορούσε κανείς με τίποτε να υποθέσει αντικειμενική παρέλευση του χρόνου». Σ’ ένα τέτοιο κόσμο, ταξίδια στο χρόνο μέσα στο μέλλον ή στο παρελθόν είναι δυνατά με τον ίδιο ακριβώς τρόπο με τον οποίο μπορούμε να ταξιδεύουμε σε διαφορετικές διευθύνσεις στο χώρο. Στο σύμπαν του Γκέντελ, εγκαταλείπεται η διάκριση ανάμεσα σε νωρίτερα και αργότερα. Το ερώτημα είναι αν εάν μπορούμε, με βάση τα αποτελέσματα παρατηρήσεων, να αποκλείσουμε την πιθανότητα να είναι αυτό το μαθηματικά δυνατό σύμπαν υποψήφιο για το φυσικό σύμπαν......

Αν ο Αϊνστάιν μεταμόρφωσε το χρόνο σε χώρο, ο Γκέντελ πέτυχε κάτι ακόμα πιο μαγικό: τον εξαφάνισε. Έχοντας ήδη σείσει συθέμελα το μαθηματικό κόσμο με το θεώρημα της μη πληρότητας, τώρα ο Γκέντελ καταπιανόταν με τον Αϊνστάιν και τη σχετικότητα.

Τα μαθηματικά, η φυσική και η φιλοσοφία των ευρημάτων του Γκέντελ ήταν εντελώς καινούρια. Στους πιθανούς κόσμους που θα διέπονταν απ’ αυτές τις νέες κοσμολογικές λύσεις, (τα αποκαλούμενα περιστρεφόμενα ή σύμπαντα Γκέντελ), προέκυπτε πως η δομή του χωροχρόνου στρεβλώνεται ή καμπυλώνεται τόσο πολύ από την κατανομή της ύλης, ώστε δημιουργούνται χρονοειδείς διαδρομές με φορά προς το μέλλον, που αν τις ακολουθήσει ένα ταχύτατο διαστημόπλοιο – ο Γκέντελ είχε βρει ακριβώς την ταχύτητα και τα καύσιμα που θα απαιτούνταν, ξεχνώντας μόνο το φαγητό των κοσμοναυτών – μπορεί να εισέλθει σε οποιαδήποτε περιοχή του παρελθόντος, του παρόντος ή του μέλλοντος.

▪ Θεώρημα της μη πληρότητας

▪ Το 1ο Θεώρημα της μη πληρότητας

“Σε κάθε τυπικό σύστημα, επαρκές για τη θεωρία των αριθμών, υπάρχει ένας–μη αποφασίσιμος μαθηματικός τύπος-δηλαδή, ένας τύπος που δεν είναι αποδείξιμος και που η άρνησή του είναι επίσης μη αποδείξιμη.” 

▪ Το 2ο Θεώρημα της μη πληρότητας
“Η συνέπεια ενός τυπικού συστήματος επαρκούς για τη θεωρία των φυσικών αριθμών, δεν μπορεί να αποδειχθεί εντός αυτού του ίδιου του συστήματος”. 

Ένα Τυπικό σύστημα αποτελείται από ορισμένες Πρωταρχικές Έννοιες, πιθανώς κάποιους Προσδιορισμένους Όρους (βασισμένους στις Πρωταρχικές Έννοιες), κάποιες διατυπώσεις που αποκαλούνται Αξιώματα και από άλλες διατυπώσεις που καλούνται Θεωρήματα και τα οποία συνάγονται λογικά από τα αξιώματα. Τα αξιώματα παρέχουν, κατ’ ουσία, την απαραίτητη γνώση για τις Πρωταρχικές Έννοιες. 

(Donald Davis:Η φύση και η δύναμη των μαθηματικών,εκδ.ΠΕΚ)

▪ Kurt Friedrich Gödel

Ο Κουρτ Γκέντελ γεννήθηκε στις 28 Απριλίου 1906 στο Μπρνο της Τσεχίας από γονείς με γερμανική καταγωγή. Ο πατέρας του ήταν αρκετά εύπορος και η μητέρα του είχε ανώτερη μόρφωση. Σπούδασε αρχικά Φυσική στο Πανεπιστήμιο της κοντά στον αδελφό του Ρούντολφ, αλλά τελικά στράφηκε στα μαθηματικά και ιδιαιτέρως στη μαθηματική λογική μυημένος στη μαγεία του Πλατωνισμού. 

Γκέντελ - Αϊνστάϊν

ο 1929 πήρε την αυστριακή υπηκοότητα. Παντρεύτηκε το 1938 την κατά έξι χρόνια μεγαλύτερή του Adele Nimbursky (πρώην χορεύτρια σε καμπαρέ). Θέλοντας να αποφύγει την επιστράτευση στο ναζιστικό στρατό μετανάστευσε στις ΗΠΑ το 1940 όπου έγινε δεκτός στο περίφημο Ινστιτούτο Ανωτέρων Μελετών του Πρίνστον.