Κουρτ Γκέντελ: Ο άνθρωπος που «έσπασε» τα μαθηματικά

Φαντάσου έναν νεαρό Αυστριακό, μόλις $25$ ετών, να μπαίνει το $1931$ στον κόσμο των μαθηματικών και να τον ανατρέπει. Ο Κουρτ Γκέντελ δεν ήταν απλώς ένας μαθηματικός – ήταν ο «μάγος» που αποκάλυψε ότι ακόμα και οι αριθμοί κρύβουν μυστήρια που δεν μπορούν να λυθούν!

Το όνειρο που γκρεμίστηκε

Εκείνη την εποχή, οι μαθηματικοί ονειρεύονταν να βρουν το τέλειο σχέδιο: ένα σύνολο κανόνων ή «αξιωμάτων» που να εξηγούν τα πάντα στα μαθηματικά, χωρίς κενά ή αντιφάσεις. Σαν να προσπαθούσαν να χτίσουν ένα κάστρο με θεμέλια ατσάλινα. Όμως, ο Γκέντελ ήρθε και είπε: «Αυτό το κάστρο δεν θα ολοκληρωθεί ποτέ!»

Ο Kurt Gödel και το Θεώρημα της Μη Πληρότητας: Υπάρχουν Ερωτήματα Χωρίς Απαντήσεις!

Πίστευες ότι τα μαθηματικά έχουν απαντήσεις για τα πάντα; Ο Kurt Gödel, ένας Αυστροαμερικανός μαθηματικός του 20ού αιώνα, μας έδειξε ότι ακόμα και σε αυτόν τον κόσμο της απόλυτης βεβαιότητας… υπάρχουν όρια! 

Με το Θεώρημα της Μη Πληρότητας, που δημοσιεύτηκε το 1931, ο Gödel απέδειξε ότι τα μαθηματικά δεν μπορούν ποτέ να είναι ταυτόχρονα πλήρη και συνεπή. 

Τι σημαίνει αυτό στην πιο απλή του μορφή;

Η Απρόβλεπτη Φιλία του Αϊνστάιν και του Γκέντελ και η Εξέταση Υπηκοότητας των ΗΠΑ

Τη δεκαετία του $1940$, στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον, δύο από τους πιο λαμπρούς νου της εποχής συναντήθηκαν και δημιούργησαν μια φιλία που θα μπορούσε να περιγραφεί μόνο ως ασυνήθιστη και εμπνευσμένη. Ο λόγος για τον Άλμπερτ Αϊνστάιν, τον διάσημο φυσικό, και τον Kurt Gödel, τον λογικό που άλλαξε για πάντα την κατανόηση των μαθηματικών με τα θεωρήματα ατελείας του.

Η Φιλία τους

Η φιλία μεταξύ του Αϊνστάιν και του Gödel ξεπερνούσε τα όρια της ακαδημαϊκής συνεργασίας. Προς τα τέλη της ζωής του, ο Αϊνστάιν αστειευόταν λέγοντας ότι η δική του δουλειά δεν σήμαινε πλέον πολλά και ότι είχε έρθει στο Ινστιτούτο για την Προχωρημένη Μελέτη στο Πρίνστον απλώς για να έχει το προνόμιο να πάει σπίτι με τα πόδια με τον Gödel.

Ο Κurt Gödel και η Ανατροπή του Χρόνου

Το 1949, ο μαθηματικός Kurt Gödel, προς τιμή των 70ών γενεθλίων του Albert Einstein, παρουσίασε ένα πρωτοποριακό άρθρο. Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις πεδίου της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας, ο Gödel ανακάλυψε λύσεις που οδηγούσαν σε θεωρητικά σύμπαντα όπου η αντικειμενική παρέλευση του χρόνου ήταν αμφίβολη. 

Στα "σύμπαντα Gödel" ή "περιστρεφόμενα σύμπαντα", η καμπυλότητα του χωροχρόνου ήταν τέτοια που επέτρεπε την ύπαρξη χρονοειδών διαδρομών, καθιστώντας θεωρητικά δυνατά τα ταξίδια στο χρόνο.

Η Καθημερινή Συνήθεια των Περιπάτων του Αϊνστάιν και του Γκέντελ

Ο Άλμπερτ Αϊνστάιν συνήθιζε να λέει ότι πήγαινε στο γραφείο του στο Ινστιτούτο Προηγμένων Μελετών "μόνο και μόνο για να έχει το προνόμιο να γυρίζει σπίτι με τον Κουρτ Γκέντελ". 

Οι δύο τους συναντιόντουσαν καθημερινά στο σπίτι του Αϊνστάιν, μεταξύ $10$ και $11$ το πρωί, και έκαναν μισή ώρα περπάτημα προς το Ινστιτούτο. Το μεσημέρι, γύρω στη $1$ ή $2$, επέστρεφαν, συζητώντας για πολιτική, φιλοσοφία και φυσική. 

Beyond Computation: The P vs NP Problem - Michael Sipser

In a remarkable 1956 letter, the great logician Kurt Gödel asked the famous mathematician and computer pioneer John von Neumann whether certain computational problems could be solved without resorting to brute force search.

The Genius Who Starved To Death | Kurt Gödel

Αντίφαση στο Σύνταγμα των Η.Π.Α

Σαν σήμερα, στις 6 Δεκεμβρίου το $1947$, ο Kurt Gödel έδωσε εξετάσεις για να γίνει πολίτης των Ηνωμένων Πολιτειών. 

Ως επιμελής που ήταν, μελέτησε προσεκτικά το σύνταγμα για τις εξετάσεις και αισθάνθηκε ότι είχε βρει μια αντίφαση (Gödel's Loophole).

Maths in a minute: Gödel's incompleteness theorems

In the early 20th century, the mathematician David Hilbert had a dream. He was hoping that all of mathematics could be grounded on a small, elegant collection of self-evident truths, or axioms. Using the rules of logical inference, one should then be able to derive any true mathematical statement directly from these axioms.

The paradox at the heart of mathematics: Gödel's Incompleteness Theorem

Marcus du Sautoy: Explore Gödel’s Incompleteness Theorem, a discovery which changed what we know about mathematical proofs and statements.

The Mathematician Who Discovered Math's Greatest Mystery

Akihiro Kanamori – Gödel vis-à-vis Russell: Logic and Set Theory

ΒΙΒΛΙΟ: Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid, by Douglas R. Hofstadter

One of the best books on mathematical logic:

΄

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Ο Ντάβιντ Χίλμπερτ και το συνέδριο – Ο Κουρτ Γκέντελ και η θεωρία τηs μη πληρότητας

Ο Ντάβιντ Χίλμπερτ υπήρξε για πολλούς ο κορυφαίος μαθηματικός της γενιάς του και ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών. Γεννήθηκε στο Κένιγκσμπεργκ και ήταν καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν, ένα από τα πιο σπουδαία πανεπιστήμια στον κόσμο.

Τον Αύγουστο του 1900, το Παρίσι φιλοξένησε το 2ο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών. Στο αμφιθέατρο της Σορβόννης, ο Ντάβιντ Χίλμπερτ, που ήταν ο κύριος ομιλητής του συνεδρίου, παρουσίασε έναν κατάλογο με τα 23, κατά την κρίση του, σπουδαιότερα προβλήματα των οποίων η λύση θα συντελούσε εντυπωσιακά στην πρόοδο της επιστήμης, και προκάλεσε τους μαθηματικούς του 20ού αιώνα δηλώνοντας:

These Are the 10 Hardest Math Problems Ever Solved: Gödel’s Incompleteness Theorems [6]

Gödel’s work in mathematical logic was totally next-level. On top of proving stuff, Gödel also liked to prove whether or not it was possible to prove stuff. His Incompleteness Theorems are often misunderstood, so here’s a perfect chance to clarify them.

Gödel’s First Incompleteness Theorem says that, in any proof language, there are always unprovable statements. There’s always something that’s true, that you can’t prove true. It’s possible to understand a (non-mathematically rigorous) version of Gödel’s argument, with some careful thinking. So buckle up, here it is: Consider the statement, “This statement cannot be proven true.”

Gödel’s Mathematical Proof of God’s Existence

Πήρα αυτήν την απόδειξη από τον Hao Wang, «Reflections on Kurt Gödel» (Cambridge, Mass.: MIT Press, 1987), σελίδα 195.

Aπό το βιβλίο «Passion for Mathematics», Clifford Pickover.

Can you solve it? Gödel’s incompleteness theorem

In 1931, the Austrian logician Kurt Gödel published his incompleteness theorem, a result widely considered one of the greatest intellectual achievements of modern times.

The theorem states that in any reasonable mathematical system there will always be true statements that cannot be proved. The result was a huge shock to the mathematical community, where the prevailing view was an unshakeable optimism about the power and reach of their subject. It had been assumed that maths was “complete”, meaning that all mathematical statements are either provable or refutable. The 25-year-old Gödel demonstrated this was incorrect by constructing a true statement that was not provable. Maths, he announced, has its limits.

Read more »

Δεύτερο θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ

Το δεύτερο θεώρημα μη πληρότητας Γκέντελ μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:Για κάθε αποτελεσματικά παραχθείσα τυπική θεωρία Θ που συμπεριλαμβάνει βασικές αριθμητικές αλήθειες και επίσης συγκεκριμένες αλήθειες για την δυνατότητα τυπικής απόδειξης, η Θ συμπεριλαμβάνει δήλωση περί της ιδίας συνέπειας αν και μόνο αν η Θ είναι ασυνεπής.

Αυτό ενισχύει το πρώτο θεώρημα μη πληρότητας, επειδή η δήλωση που κατασκευάσαμε στο πρώτο θεώρημα μη πληρότητας δεν εκφράζει ευθέως την συνέπεια της θεωρίας. Η απόδειξη του δεύτερου θεωρήματος μη πληρότητας λαμβάνεται, ουσιαστικά, τυπικοποιώντας την απόδειξη του πρώτου θεωρήματος μη πληρότητας μέσα στην ίδια την θεωρία.

Πρώτο θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ

Το πρώτο θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ δηλώνει ότι:
Οποιαδήποτε αποτελεσματικά παραχθείσα θεωρία που είναι ικανή να εκφράσει τη στοιχειώδη αριθμητική δεν μπορεί να είναι και συνεπής και πλήρης.

Συγκεκριμένα, για κάθε συνεπή, αποτελεσματικά παραχθείσα τυπική θεωρία που αποδεικνύει συγκεκριμένες αλήθειες βασικής αριθμητικής, υπάρχει μία αριθμητική δήλωση η οποία είναι αληθής, αλλά δεν μπορεί να αποδειχθεί από τη θεωρία (Kleene 1967, p. 250).

Πρώτο και δεύτερο θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ

- Το πρώτο θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ δηλώνει ότι:

Οποιαδήποτε αποτελεσματικά παραχθείσα θεωρία που είναι ικανή να εκφράσει τη στοιχειώδη αριθμητική δεν μπορεί να είναι και συνεπής και πλήρης. Συγκεκριμένα, για κάθε συνεπή, αποτελεσματικά παραχθείσα τυπική θεωρία που αποδεικνύει συγκεκριμένες αλήθειες βασικής αριθμητικής, υπάρχει μία αριθμητική δήλωση η οποία είναι αληθής, αλλά δεν μπορεί να αποδειχθεί από τη θεωρία (Kleene 1967, p. 250).

- Το δεύτερο θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:

Για κάθε αποτελεσματικά παραχθείσα τυπική θεωρία Θ που συμπεριλαμβάνει βασικές αριθμητικές αλήθειες και επίσης συγκεκριμένες αλήθειες για την δυνατότητα τυπικής απόδειξης, η Θ συμπεριλαμβάνει δήλωση περί της ιδίας συνέπειας αν και μόνο αν η Θ είναι ασυνεπής.