Μυστήριοι Διαδοχικοί Ακέραιοι

Ας εξετάσουμε τη σειρά των ακεραίων που αποτελούνται από όλους τους τέλειους τετράγωνους και κύβους, ξεκινώντας από το $4$: $$4,8,9,16,25,27,36,49,64,81,100,\dots$$

Παρατηρούμε ότι το $8$ και το $9$ είναι διαδοχικοί αριθμοί. Υπάρχουν άραγε άλλοι διαδοχικοί αριθμοί σε αυτήν τη σειρά;

Για χρόνια, μαθηματικοί και επιστήμονες υπολογιστών αναζητούσαν άλλα τέτοια παραδείγματα, αλλά, εκτός από το $8$ και το $9$, δεν βρέθηκαν ποτέ άλλες διαδοχικές δυνάμεις.

Εικασία του Μπιλ (Beal's Conjecture)

Στα μέσα της δεκαετίας του $1990$, ο Τεξανός τραπεζίτης Άντριου Μπιλ πρότεινε ένα μαθηματικό πρόβλημα, γνωστό ως "Beal's Conjecture", και προσέφερε χρηματική αμοιβή για την επίλυσή του.

Το πρόβλημα αφορά την εξίσωση $A^x+B^y=C^z$, όπου τα ${\rm A},{\rm B},C$ είναι ακέραιοι αριθμοί και οι εκθέτες $x,y,z$ είναι μεγαλύτεροι από το $2$. Σημειώνεται ότι ειδική περίπτωση αυτής της εξίσωσης αποτελεί το Θεώρημα του Φερμά.

Κινέζα Μαθηματικός Επιλύει το «Διάσημο» Πρόβλημα της Γεωμετρίας

Η Wang Hong, επίκουρη καθηγήτρια στο Courant Institute of Mathematical Sciences του Πανεπιστημίου της Νέας Υόρκης, πέτυχε ένα σημαντικό επίτευγμα στη γεωμετρική θεωρία μέτρου, αποδεικνύοντας την περίφημη εικασία Kakeya στις τρεις διαστάσεις.

Τι είναι η εικασία Kakeya;

Το 1917, ο Ιάπωνας μαθηματικός Sōichi Kakeya έθεσε ένα θεμελιώδες ερώτημα: Ποια είναι η μικρότερη δυνατή περιοχή που απαιτείται για να περιστραφεί μία άπειρα λεπτή βελόνα προς όλες τις κατευθύνσεις;

Η Εικασία του Κόνγουεϊ: Θα Καταλήξει σε Πρώτο;

Το $2014$, ο μαθηματικός του Πρίνστον Τζον Κόνγουεϊ πρότεινε μια απλή εικασία, μια ενδιαφέρουσα μαθηματική πρόκληση.

Η εικασία

Έχουμε έναν θετικό ακέραιο αριθμό $n$. Κάνουμε την παραγοντοποίηση του αριθμού σε πρώτους παράγοντες. 

Για παράδειγμα, το $60$ παραγοντοποιείται ως $60=2^2\times 3\times 5$. Στην παραγοντοποίηση αυτή, γράφουμε τους πρώτους με αύξουσα σειρά και παραλείπουμε τους εκθέτες $1$.

Στη συνέχεια δημιουργούμε ένα νέο αριθμό.

Από την παραγοντοποίηση, παίρνουμε τους εκθέτες των πρώτων και τους τοποθετούμε σε μια σειρά χωρίς τα σύμβολα του πολλαπλασιασμού.

Κομήτης του Goldbach

Αυτή η εικόνα απεικονίζει μια οπτικοποίηση γνωστή ως "Κομήτης του Goldbach", που σχετίζεται με την υπόθεση του Goldbach στη θεωρία των αριθμών. Η υπόθεση του Goldbach υποστηρίζει ότι κάθε άρτιος ακέραιος μεγαλύτερος από το 2 μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα δύο πρώτων αριθμών.

Σε αυτό το διάγραμμα:

• Ο άξονας $x$ αναπαριστά τους άρτιους αριθμούς από έναν μικρό αριθμό έως έναν πολύ μεγάλο αριθμό (έως το $1.000.000$ σε αυτή την περίπτωση).
• Ο άξονας $y$ μετρά τον αριθμό των τρόπων που ένας άρτιος αριθμός μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα δύο πρώτων αριθμών.

Η Ροή Ricci και η Απόδειξη της Εικασίας του Πουανκαρέ

Η ροή Ricci αποτελεί μια εγγενή γεωμετρική ροή που έχει ως στόχο την εξομάλυνση της μετρικής ενός χώρου. Αυτό σημαίνει ότι μέσω της ροής Ricci, μπορούμε να "εξομαλύνουμε" τις καμπυλότητες σε έναν χώρο, κάτι που έχει σημαντικές εφαρμογές στην τοπολογία και τη γεωμετρία.

Ένας από τους πιο γνωστούς χρήστες της ροής Ricci είναι ο Grigori Perelman. Το 2006, ο Perelman χρησιμοποίησε αυτή τη μέθοδο για να λύσει ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα της σύγχρονης μαθηματικής θεωρίας: την Εικασία του Πουανκαρέ.

Poincaré Conjecture

Click on the image.

THEOREM OF THE DAY: The Sims Conjecture

Click on the image.

Interview with Preda Mihăilescu

Mihăilescu's theorem (formerly Catalan's conjecture) was conjectured by the mathematician Eugène Charles Catalan in 1844 and proved in 2002 by Preda Mihăilescu.

Click on the image.

THEOREM OF THE DAY: Catalan’s Conjecture (Mihailescu’s Theorem)

Let $x,y,p,q$ be positive integers satisfying $x^p-y^q=1$. Then $x=q=3$ and $y=p=2$.

Click on the image.

A proof of the Erdos-Turan conjecture on asymptotic additive bases

 Του Κωνσταντίνου Σμπώκου 

Η εικασία αυτή διατυπώθηκε από τους μαθηματικούς Erdos και Turan και λέει:

Αν πάρουμε ένα σύνολο ${\rm B}$ φυσικών αριθμών και υποθέσουμε ότι κάθε αρκετά μεγάλος φυσικός γράφεται ως άθροισμα δυο στοιχείων από το σύνολο ${\rm B}$, τότε αναγκαστικά η συνάρτηση που απαριθμεί το πλήθος των τρόπων που γράφεται ένας φυσικός ως άθροισμα δύο τέτοιων στοιχείων είναι μη φραγμένη.

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Πηγή: mathematica

Counterexample to Eulers Conjecture on Sums of Like Powers

Η εργασία των Lander και Parkin σχετικά με την εικασία του Euler (που σχετίζεται με το τελευταίο θεώρημα του Fermat) είναι μόνο δύο προτάσεις.

Click on the image to enlarge it.

Η εικασία του Collatz

Η εικασία υποδηλώνει ότι με όποιον αριθμό (θετικό ακέραιο) και αν ξεκινήσετε, θα φτάσετε πάντα στο $1$ ακολουθώντας τα παρακάτω βήματα: 

1. Αν ο αριθμός είναι ζυγός, διαιρέστε τον με το δύο. 

2. Αν ο αριθμός είναι περιττός, τριπλασιάστε τον και προσθέστε το $1$.

Kepler Conjecture

Kepler Conjecture

Η εικασία και η ασθενής εικασία του Goldbach

Εικασία του Goldbach

Κάθε άρτιος $\ge 4$ είναι άθροισμα δύο πρώτων. Για παράδειγμα: 

$4=2+2,6=3+3$, 

$8=3+5,10=3+7=5+5$, 

$12=5+7,14=3+11=7+7$. 

Η εικασία του Goldbach θεωρείται εξαιρετικά δύσκολο πρόβλημα. Μέχρι στιγμής έχει ελεγχθεί και ισχύει για όλους τους άρτιους $\le 4·1018$. Ο Goldbach διατύπωσε και την επόμενη εικασία. 

Ασθενής εικασία του Goldbach 

Κάθε περιττός $\ge 7$ είναι άθροισμα τριών πρώτων. Είναι σχεδόν προφανές ότι, αν είναι αληθής η εικασία του Goldbach, τότε είναι αληθής και η ασθενής εικασία του Goldbach. (Διότι, αν ο $n$ είναι περιττός, τότε ο $n-2$ είναι άρτιος και ο $2$ είναι πρώτος.) 

Ο Vinogradov το $1937$ απέδειξε το: 

Θεώρημα

Υπάρχει $n_0$ ώστε κάθε περιττός $\ge n_0$ είναι άθροισμα τριών πρώτων.

Η εικασία της κηρήθρας

Η εικασία της κηρήθρας δηλώνει ότι ένα κανονικό εξαγωνικό πλέγμα ή κηρήθρα έχει τη μικρότερη συνολική περίμετρο από οποιαδήποτε υποδιαίρεση του επιπέδου σε περιοχές ίσου εμβαδού. Η εικασία αποδείχθηκε το 1999 από τον μαθηματικό Thomas C. Hales.

Διαβάστε περισσότερα »

Polignac's Conjecture

To πιο απλό μαθηματικό πρόβλημα που κανείς δεν μπορεί να λύσει

Το απλούστατο (στην διατύπωση) μαθηματικό πρόβλημα ονομάζεται «πρόβλημα $3x+1$» ή εικασία του Collatz και είναι το εξής: Έστω ένας οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός x. Αν ο x είναι άρτιος τον διαιρούμε με $2$. 

 Εάν ο $x$ είναι περιττός τον πολλαπλασιάζουμε επί $3$ και προσθέτουμε το $1$ για να προκύψει ο $(3x+1)$. Στη συνέχεια αν ο αριθμός που προκύπτει είναι άρτιος τον διαιρούμε με το $2$, αν είναι περιττός τον πολλαπλασιάζουμε πάλι επί 3 και προσθέτουμε την μονάδα κ.ο.κ.

Twin Prime Conjecture

The Langlands Programme - Andrew Wiles

Όταν, τον 16ο αιώνα, ο Cardano προσπάθησε να πείσει τον Tartaglia να του πει τη λύση των κυβικών εξισώσεων, έλαβε ένα ποίημα. Γιατί;

Ο Andrew Wiles εξηγεί, μέρος της ομιλίας του για το πρόγραμμα Langlands, μια από τις πιο διάσημες εικασίες των μαθηματικών.