Η Εικασία του Κόνγουεϊ: Θα Καταλήξει σε Πρώτο;

Το $2014$, ο μαθηματικός του Πρίνστον Τζον Κόνγουεϊ πρότεινε μια απλή εικασία, μια ενδιαφέρουσα μαθηματική πρόκληση.

Η εικασία

Έχουμε έναν θετικό ακέραιο αριθμό $n$. Κάνουμε την παραγοντοποίηση του αριθμού σε πρώτους παράγοντες. 

Για παράδειγμα, το $60$ παραγοντοποιείται ως $60=2^2\times 3\times 5$. Στην παραγοντοποίηση αυτή, γράφουμε τους πρώτους με αύξουσα σειρά και παραλείπουμε τους εκθέτες $1$.

Στη συνέχεια δημιουργούμε ένα νέο αριθμό.

Από την παραγοντοποίηση, παίρνουμε τους εκθέτες των πρώτων και τους τοποθετούμε σε μια σειρά χωρίς τα σύμβολα του πολλαπλασιασμού. Για παράδειγμα, από την παραγοντοποίηση του 60= $2^2\times 3\times 5$, παίρνουμε τον αριθμό $2235$ (δηαλδή, τους εκθέτες τους τοποθετούμε απλώς στην σειρά).

Το επαναλαβάνουμε αυτό.

Στη συνέχεια, παίρνουμε τον αριθμό που προκύπτει (π.χ., το $2235$) και επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία για αυτόν τον νέο αριθμό. Παραγοντοποιούμε το $2235$, παίρνουμε τους εκθέτες και φτιάχνουμε τον νέο αριθμό (π.χ., από το $2235$ παίρνουμε το $35149$).

Η εικασία λέει ότι, με αυτή τη διαδικασία, όλοι οι αριθμοί τελικά θα καταλήξουν σε έναν πρώτο αριθμό. Δηλαδή, μετά από αρκετές επαναλήψεις, θα φτάσουμε σε έναν αριθμό που είναι πρώτος και δεν θα μπορούμε να συνεχίσουμε τη διαδικασία.

Αντιπαράδειγμα: 

Ωστόσο, υπάρχουν κάποιες περιπτώσεις που η διαδικασία δεν καταλήγει σε πρώτους αριθμούς. Ο Τζέιμς Ντέιβις, που δεν είναι μαθηματικός, βρήκε ένα παράδειγμα που δείχνει ότι η εικασία δεν ισχύει για όλους τους αριθμούς. Το $13532385396179$ είναι ένα παράδειγμα, το οποίο παραγοντοποιείται σε $13\times {53}^2\times 3853\times 96179$ και όταν επαναλάβουμε τη διαδικασία, δεν καταλήγουμε ποτέ σε πρώτους αριθμούς.

Ο Κόνγουεϊ είχε προσφέρει 1.000 $ για έναν αριθμό που δεν "καταλήγει σε πρώτο". Η πρόκληση αυτή κράτησε για τρία χρόνια μέχρι που ο Ντέιβις βρήκε το αντιπαράδειγμα.