Γεωμετρική κατασκευή του άρρητου αριθμού 3

Ο μεγάλος έχει διάμετρο ίση με το άθροισμα των διαμέτρων των 9 μικρών λευκών κύκλων. Ο κόκκινος και ο μπλε κύκλος επικαλύπτουν το κέντρο του μεγάλου γκρι κύκλου. 

Η απόσταση των σημείων τομής των δύο κύκλων (κόκκινου και μπλε) είναι $\sqrt{3}$.

Classic proof that √2 is Irrational

Άρρητες αλήθειες

 

Τετραγωνικές ρίζες και μήκη σε κύβους

Λείπει η τετραγωνική ρίζα του 7.

Making a Pythagorean Spiral

Spiral of Theodorus

Κατασκευή τετραγωνικών ριζών

Οι δύο κύβοι τοποθετημένοι ο ένας δίπλα στον άλλο, με μήκος πλευράς $1$, παράγουν μια σειρά από τετραγωνικές ρίζες.

Τετραγωνική ρίζα του 5

Σπείρα του Θεοδώρου Κυρηναίου

Αυτή η σπείρα ονομάζεται επίσης: Πυθαγόρειο σαλιγκάρι ή σπείρα του Αϊνστάιν. Η πολύ απλή κατασκευή του καθιστά δυνατή την κατασκευή της τετραγωνικής ρίζας διαδοχικών αριθμών. 

Κατασκευή 

1. Ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο πλευράς $1$. 

2. Συνδέουμε σε αυτό ένα ορθογώνιο τρίγωνο με μία κάθετη πλευρά την υποτείνουσα του προηγούμενου τριγώνου και μια άλλη κάθετη πλευρά μήκους $1$. 

Η εφαπτομένη της γωνίας του τριγώνου $n$: 

$tan({\phi }_n)={\displaystyle \frac{1}{n}}$

Taylor Swift PROVES that the 2 is irrational

Τι μπορούμε να μάθουμε από το γεγονός ότι 2+3≈π ;

Κατασκευή αρρήτων

Άρρητη ομορφιά!

Ο αριθμός 5 σε ταυτότητες του Ramanujan

Η τετραγωνική ρίζα του $5$ εμφανίζεται σε διάφορες ταυτότητες Ramanujan, οι οποίες εμπλέκονται με συνεχή κλάσματα. 

Για παράδειγμα:

${\displaystyle \frac{1}{1+\frac{e^{-2\pi }}{1+\frac{e^{-4\pi }}{1+\frac{e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}=(\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}-\frac{\sqrt{5}+1}{2})e^{2\pi /5}=e^{2\pi /5}(\sqrt{\phi \sqrt{5}}-\phi ).}$ 

${\displaystyle \frac{1}{1+\frac{e^{-2\pi \sqrt{5}}}{1+\frac{e^{-4\pi \sqrt{5}}}{1+\frac{e^{-6\pi \sqrt{5}}}{1+\ddots }}}}=(\frac{\sqrt{5}}{1+{[5^{3/4}(\phi -1{)}^{5/2}-1]}^{1/5}}-\phi )e^{2\pi /\sqrt{5}}.}$

${\displaystyle 4{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x{e}^{-x\sqrt{5}}}{\cosh x}dx=\frac{1}{1+\frac{1^2}{1+\frac{1^2}{1+\frac{2^2}{1+\frac{2^2}{1+\frac{3^2}{1+\frac{3^2}{1+\ddots }}}}}}}.}$

12=∑k=0∞(−1)k(π4)2k(2k)!

Άρρητα μήκη

Ισχύει 2+3=π ?

Πράγματι

Ή όχι ?

Γεωμετρική κατασκευή άρρητων αριθμών

@MagicPi2

Αναστήλωση των Γεωμετρικών Αποδείξεων του Θεοδώρου του Κυρηναίου για το Ασύμμετρο των Ριζών του 3, 5,... 17

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Άρρητοι, περιοδικοί, υπερβατικοί αλλά και ... ακέραιοι αριθμοί

A Simple Proof That π Is Irrational

Κάντε κλικ στην εικόνα και μετά ξανά κλικ, για να την δείτε σε μεγέθυνση.