Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα Άρρητοι αριθμοί. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων
Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα Άρρητοι αριθμοί. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων
Δευτέρα 11 Νοεμβρίου 2024
Πέμπτη 10 Οκτωβρίου 2024
Κατασκευή τετραγωνικών ριζών
Οι δύο κύβοι τοποθετημένοι ο ένας δίπλα στον άλλο, με μήκος πλευράς $1$, παράγουν μια σειρά από τετραγωνικές ρίζες.
Παρασκευή 6 Σεπτεμβρίου 2024
Πέμπτη 29 Αυγούστου 2024
Σπείρα του Θεοδώρου Κυρηναίου
Αυτή η σπείρα ονομάζεται επίσης: Πυθαγόρειο σαλιγκάρι ή σπείρα του Αϊνστάιν. Η πολύ απλή κατασκευή του καθιστά δυνατή την κατασκευή της τετραγωνικής ρίζας διαδοχικών αριθμών.
Κατασκευή
1. Ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο πλευράς $1$.
2. Συνδέουμε σε αυτό ένα ορθογώνιο τρίγωνο με μία κάθετη πλευρά την υποτείνουσα του προηγούμενου τριγώνου και μια άλλη κάθετη πλευρά μήκους $1$.
Η εφαπτομένη της γωνίας του τριγώνου $n$:
$tan (φ_n)= \dfrac{1}{n}$
Τρίτη 13 Αυγούστου 2024
Πέμπτη 18 Ιουλίου 2024
Κυριακή 30 Ιουνίου 2024
Δευτέρα 10 Ιουνίου 2024
Κυριακή 2 Ιουνίου 2024
Ο αριθμός $\sqrt {5}$ σε ταυτότητες του Ramanujan
Η τετραγωνική ρίζα του $5$ εμφανίζεται σε διάφορες ταυτότητες Ramanujan, οι οποίες εμπλέκονται με συνεχή κλάσματα.
Για παράδειγμα:
${\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{2\pi /5}=e^{2\pi /5}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).}$
${\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-6\pi {\sqrt {5}}}}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({{\sqrt {5}} \over 1+\left[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1\right]^{1/5}}-\varphi \right)e^{2\pi /{\sqrt {5}}}.} $
${\displaystyle 4\int _{0}^{\infty }{\frac {xe^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,dx={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$
Σάββατο 18 Μαΐου 2024
Παρασκευή 26 Απριλίου 2024
Τετάρτη 17 Απριλίου 2024
Κυριακή 14 Απριλίου 2024
Σάββατο 30 Μαρτίου 2024
Πέμπτη 28 Μαρτίου 2024
Παρασκευή 15 Μαρτίου 2024
Κυβική ρίζα του 2
«Η κυβική ρίζα του $2$ ($\sqrt[3]{2}$) δεν είναι δυνατόν να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη, αλλά η κυβική ρίζα του $\sqrt[3]{2+ \sqrt5}$, που φαίνεται πιο περίπλοκη όμως είναι.
Τέτοια πράγματα κάνουν διασκεδαστικό το να είσαι μαθηματικός.''
Tom Osler, 3/25/98
Σάββατο 9 Μαρτίου 2024
Prove Square Root 2 is Irrational
Proofs are the bedrock of mathematics. It’s how we know that every rule and theorem we use holds true. Without the logical rigor of proofs, math would be a bunch of wishy-washy assumptions. Proofs come in all shapes and sizes. Some are long and arduous discernible by very few, others stand on such fundamental logic most anyone could reproduce them with a little motivation.
One such classic proof of number theory and analysis is demonstrating that irrational numbers exist, most commonly that the square root of $2$ is irrational. Now there are many ways to prove this result, and I’ve talked about this before…but that was before I encountered Tennenbaum’s proof.
Πέμπτη 7 Μαρτίου 2024
Τετάρτη 6 Μαρτίου 2024
Εγγραφή σε:
Αναρτήσεις (Atom)