Κατασκευή τετραγωνικών ριζών

Οι δύο κύβοι τοποθετημένοι ο ένας δίπλα στον άλλο, με μήκος πλευράς $1$, παράγουν μια σειρά από τετραγωνικές ρίζες.

Τετραγωνική ρίζα του 5

Σπείρα του Θεοδώρου Κυρηναίου

Αυτή η σπείρα ονομάζεται επίσης: Πυθαγόρειο σαλιγκάρι ή σπείρα του Αϊνστάιν. Η πολύ απλή κατασκευή του καθιστά δυνατή την κατασκευή της τετραγωνικής ρίζας διαδοχικών αριθμών. 

Κατασκευή 

1. Ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο πλευράς $1$. 

2. Συνδέουμε σε αυτό ένα ορθογώνιο τρίγωνο με μία κάθετη πλευρά την υποτείνουσα του προηγούμενου τριγώνου και μια άλλη κάθετη πλευρά μήκους $1$. 

Η εφαπτομένη της γωνίας του τριγώνου $n$: 

$tan (φ_n)= \dfrac{1}{n}$

Taylor Swift PROVES that the $\sqrt{2}$ is irrational

Τι μπορούμε να μάθουμε από το γεγονός ότι $\sqrt{2}+ \sqrt{3} \approx π$ ;

Κατασκευή αρρήτων

Άρρητη ομορφιά!

Ο αριθμός $\sqrt {5}$ σε ταυτότητες του Ramanujan

Η τετραγωνική ρίζα του $5$ εμφανίζεται σε διάφορες ταυτότητες Ramanujan, οι οποίες εμπλέκονται με συνεχή κλάσματα. 

Για παράδειγμα:

${\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{2\pi /5}=e^{2\pi /5}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).}$ 

${\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-6\pi {\sqrt {5}}}}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({{\sqrt {5}} \over 1+\left[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1\right]^{1/5}}-\varphi \right)e^{2\pi /{\sqrt {5}}}.} $

${\displaystyle 4\int _{0}^{\infty }{\frac {xe^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,dx={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$

$\dfrac{1}{ \sqrt{2} }= \sum_{k=0}^ \infty \dfrac{(-1)^k \big( \dfrac{π}{4} \big)^{2k}}{(2k)!} $

Άρρητα μήκη

Ισχύει $\sqrt{2}+ \sqrt{3}=π$ ?

Πράγματι

Ή όχι ?

Γεωμετρική κατασκευή άρρητων αριθμών

@MagicPi2

Αναστήλωση των Γεωμετρικών Αποδείξεων του Θεοδώρου του Κυρηναίου για το Ασύμμετρο των Ριζών του 3, 5,... 17

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Άρρητοι, περιοδικοί, υπερβατικοί αλλά και ... ακέραιοι αριθμοί

A Simple Proof That π Is Irrational

Κάντε κλικ στην εικόνα και μετά ξανά κλικ, για να την δείτε σε μεγέθυνση.

Κυβική ρίζα του 2

«Η κυβική ρίζα του $2$ ($\sqrt[3]{2}$) δεν είναι δυνατόν να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη, αλλά η κυβική ρίζα του  $\sqrt[3]{2+ \sqrt5}$, που φαίνεται πιο περίπλοκη όμως είναι. 

Τέτοια πράγματα κάνουν διασκεδαστικό το να είσαι μαθηματικός.''

Tom Osler, 3/25/98

Prove Square Root 2 is Irrational

Proofs are the bedrock of mathematics. It’s how we know that every rule and theorem we use holds true. Without the logical rigor of proofs, math would be a bunch of wishy-washy assumptions. Proofs come in all shapes and sizes. Some are long and arduous discernible by very few, others stand on such fundamental logic most anyone could reproduce them with a little motivation.

One such classic proof of number theory and analysis is demonstrating that irrational numbers exist, most commonly that the square root of $2$ is irrational. Now there are many ways to prove this result, and I’ve talked about this before…but that was before I encountered Tennenbaum’s proof.

Υπολογισμός απίστευτος !

Ποιος μεγάλος μαθηματικός έκανε αυτόν τον υπολογιαμό;

Διατεταγμένα άρρητα μήκη

Λείπει από την εικόνα ο αριθμός $\sqrt{4}$ που είναι η διάμετρος του κύκλου.

Tom Apostol's geometric proof of the irrationality of $\sqrt{2}$

Tom M. Apostol made another geometric reductio ad absurdum argument showing that $\sqrt{2}$ is irrational. It is also an example of proof by infinite descent. 

It makes use of classic compass and straightedge construction, proving the theorem by a method similar to that employed by ancient Greek geometers. It is essentially the same algebraic proof as in the previous paragraph, viewed geometrically in another way.