Άσκηση vs Πρόβλημα: Μια Μαθηματική Διάκριση

Στα μαθηματικά, η διαφορά μεταξύ του προβλήματος και της άσκησης είναι η εξής:

• Άσκηση: Συνήθως αναφέρεται σε προβλήματα ή ερωτήσεις που προορίζονται για εξάσκηση και επανάληψη εννοιών, τεχνικών και μεθόδων.
  
  Οι ασκήσεις είναι συνήθως πιο δομημένες και μπορεί να έχουν συγκεκριμένη λύση, η οποία βασίζεται σε γνωστές μαθηματικές αρχές ή τύπους. Σκοπός τους είναι να βοηθήσουν τους μαθητές να κατανοήσουν και να εφαρμόσουν τις μαθηματικές έννοιες.

Ο Μετασχηματισμός Laplace: Ένα Πόρταλ μεταξύ Δύο Μαθηματικών Κόσμων

Φαντάσου να αντιμετωπίζεις ένα περίπλοκο μαθηματικό πρόβλημα, ένα που φαίνεται σχεδόν αδύνατο να λυθεί με τις παραδοσιακές μεθόδους. Τώρα, φαντάσου να έχεις ένα μυστικό μαθηματικό εργαλείο που σου επιτρέπει να μετασχηματίσεις αυτό το πρόβλημα σε ένα πολύ πιο απλό — ένα που μπορεί να λυθεί σχεδόν εύκολα.

Και το καλύτερο; Μόλις βρεις τη λύση στον μετασχηματισμένο κόσμο, μπορείς να την επαναφέρεις για να λύσεις το αρχικό πρόβλημα.

Αυτό ακριβώς κάνει ο Μετασχηματισμός Laplace.

Είναι σαν μια μαθηματική συσκευή τηλεμεταφοράς, που μεταφέρει προβλήματα από τον κόσμο του χρόνου στον κόσμο της συχνότητας.

📜 Ο Άβακας: Από την Αρχαιότητα έως Σήμερα 🧮

Ο άβακας 🧮 είναι ένα αριθμητικό όργανο που χρησιμοποιείται για την εκτέλεση βασικών μαθηματικών πράξεων ➕➖✖️, όπως η πρόσθεση, η αφαίρεση και ο πολλαπλασιασμός. Παρόλο που σήμερα θεωρείται απλό εργαλείο, η ιστορία του εκτείνεται χιλιάδες χρόνια πίσω ⏳.

🔍 Η Ετυμολογία της Λέξης "Άβακας"

Η λέξη "άβακας" προέρχεται από την ελληνική λέξη "άβαξ" (ἄβαξ) 🇬🇷, που στα αρχαία ελληνικά σήμαινε "πινακίδα" 📜 ή "σανίδα" 🪵. Αρχικά, δεν αναφερόταν σε αριθμητήριο, αλλά σε επίπεδη επιφάνεια για υπολογισμούς ή σχεδιασμό γεωμετρικών σχημάτων 📏🔺.

Το μουσείο Καραθεοδωρή στη Νέα Βύσσα Έβρου

Αθήναιος ο Κυζικηνός: Ο Γεωμετρικός Μάστορας της Πλατωνικής Εποχής

Ο Αθήναιος ο Κυζικηνός, αν και η κληρονομιά του παραμένει ασαφής λόγω της απώλειας των έργων του, παραμένει σημαντική φιγούρα στην αρχαία ελληνική μαθηματική σκέψη. Οι ελάχιστες αναφορές που έχουν διασωθεί, όπως τα Σχόλια του Πρόκλου, μας επιτρέπουν να συνάγουμε πολύτιμα στοιχεία για την κατεύθυνση των ερευνών του στη γεωμετρία.

Ο Πρόκλος, συγκεκριμένα, αναφέρει ότι ο Αθήναιος ήταν «κατά την γεωμετρίαν δεινός εγένετο», υπογραμμίζοντας την ικανότητά του να επεξεργάζεται με ιδιαίτερη δεξιοτεχνία τα γεωμετρικά θεωρήματα της εποχής του.

Ο Λάιμπνιτς: Ένας Άνθρωπος Που Θρήνησαν Λίγοι

Όταν ο Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς πέθανε στο Ανόβερο το $1716$, η απώλεια πέρασε σχεδόν απαρατήρητη. Όπως λέγεται, η μόνη που τον θρήνησε ήταν η γραμματέας του, ενώ ένας αυτόπτης μάρτυρας έγραψε πως «τον έθαψαν περισσότερο σαν ληστή παρά σαν αυτό που πραγματικά ήταν, το στολίδι του αιώνα του».

Αυτός ο θλιβερός απολογισμός για τον θάνατο ενός από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς και φιλοσόφους της ιστορίας αναδεικνύει την αδικία που υπήρξε σε σχέση με την εκτίμηση του έργου του κατά τη διάρκεια της ζωής του.

Πώς να διδάξεις μαθηματικά – μερικές σκέψεις

 Του Βασίλη Μπακούρου  

Η κουβέντα για το πώς να διδάξεις μαθηματικά σε μια τάξη, είναι το ίδιο παλιά με τα ίδια τα Μαθηματικά. Στο πέρασμα των χρόνων, αναπτύχθηκαν πολλές θεωρίες από ειδικούς και λιγότερο ειδικούς, από φιλόσοφους, διανοητές, απλούς μαθηματικούς, ανθρώπους που έχουν «λιώσει» μέσα στην τάξη και ανθρώπους που δεν έχουν πατήσει μέσα σε αυτήν! Όλες είναι χρήσιμες, όλες «προσθέτουν» σε αυτά που πρέπει να έχει κανένας κατά νου ώστε να καταφέρει να είναι αποτελεσματικός.

Έχοντας διδάξει σε μικρά και μεγάλα σχολεία, Γυμνάσια, Λύκεια και ΕΠΑΛ, φροντιστήρια, γκρουπάδικα, ιδιαίτερα, σε Αθήνα και επαρχία, έχω κατασταλαγμένη άποψη: Σωστός τρόπος είναι αυτός που θα κινητοποιήσει, θα βοηθήσει και αν είναι εφικτό θα εμπνεύσει τους μαθητές και θα τους μάθει πώς να μελετούν τα μαθηματικά!

Ελληνογαλλική Σχολή «Καλαμαρί»: 2ο Συνέδριο για τα Μαθηματικά και τη Διδασκαλία τους, 8/3/2025 (video)

Μαθηματικές Ανατροπές: Όταν το Σωστό (Λάθος) Φαίνεται Λάθος (Σωστό) [1]

Στα μαθηματικά, υπάρχουν κάποιες προτάσεις που, με την πρώτη ματιά, μοιάζουν λανθασμένες (σωστές) ή ακόμα και παράδοξες (αληθείς). 

Η διαίσθησή μας συχνά μας προδίδει, κάνοντάς μας να αμφιβάλλουμε για το αν οι προτάσεις αυτές είναι σωστές (λάθος).

Διαφοροποιημένη Διδασκαλία στο Μάθημα των Μαθηματικών στο Γενικό Λύκειο

Παρουσίαση του Ανδρέα Κουλούρη στο Συνέδριο της ΕΜΕ στην Αθήνα στις 9-12-2018. 

Τίτλος Εργασίας: Μια Πρόταση για τη Διαφοροποίηση της Διδασκαλίας στο Μάθημα των Μαθηματικών στο Γενικό Λύκειο.

How To Write Proofs

Click on the image.

Pietro Mengoli: Ο Μαθηματικός που Προετοίμασε το Έδαφος για τον Λογισμό

Ο Pietro Mengoli (1626-1686) ήταν ένας Ιταλός μαθηματικός του 17ου αιώνα, ο οποίος έπαιξε καθοριστικό ρόλο στην εξέλιξη των απειροστικών μεθόδων, θέτοντας τα θεμέλια για την ανάπτυξη του λογισμού. 

Μαθητής του Bonaventura Cavalieri, ο Mengoli εργάστηκε πάνω σε προβλήματα ακολουθιών, σειρών και ολοκληρώσεων, τα οποία αργότερα θα διαμόρφωναν τις μεθόδους του Leibniz και του Newton.

Η Διερεύνηση των Άπειρων Σειρών

ΟΔΗΓΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΎ: Πρόγραμμμα Σπουδών για το μάθημα των Μαθηματικών στις τάξεις Α', Β' και Γ' Λυκείου (2022)

Ada Lovelace: Η Πρωτοπόρος του Προγραμματισμού

Η Ada Lovelace (1815-1852), κόρη του διάσημου ποιητή Λόρδου Byron, έμεινε στην ιστορία ως η πρώτη προγραμματίστρια υπολογιστών.

Το $1843$, μελέτησε τη μηχανή του Charles Babbage, μια πρώιμη μορφή υπολογιστή, και έγραψε έναν αλγόριθμο για αυτήν. Οι σημειώσεις της θεωρούνται το πρώτο πρόγραμμα υπολογιστή στην ιστορία.

Η Lovelace δεν έβλεπε τον υπολογιστή απλώς ως αριθμομηχανή, αλλά ως εργαλείο ικανό να επεξεργάζεται γενικά σύμβολα, προβλέποντας έτσι τη μελλοντική ανάπτυξη της πληροφορικής.

Σπουδαίοι Έλληνες Μαθηματικοί του 20ού Αιώνα: Γεώργιος Ρεμούνδος (1867-1928)

Βιογραφία

Ο Γεώργιος Ρεμούνδος γεννήθηκε στην Αθήνα στις 3 Μαρτίου 1878, σε μια φτωχή οικογένεια. Ο πατέρας του, καταγόμενος από την Άνδρο αλλά εργαζόμενος στην Αθήνα, φρόντισε να εξασφαλίσει στον γιο του ποιοτική εκπαίδευση παρά τις οικονομικές δυσκολίες. 

Η βιογραφία αυτή βασίζεται σε μεγάλο βαθμό στην εργασία της Melissa Iacovidou, η οποία μετέφρασε ελληνικά κείμενα σχετικά με τη ζωή του Ρεμούνδου.

Πρώτα Χρόνια και Εκπαίδευση

Ο Γεώργιος φοίτησε στο δημοτικό σχολείο της Πλάκας από το 1884 έως το 1888 και στη συνέχεια εισήχθη στο Βαρβάκειο Λύκειο, το μοναδικό σχολείο της εποχής στην Ελλάδα που ειδικευόταν στις φυσικές επιστήμες.

Τα Νέα Προγράμματα Σπουδών του μαθήματος των Μαθηματικών στα Δημοτικά, Γυμνάσια και Λύκεια

• Γιατί νέα προγράμματα σπουδών;
• Βασικοί οριζόντιοι προσανατολισμοί των νέων Προγραμμάτων Σπουδών
• Βασικές αρχές των Προγραμμάτων Σπουδών
  
  
• Η συνέργεια των νέων Προγραμμάτων Σπουδών με άλλες δράσεις
• Η αξιολόγηση στα νέα Προγράμματα Σπουδών
• Διδακτική πλαισίωση
• Επιθυμητοί διδακτικοί προσανατολισμοί στα νέα ΠΣ

Μαθηματικά Δημοτικού

• Πρόγραμμα Σπουδών
• Πρόγραμμα Σπουδών - ΦΕΚ
• Οδηγός Εκπαιδευτικού

Μαθηματικά Γυμνασίου

• Πρόγραμμα Σπουδών
• Πρόγραμμα Σπουδών - ΦΕΚ
• Οδηγός Εκπαιδευτικού

Μαθηματικά Λυκείου

• Πρόγραμμα Σπουδών
• Πρόγραμμα Σπουδών - ΦΕΚ
• Οδηγός Εκπαιδευτικού

Τα Μαθηματικά ως Ιδεολογία

Τα μαθηματικά συχνά παρουσιάζονται ως η απόλυτη γλώσσα της λογικής και της αντικειμενικότητας. Ωστόσο, αν τα εξετάσουμε προσεκτικά, θα διαπιστώσουμε ότι δεν είναι απλώς ένα ουδέτερο εργαλείο περιγραφής της πραγματικότητας, αλλά μια δομημένη προσέγγιση που επηρεάζει βαθιά τον τρόπο με τον οποίο αντιλαμβανόμαστε τον κόσμο.

Οι Αλγόριθμοι και η Φύση

Ας πάρουμε για παράδειγμα τον αλγόριθμο του Dijkstra, έναν κλασικό αλγόριθμο εύρεσης της συντομότερης διαδρομής σε ένα γράφημα. Πρόκειται για μια καθαρά μαθηματική κατασκευή, όμως έχει ελάχιστη σχέση με τον τρόπο που η φύση διαχειρίζεται δίκτυα. Οι φυσικές δομές δεν λειτουργούν όπως τα στατικά γραφήματα των μαθηματικών:

Σπουδαίοι Έλληνες Μαθηματικοί του 20ού Αιώνα: Κυριάκος Νεάρχου (1901–1972)

Ένας Αφοσιωμένος Εκπαιδευτικός 

και Ερευνητής των Μαθηματικών

Ο Κυριάκος Νεάρχου (1901–1972) υπήρξε μια σημαντική προσωπικότητα στον χώρο των μαθηματικών στην Ελλάδα, με αξιόλογη συνεισφορά στη θεωρία αριθμών και τη γεωμετρία. Ως καθηγητής στο Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών, διακρίθηκε για την αφοσίωσή του στη διδασκαλία και την έρευνα, αφήνοντας το αποτύπωμά του στη μαθηματική κοινότητα της χώρας.

Η Ζωή και η Ακαδημαϊκή του Πορεία

Γεννημένος το 1901, σε μια εποχή που η Ελλάδα βρισκόταν σε διαδικασία ανοικοδόμησης και εκσυγχρονισμού της εκπαίδευσης και της επιστήμης, ο Νεάρχου ανέπτυξε από νεαρή ηλικία έντονο ενδιαφέρον για τα μαθηματικά. Σπούδασε στο Πανεπιστήμιο Αθηνών, όπου αργότερα εξελίχθηκε σε διακεκριμένο καθηγητή.

Ο Πινγκάλα: Ο Παραγνωρισμένος Ινδός Μαθηματικός

Η ιστορία των μαθηματικών είναι γεμάτη από μεγάλες προσωπικότητες που άφησαν ανεξίτηλο το στίγμα τους στην εξέλιξη της επιστήμης. Ωστόσο, υπάρχουν ορισμένοι μαθηματικοί που, παρά τη σημαντική τους συνεισφορά, παραμένουν παραγνωρισμένοι από το ευρύ κοινό.

Ένας από αυτούς είναι ο Πινγκάλα, ο οποίος έζησε περίπου μεταξύ 300 και 200 π.Χ. και έκανε ανακαλύψεις που επηρέασαν τη μαθηματική σκέψη αιώνες αργότερα.

Προδρομικές ιδέες για τους δυαδικούς αριθμούς

Ο Πινγκάλα ανέπτυξε ένα σύστημα κωδικοποίησης μετρικών μοτίβων στην ποίηση, χρησιμοποιώντας έννοιες που θυμίζουν τη δυαδική λογική (π.χ. συνδυασμούς μακρών και βραχέων συλλαβών).

Δύο τύποι Μαθηματικών

Υπάρχουν 2 τύποι Μαθηματικών: Αυτά που εφαρμόζονται και αυτά που πρόκειται να εφαρμοστούν.