Εύρεση Ισότητας μέσω Ανισοτήτων

Austrian - Polish Math Competition 1994

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [104]

Έστω η πραγματική συνάρτηση $f$ με τις παρακάτω ιδιότητες:

• Η $f$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο διάστημα $[0,1]$
• $f(0)=f(1)=0$.
  

α) Αν $f(x)\ne 0$ για $0\le x\le 1$, να αποδειχθεί ότι ο λόγος ${\displaystyle \frac{f^{\prime }}{f}}$ παίρνει όλες τις πραγματικές τιμές, όταν $x\in (0,1)$.

β) Αν $|f^{\prime }(x)|\le 1$ για κάθε $x\in [0,1]$, να αποδειχθεί ότι:$${\int }_0^{1}x|f(x)|dx\le {\displaystyle \frac{1}{8}}.$$

Επιπλέον, να διερευνηθεί αν μπορεί να ισχύει ισότητα.

Η τιμή της συνάρτησης στο - 1

 

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [102]

Έστω ${\rm M}$ το σύνολο όλων των συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων με $f(0)=0$ και $f(1)=1$. 

Να βρεθεί ο μεγαλύτερος αριθμός $A$ έτσι ώστε $${\int }_0^1|f^{\prime }(x)-2xf(x)|dx\ge A.$$

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [101]

Δίνεται ότι 

$f(x)+f(x+1)=3$, $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.

Αν 

$\{\begin{array}{l}a={\int }_0^{8}f(x)dx\\ b={\int }_{-1}^{3}f(x)dx\end{array}$ 

να βρεθεί το άθροισμα 

${\rm I}=a+2b$.

Πολυώνυμο πέμπτου βαθμού

Να βρεθεί πολυώνυμο $f(x)$ πέμπτου βαθμού, τέτοιο ώστε:

• $f(x)+1$ να είναι διαιρετό με $(x-1{)}^3$, και
• $f(x)-1$ να είναι διαιρετό με $(x+1{)}^3$.

Δίνεται η ένδειξη ότι η παράγωγος του πολυωνύμου, $f^{\prime }(x)$, περιλαμβάνει τον παράγοντα $(x^2-1{)}^2$.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [101]

Η συνάρτηση $f(x)$ ορίζεται και είναι συνεχής στο διάστημα $0\le x\le 1$. Αν για τη συνάρτηση ισχύει $${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^1{f}^2(x)dx=1$$

Nα βρεθούν όλες αυτές οι συναρτήσεις $f(x)$.

2017η Παράγωγος

Να βρεθεί η $2017$η παράγωγος της συνάρτησης $$f(x)=\frac{x^2+1}{x^3-x}.$$

Η συνάρτηση γάμμα και οι βασικές της ιδιότητες

@Calculus Canvas

Σύνθεση Συναρτήσεων: Να βρεθεί η τιμή (11)

 

Φθίνουσες Συναρτήσεις σε Σχέση

Να βρεθούν όλες οι γνησίως φθίνουσες συναρτήσεις $f:{\mathbb{R}}^{+}\to {\mathbb{R}}^{+}$ που ικανοποιούν τη συναρτησιακή εξίσωση: $$f(xf(y))=yf(x)$$ για κάθε $x,y>0$.

📚 Σενάριο Μαθήματος: Η Μονοτονία μιας Συνάρτησης με Βάση τον Ορισμό

📅 Ημερομηνία: 9 Μαρτίου 2025

⏳ Διάρκεια: 50 λεπτά

🎯 Στόχος: Οι μαθητές να κατανοήσουν και να εφαρμόσουν τον ορισμό της μονοτονίας για τον έλεγχο συναρτήσεων.

---

1️⃣ Εισαγωγή (10 λεπτά)

👨‍🏫 Εκπαιδευτικός: "Καλημέρα παιδιά! 🌞 Φανταστείτε ότι ανεβαίνετε μια σκάλα. 🏃‍♂️⬆️ Κάθε βήμα σας πηγαίνει πιο ψηλά, σωστά; Αυτή η κίνηση μοιάζει με κάτι που θα δούμε σήμερα: τη μονοτονία μιας συνάρτησης. 🧩 Ποιος μπορεί να μου πει τι σημαίνει όταν λέμε ότι μια συνάρτηση είναι 'γνήσια αύξουσα';"

Άρτιες - περιττές τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Έστω οι συναρτήσεις 

• $f(x)={\sin }^{-1}(\sin x)$ 
• $g(x)={\cos }^{-1}(\cos x)$ 
• $h(x)=f(x+k)+g(x+k)$

Αν η η συνάρτηση $h$ είναι άρτια, να βρεθεί η τιμή του $k.$ Μπορεί η $h$ να είναι περιττή συνάρτηση;

Transformations

Μια καμπύλη που τέμνει την ασύμπτωτη της άπειρες φορές !

Επαναλαμβανόμενες συνθέσεις συνάρτησης

Ορίζουμε τη συνάρτηση $f(x)$ ως εξής: $$f(x)=\frac{3x-1}{3x+3}$$ Έστω $f^{(n)}(x)$ η συνάρτηση $f(x)$ κατ΄ επανάληψη συντεθειμένη $n$ φορές.

Για παράδειγμα, $f^{(3)}(x)=f(f(f(x)))$.

(α) Βρείτε το 

$f^{(10)}(4)$. 

β) Βρείτε το 

$f^{(314159)}(2)$.

Συνάρτηση ημίτονο: Μπορείς να το λύσεις αυτό;

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=sinx$

α) Να βρεθεί το $f({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)$ και στη συνέχεια να λυθεί η εξίσωση

$f(x)={\displaystyle \frac{12}{13}}$ 

στο διάστημα $x\in [{\displaystyle \frac{\pi }{2}},\pi ]$. 

β) Δείξτε την ισότητα 

$f(x)+f(2x)+f(3x)=2\cos 2x+1$.

γ) Nα λυθεί η εξίσωση 

$f(x)+f(2x)+f(3x)=0$. 

δ) Να λυθεί η ανίσωση 

${\displaystyle \frac{f(x)+f(2x)-f(3x)}{f(2x)}}<0$ 

για $x\in [{\displaystyle \frac{\pi }{4}},{\displaystyle \frac{5\pi }{4}}]$. 

Υπολογισμός του f(2)+f−1(2)

Στην παρακάτω εικόνα βλέπουμε το διάγραμμα της συνάρτησης $$f(x)={\log }_a(x-1).$$

Σύμφωνα με αυτό, να βρεθεί η τιμή του αθροίσματος $$f(2)+f^{-1}(2).$$

A) $3$        B) $6$        C) $7$        D) $9$        E) $10$

📚 Σχέδιο Μαθήματος: Συναρτήσεις της μορφής y = ax + b

Επίπεδο: Γυμνάσιο (13-15 ετών)

Στόχοι Μαθήματος: 🎯

• Να κατανοήσουν οι μαθητές την έννοια της γραμμικής συνάρτησης.
• Να μπορούν να αναγνωρίζουν τη γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης της μορφής y = ax + b.
  
  
  
• Να κατανοήσουν τη σημασία των παραμέτρων a (κλίση) και b (σταθερός όρος).
• Να αποκτήσουν δεξιότητες στον υπολογισμό και τη γραφική παράσταση γραμμικών συναρτήσεων.
• Να αναπτύξουν δεξιότητες επίλυσης προβλημάτων που σχετίζονται με γραμμικές συναρτήσεις.

Διάρκεια: 1 διδακτική ώρα ⏳

Μαθηματικά στο Χέρι: Ταυτοτική, Εκθετική και Λογαριθμική Συνάρτηση