Graphic Onion

Το διάγραμμα παρουσιάζει τις γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων της μορφής $y=x^n$ και $y=\sqrt[n]{x}$, στο διάστημα $[0, 1]$, όπου το $n$ παίρνει διαφορετικές τιμές.

Οι καμπύλες είναι συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο του πρώτου τεταρτημορίου $y=x$.

Λύσεις από triplex

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$  αποτελείται από τρία ευθύγραμμα τμήματα, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση $$f ( f ( f ( x )))= 0;$$

Πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών συνάρτησης (I)

Κάντε κλικ εδώ, για να δείτε το αρχείο Geogebra.

Άγνωστη εικόνα

Στο σύνολο των φυσικών αριθμών, η συνάρτηση $f$ ορίζεται,   έτσι ώστε 

$f ( x × y ) = f ( x ) + f ( y )$ 

για όλους τους φυσικούς αριθμούς $x$ και $y$.

Αν 

$f (10) = 14$ και $f (40) = 20$ 

να βρεθεί η τιμή $f(500)$.

Συναρτήσεις του χεριού σας

Τιμή εικόνας

Αν 

$f ( x )= ax^7 + bx^3 + cx -4$

και 

$f (-7)=3$

να βρεθεί η τιμή $f (7).$

Το βάζο

Ένα βάζο γεμίζει πλήρως με νερό, με σταθερό ρυθμό. Το παρακάτω γράφημα δείχνει το ύψος $h$ του νερού σε συνάρτηση με το χρόνο $t$.

Ποιο από τα παρακάτω θα μπορούσε να είναι το σχήμα του αγγείου;

Κυρτή συνάρτηση (αντίστροφα)

Έστω συνάρτηση $f\colon I \subseteq \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ κυρτή στο ανοικτό διάστημα $I$.

Να αποδειχθεί ότι: 

Για κάθε $x\in I$ υπάρχουν τα όρια 

$\lim\limits_{h \to 0^{-}}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 

και 

$\lim\limits_{h \to 0^{+}}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, 

και οι συναρτήσεις $f'_{-},f'_{+}\colon I \subseteq \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ που ορίζονται ως 

Συναρτησιακές σχέσεις - Άσκηση 74

Ελάχιστη τιμή

Καθώς το $x$ μεταβάλλεται, ποια είναι η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης 

$y = 2x^2 − 12ax − 16bx + 18a^2 + 48ab + 2a + 32b^2 − 3b$;

$f(1) + f(2) + f(3) + ...+ f(10)=?$

Άπειρα σημεία τομής

Αυτό είναι ένα παράδειγμα καμπύλης, με την ασύμπτωσή της, που δείχνει ότι μια καμπύλη μπορεί να τέμνει την ασύμπτωσή της άπειρες φορές. 

Πηγή: bit.ly

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [88]

Με βάση την παρακάτω γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$, να βρεθεί το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης 

$f(f(x))=−2$.

The $\mu$ that I Know

@αντρέας χατζηπολάκης

«Τέτοια» συνάρτηση

Μπορούμε να πούμε ότι η $cos x + sin x$ είναι μία τέτοια συνάρτηση, ενώ η $cos x + sin(πx)$ δεν είναι μία τέτοια συνάρτηση, αλλά η $cos^2 x + sin^2 x$ είναι μία τέτοια συνάρτηση, 

αν και η $cos(x^ 2 ) + sin(x^ 2 )$ δεν είναι μίατέτοια συνάρτηση, ωστόσο, η $x sin x$ είναι μία τέτοια συνάρτηση.

Τι είναι αυτό το «τέτοια» ?

Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών (Θ.Ε.Τ.)

Θεώρημα

Έστω $a$ και $b$ δύο πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $a < b$. Εάν η $f$ είναι μια συνεχής συνάρτηση στο διάστημα $[a,b]$, τότε για οποιαδήποτε τιμή $c$ μεταξύ $f(a)$ και $f(b)$, υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_0$ στο $[a,b]$ έτσι, ώστε $f(x_0)= c$.

Με άλλα λόγια, κάθε συνεχής συνάρτηση που διέρχεται από δύο τιμές περνάει επίσης από όλες τις ενδιάμεσες τιμές τουλάχιστον μία φορά.

Εύρεση συνάρτησης

Η συνάρτηση $f$ και η αντίστροφη της

$f(3)=?$

Συνάρτηση Ντιράκ

Η κρουστική συνάρτηση ή συνάρτηση δέλτα ή (γενικευμένη) συνάρτηση Ντιράκ είναι μαθηματική αναπράσταση μίας ποσότητας η οποία περιγράφει κάποιο φαινόμενο που μοιάζει σε αυτό της κρούσης. 

Η μεταβλητή αυτή ποσότητα, αν ήταν φυσική, θα παρουσίαζε ελάχιστη διακύμανση, παραμένοντας κάτω από μία ελάχιστη τιμή, σε όλη τη διάρκεια του χρόνου πριν και μετά τη στιγμή της κρούσης ενώ τη στιγμή ακριβώς της κρούσης θα αυξανόταν ακαριαία μέχρι τη μέγιστη τιμή της.

Διαβάστε περισσότερα »