Η συνάρτηση του Thomae

Η συνάρτηση του Thomae είναι μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, η οποία ορίζεται ως εξής:\begin{cases} \frac{1}{q}, & \text{αν } x = \frac{p}{q} \text{ (όπου } p \in \mathbb{Z} \text{ και } q \in \mathbb{N} \text{ είναι πρώτοι μεταξύ τους),} \\ 0, & \text{αν } x \text{ είναι άρρητος.} \end{cases} \] 

Η συνάρτηση αυτή ονομάστηκε έτσι προς τιμήν του Carl Johannes Thomae, αλλά είναι επίσης γνωστή με άλλα ονόματα, όπως: 

- Συνάρτηση ποπ κορν (popcorn function) 

- Συνάρτηση σταγόνας βροχής (raindrop function) 

- Συνάρτηση του μέτρου συννεφιάς (countable cloud function) 

Cosine and sine from 3D unit circle

See here the Geogebra file.

$f(4)=?$

$f(\sqrt{2017})=?$

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [90]

Με βάση το παρακάτω διάγραμμα να βρείτε την τιμή $$\dfrac{(fog)(2) + f^{-1}(0)}{(fog^{-1})(0)}.$$

Graphic Onion

Το διάγραμμα παρουσιάζει τις γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων της μορφής $y=x^n$ και $y=\sqrt[n]{x}$, στο διάστημα $[0, 1]$, όπου το $n$ παίρνει διαφορετικές τιμές.

Οι καμπύλες είναι συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο του πρώτου τεταρτημορίου $y=x$.

Λύσεις από triplex

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$  αποτελείται από τρία ευθύγραμμα τμήματα, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση $$f ( f ( f ( x )))= 0;$$

Πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών συνάρτησης (I)

Κάντε κλικ εδώ, για να δείτε το αρχείο Geogebra.

Άγνωστη εικόνα

Στο σύνολο των φυσικών αριθμών, η συνάρτηση $f$ ορίζεται,   έτσι ώστε 

$f ( x × y ) = f ( x ) + f ( y )$ 

για όλους τους φυσικούς αριθμούς $x$ και $y$.

Αν 

$f (10) = 14$ και $f (40) = 20$ 

να βρεθεί η τιμή $f(500)$.

Συναρτήσεις του χεριού σας

Τιμή εικόνας

Αν 

$f ( x )= ax^7 + bx^3 + cx -4$

και 

$f (-7)=3$

να βρεθεί η τιμή $f (7).$

Το βάζο

Ένα βάζο γεμίζει πλήρως με νερό, με σταθερό ρυθμό. Το παρακάτω γράφημα δείχνει το ύψος $h$ του νερού σε συνάρτηση με το χρόνο $t$.

Ποιο από τα παρακάτω θα μπορούσε να είναι το σχήμα του αγγείου;

Κυρτή συνάρτηση (αντίστροφα)

Έστω συνάρτηση $f\colon I \subseteq \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ κυρτή στο ανοικτό διάστημα $I$.

Να αποδειχθεί ότι: 

Για κάθε $x\in I$ υπάρχουν τα όρια 

$\lim\limits_{h \to 0^{-}}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 

και 

$\lim\limits_{h \to 0^{+}}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, 

και οι συναρτήσεις $f'_{-},f'_{+}\colon I \subseteq \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ που ορίζονται ως 

Συναρτησιακές σχέσεις - Άσκηση 74

Ελάχιστη τιμή

Καθώς το $x$ μεταβάλλεται, ποια είναι η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης 

$y = 2x^2 − 12ax − 16bx + 18a^2 + 48ab + 2a + 32b^2 − 3b$;

$f(1) + f(2) + f(3) + ...+ f(10)=?$

Άπειρα σημεία τομής

Αυτό είναι ένα παράδειγμα καμπύλης, με την ασύμπτωσή της, που δείχνει ότι μια καμπύλη μπορεί να τέμνει την ασύμπτωσή της άπειρες φορές. 

Πηγή: bit.ly

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [88]

Με βάση την παρακάτω γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$, να βρεθεί το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης 

$f(f(x))=−2$.

The $\mu$ that I Know

@αντρέας χατζηπολάκης

«Τέτοια» συνάρτηση

Μπορούμε να πούμε ότι η $cos x + sin x$ είναι μία τέτοια συνάρτηση, ενώ η $cos x + sin(πx)$ δεν είναι μία τέτοια συνάρτηση, αλλά η $cos^2 x + sin^2 x$ είναι μία τέτοια συνάρτηση, 

αν και η $cos(x^ 2 ) + sin(x^ 2 )$ δεν είναι μίατέτοια συνάρτηση, ωστόσο, η $x sin x$ είναι μία τέτοια συνάρτηση.

Τι είναι αυτό το «τέτοια» ?