Ζητούμενο εμβαδόν

Στο παρακάτω σχήμα, να βρεθεί το εμβαδόν της γραμμασκιασμένης επιφάνειας.

Τετράγωνο στο τετράγωνο

Στο τετράγωνο του παρακάτω σχήματος υπάρχουν άλλα τρία τετράγωνα στην πάνω πλευρά του. 

Να βρεθεί το εμβαδόν $S$, δεδομένου ότι γνωρίζουμε τα εμβαδά των άλλων επιφανειών.

Μπλε ή κίτρινο;

Ποιο χρώμα καλύπτει μεγαλύτερη επιφάνεια;

Γνωστές πλευρές

Να βρεθεί το εμβαδόν του τετραπλεύρου.

Τρίγωνο σε εξάγωνο

Στο κανονικό εξάγωνο $DEFGHI$, το τρίγωνο $ABC$ σχεδιάζεται φέρνοντας ευθείες κάθετες στις πλευρές του εξαγώνου στις κορυφές $F, D$  και $H$ και ευθείες κάθετες σε αυτές από τις κορυφές $E, G$  και $I$, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Εάν το εμβαδόν του εξαγώνου είναι $196$ $cm^2$, ποιο είναι το εμβαδόν του τριγώνου $ABC$;

Ακέραιες πλευρές

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει πλευρές με ακέραια μήκη $x, y$ και $z$, όπου $x < y < z$. 

Προσθέτοντας τα τρία μήκη πλευρών προκύπτει $810$, ενώ πολλαπλασιάζοντας τα τρία μήκη πλευρών  προκύπτει $13284$ φορές αυτό (το άθροισμα τους).

Ποιο είναι το εμβαδόν του τριγώνου;

Εμβαδόν ερωτηματικό

Να βρεθεί το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας.

Περί εμβαδών

Ένα ημικύκλιο κατασκευάστηκε με διάμετρο το τμήμα $XY$ και επιλέχθηκε ένα τυχαίο σημείο $Ζ$ σε αυτό το τμήμα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. 

Εννέα ευθύγραμμα τμήματα από το σημείο $Z$ διαιρούν το ημικύκλιο σε 10 ίσα μέρη και τέμνουν το ημικύκλιο στα σημεία $A_1, A_2, ... A_9$ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων $A_2 ZA_ 3$ και $A_7ZA_8$ είναι ίσο με το εμβαδόν του τετράπλευρου $A_2 A_3 A_7 A_8$.

Brahmagupta's Formula

Ο Βραχμαγκούπτα (598–668) ήταν Ινδός μαθηματικός και αστρονόμος που ανακάλυψε ένα τύπο για το εμβαδόν ενός εγγράψιμου τετράπλευρου. 

Μπορείτε να το αποδείξετε αυτό;

• Αν $Ε$ είναι το εμβαδόν ενός τετράπλευρου εγγεγραμμένου σε κύκλο, να το αποδείξετε

$Ε=\sqrt{(τ-a)(τ-b)(τ-c)(τ-d)}$ 

όπου

$\tau = \dfrac{a+b+c+d}{2}.$

Εμβαδόν τριγώνου

Στο παρακάτω τρίγωνο, είναι  $\dfrac{BC}{AC}= \dfrac{8}{5}$.

Αν το εμβαδόν του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο $ABC$ είναι $12π$ $cm^2$, να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου $ABC$.

Ορισμός εμβαδού επιπέδου χωρίου

Έστω $f$ μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα $[α,β]$, με $f(x) ≥ 0$ για κάθε $x ϵ [α,β]$ και $Ω$ το χωρίο που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της $f$, τον άξονα των $x$ και τις ευθείες $x = α, x = β$.

Για να ορίσουμε το εμβαδόν του χωρίου $Ω$ εργαζόμαστε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα. Δηλαδή:

• Χωρίζουμε το διάστημα $[α,β]$ σε ν ισομήκη

Λόγος περί τμημάτων

Στην παρακάτω σύνθεση των τεσσάρων τετραγώνων,  να βρεθεί ο λόγος των ευθύγραμμων τμημάτων $AB$ και $BC$.

Μεγάλη καρδιά !

Να βρεθεί το εμβαδόν της κόκκινης καρδιάς.

Εμβαδόν με χρώμα

Ένα τρίγωνο σχεδιάστηκε στο εσωτερικό ενός κανονικού εξαγώνου. 

Ποιο μέρος της συνολικής επιφάνειας του σχήματος είναι χρωματισμένο;

Για την επόμενη παραγγελία !

Μια πίτσα $18$ ιντσών έχει περισσότερη πίτσα από δύο πίτσες $12$ ιντσών.

@Cliff Pickover

Μάχη εμβαδών

Ποιο εμβαδόν είναι μεγαλύτερο, του κίτρινου κύκλου ή του κόκκινου τετραγώνου;

Εμβαδόν μεγάλου τετραγώνου [4]

Το όλον

Γενίκευση του θεωρήματος του Ναπολέοντα

Κατασκευάζουμε έξι ισόπλευρα τρίγωνα στις πλευρές ενός οποιουδήποτε εξαγώνου έτσι ώστε να βρίσκονται προς τα έξω ή προς τα μέσα, και στη συνέχεια παίρνουμε τα μέσα των 

ευθύγραμμων τμημάτων που συνδέουν τα βαρύκεντρα των τριών ζευγών των ισόπλευρων τριγώνων (το ένα απέναντι από το άλλο). Τα μέσα αυτά σχηματίζουν ένα ισόπλευρο τρίγωνο. 

Κίτρινο ορθογώνιο

Να βρεθεί το εμβαδόν του χρωματισμένου ορθογωνίου.