Ημικύκλιο + Τεταρτοκύκλιο σε Τετράγωνο

Στο παρακάτω σχήμα, ένα τεταρτοκύκλιο και ένα ημικύκλιο εγγράφονται σε ένα τετράγωνο. Είναι ενδιαφέρον ότι και τα δύο έχουν εμβαδόν $\pi$.

Να βρεθεί η πλευρά του τετραγώνου.

Μπλε Σχήμα με Ημικύκλια

Η παρακάτω φιγούρα αποτελείται από ένα μπλε σχήμα που αποτελείται από έξι μπλε ημικύκλια, μαζί με ένα πράσινο ημικύκλιο με κουκκίδες. Τα μικρά μπλε ημικύκλια έχουν όλα την ίδια διάμετρο, η οποία ισούται με το μήκος του μπλε σχήματος. 

Η γραμμή με τις κόκκινες κουκκίδες περνά από τα κέντρα όλων των μπλε ημικύκλιων. Το πράσινο ημικύκλιο με τις κουκκίδες έχει ακτίνα $10$ και είναι εφαπτόμενο στη γραμμή με τις κόκκινες κουκκίδες.

Να βρεθεί το εμβαδόν ολόκληρου του μπλε σχήματος;

[9] - Geometric problems from and for Μath Contests

Στο παρακάτω σχήμα, είναι $AB\Vert JG$, $BC\Vert FI$ και $AC\Vert EH$. Αν $S$ είναι το εμβαδόν του τριγώνου $ABC$, να αποδειχθεί ότι $$S=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}{)}^2.$$

Διχρωμίας Λόγος

@Eduard16180

Μπορεί Η Διαίσθηση Να Σε Ξεγελάσει; Η Απόδειξη Θα Σου Δείξει Την Αλήθεια!

Ποιο από τα δύο χρωματισμένα μέρη έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν; Ή μήπως είναι ίσα;

 

Συγκρίσεις Εμβαδών σε Πεντάγωνο

1. Ποιο από τα δύο ισόπλευρα τρίγωνα που είναι εγγεγραμμένα σε κανονικό πεντάγωνο έχει μεγαλύτερο εμβαδόν;

2. Ποιο από τα δύο τετράγωνα που είναι εγγεγραμμένα σε ένα κανονικό πεντάγωνο έχει μεγαλύτερο εμβαδόν;

Υπολογισμός του Εμβαδού σε μία Κυκλική Διάταξη

Αν η ακτίνα καθενός από τους μικρότερους κύκλους είναι $1$ cm και η ακτίνα του μεγαλύτερου κύκλου είναι τετραγωνική ρίζα $2$, ποιο είναι το εμβαδόν της μπλε περιοχής;

Ισεμβαδικά τρίγωνα

Στο σχήμα επί των πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου κατασκευάσαμε τρία τετράγωνα. Ενώνουμε τις κορυφές τους και σχηματίζονται τρία τρίγωνα. 

Να αποδείξετε ότι αυτά τα τρίγωνα έχουν ίσα εμβαδά. 

Ν. Αβίλοφ (Περιοδικό Quantum)

Εσώκλειστο χωρίο

Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που σχηματίζεται από την εξίσωση:

Πέντε ισεμβαδικά τρίγωνα

Πώς μπορεί να σχεδιαστεί ένα $BDEFG$ ζιγκ ζαγκ σε ένα τρίγωνο $ABC$, έτσι ώστε τα πέντε τρίγωνα που σχηματίζονται να έχουν το ίδιο εμβαδόν;

Περιοδικό Quantum

Άθροισμα Εμβαδών Άπειρων Ημικυκλίων

Tο ακόλουθο σχήμα δείχνει τις τρεις πρώτες γραμμές και μέρος της τέταρτης γραμμής μιας ακολουθίας γραμμών με ημικύκλια. H $n$-οστή γραμμή περιέχει $2^n$ ημικύκλια, ακτίνας  ${\displaystyle \frac{1}{2^n}}$. 

Nα βρεθεί το άθροισμα των εμβαδών όλων των ημικυκλίων

Εμβαδόν Γαλάζιου π

Με αφορμή σήμερα της εορτής της ημέρας του $\pi$. 😊

 

Να βρεθεί το εμβαδόν της γαλάζιας επιφάνειας.

Ποσοστό μη κατάληψης

Στην παρακάτω εικόνα βλέπουμε ίσα. Ποιο ποσσστό του όλου σχήματος καταλαμβάνει η μη χρωματισμένη επιφάνεια;

 

Ένα πρόβλημα από την Ολλανδική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023

Το εμβαδόν του κανονικού εξαγώνου $ABCDEF$ είναι $6$. Επιπλέον, όλες οι σημειωμένες γωνίες είναι ορθές γωνίες. 

 

Ποιο είναι το εμβαδόν του τετραπλεύρου $PQRS$;

Εμβαδόν έκτου

Πέντε ορθογώνια με δεδομένα εμβαδά. Να βρεθεί το εμβαδόν του 6ου ορθογωνίου.

 

The area of a polar curve and Riemann

Click here.

Εμβαδόν Τριγώνου PMN

Έστω κυρτότετράπλευρο $ABCD$ του οποίου οι διαγώνιοι $AC$ και $BD$ τέμνονται στο σημείο $P$. Έστω $M$ και $N$ τα μέσα των πλευρών $AB$ και $CD$, αντίστοιχα.

Να αποδειχθεί ότι: $$(PMN)={\displaystyle \frac{1}{4}}|(DAP)-(BCP)|.$$

Πόσο βέλος είναι;

Να βρεθεί το εμβαδόν του χρωματισμένου βέλους.

Το Κόκκινο Τετράγωνο στο Τετράγωνο

Ποιο κλάσμα του λευκού τετραγώνου αντιπροσωπεύει το κόκκινο τετράγωνο;

 

Ανακαλύπτοντας Ισοδύναμα Εμβαδά: Το Γεωμετρικό Μυστήριο του y = 1/x