The area of a polar curve and Riemann

Click here.

Εμβαδόν Τριγώνου \(PMN\)

Έστω κυρτότετράπλευρο \(ABCD\) του οποίου οι διαγώνιοι \(AC\) και \(BD\) τέμνονται στο σημείο \(P\). Έστω \(M\) και \(N\) τα μέσα των πλευρών \(AB\) και \(CD\), αντίστοιχα.

Να αποδειχθεί ότι: \[ (PMN) = \dfrac{1}{4}| (DAP) - (BCP)|. \]

Πόσο βέλος είναι;

Να βρεθεί το εμβαδόν του χρωματισμένου βέλους.

Το Κόκκινο Τετράγωνο στο Τετράγωνο

Ποιο κλάσμα του λευκού τετραγώνου αντιπροσωπεύει το κόκκινο τετράγωνο;

 

Ανακαλύπτοντας Ισοδύναμα Εμβαδά: Το Γεωμετρικό Μυστήριο του y = 1/x

Πώς να Υπολογίσουμε το Εμβαδό ενός Τετραπλεύρου: Μέθοδος Shoelace

Έχετε αναρωτηθεί ποτέ πώς μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδό ενός τετραπλεύρου όταν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των κορυφών του; Υπάρχει μια κομψή μέθοδος που βασίζεται σε πίνακες και γεωμετρικούς υπολογισμούς!

Μια Έξυπνη Προσέγγιση

Αν οι κορυφές του τετραπλεύρου είναι οι:

$(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4)$

τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της διαίρεσης του τετραπλεύρου σε δύο τρίγωνα. 

Για παράδειγμα, το χωρίζουμε στα τρίγωνα:

Γεωμετρικό σπιράλ

Στο παρακάτω σχήμα, να βρεθεί η περίμετρος και το εμβαδόν του γεωμετρικού σπιράλ.

Η Γεωμετρία του Χρώματος: Ποιο Μέρος του Κύκλου Είναι Γαλάζιο;

Ποιο ποσοστό της συνολικής επιφάνειας του κύκλου είναι χρωματισμένο;

Ωραία οκτάγωνα

Ένα οκτάγωνο λέγεται "ωραίο" αν όλες οι εσωτερικές του γωνίες είναι $135°$, οι κορυφές του είναι σημεία με ακέραιες συντεταγμένες και το εμβαδόν του είναι θετικός ακέραιος αριθμός. 

Για παράδειγμα, στην παραπάνω εικόνα δείχνει δύο ωραία οκτάγωνα με εμβαδά $13$ και $14$. 

Να αποδειχθεί ότι για κάθε θετικό ακέραιο $A ≥ 13$, υπάρχει ένα ωραίο οκτάγωνο του οποίου το εμβαδόν είναι ίσο με $A$.

Σχήμα με Τόξα και Ευθύγραμμα Τμήματα

Στο παρακάτω σχήμα, ένας κύκλος ακτίνας $3$ cm βρίσκεται στο εσωτερικό ενός σχήματος που σχηματίζεται από τέσσερα τόξα ακτίνας $2$ cm και τέσσερα ευθυ΄γραμμα τμήματα μήκους 4 cm.

Nα βρεθεί το αμβαδόν του σχήματος εκτός του κύκλου.

Κανονικό Εξάγωνο και Κύκλοι Δύο Μεγεθών

Το παρακάτω σχήμα αποτελείται από τη σύνθεση ενός κανονικού εξαγώνου με πλευρά $2$ cm και έξι κύκλων δύο διαφορετικών μεγεθών.

 

Να βρεθεί το εμβαδόν της χρωματισμένης επιφάνειας.

Εμβαδά αστεριών

1. Να βρεθεί  το εμβαδόν της περιοχής σε σχήμα αστεριού που σχηματίζετσι στο εσωτερικό του τετραγώνου με πλευρά $a$, όπως φαίνεται στο σχήμα.

2. Να βρεθεί  το εμβαδόν της περιοχής σε σχήμα αστεριού που σχηματίζετσι στο εσωτερικό του κανιονικου εξαγώνου με πλευρά $a$, όπως φαίνεται στο σχήμα.

12- άκτινο αστέρι

Στο εσωτερικό του κανονικού δωδεκαγώνου πλευράς $3$ cm, υπάρχουν $12$ ισόπλευρα τρίγωνα με πλευρά $3$ cm.

Nα βρεθεί το εμβαδόν της χρωματισμένης επιφάνειας. 

Γραμμωτό εμβαδόν

Να βρεθεί το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας.

 

Μέγιστο εμβαδόν

Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει δύο πλευρές μήκους $1$. Ένας κύκλος εγγράφετι στο εσωτερικό του. 

Να βρεθεί το εμβαδόν του μεγαλύτερου δυνατού κύκλου.

Εμβαδά με χρώματα [68]

Στο παρακάτω κανονικό εξάγωνο ,να βρεθεί ο λόγος των εμβαδών των επιφανειών των δύο χρωμάτων.

Εύρεση Εμβαδού Τριγώνου ως Συνάρτηση Ακτίνας Κύκλου

Στο παρακάτω σχήμα, ένας κύκλος ακτίνας  $r$  είναι εγγεγραμμένος σε ένα τετράγωνο  $ABCD$ με πλευρές μήκους $1$ μονάδα, έτσι ώστε οι πλευρές $AB$ και  $BC$  να είναι εφαπτόμενες στον κύκλο.

Στη συνέχεια, φέρουμε μια ευθεία από το  $D$  σε ένα σημείο  $E$  στο  $BC$  έτσι ώστε το  $DE$  να είναι επίσης εφαπτόμενο στον κύκλο. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου $△CDE$, ως συνάρτηση του  $r$.

Κεντρικός Δίσκος ή Εξωτερικός Δακτύλιος;

Ποια από τις δύο χρωματισμένες περιοχές είναι μεγαλύτερη, ο κεντρικός δίσκος (κίτρινος) ή ο εξωτερικός δακτύλιος (πορτοκαλί); Παραδόξως, είναι ίσοι. Καθένας από τους ομόκεντρους κύκλους έχει ακτίνα $1$ μονάδα μεγαλύτερη από τον τελευταίο.

Άρα το εμβαδόν του κεντρικού δίσκου είναι $π × 3^2$ τ.μ και το εμβαδόν του εξωτερικού δακτυλίου είναι 

$π × 5^2 – π × 4^2 = π × 3^2$ τ.μ. 

Άρα οι δύο τομείς είναι ίδιοι.

Λόγος Εμβαδών Τριγώνου προς Τετράγωνο

Στο παρακάτω σχήμα, το τετράγωνο $ABCD$ έχει πλευρά μήκους $2x$. 

Να βρείτε το λόγο των εμβαδών τριγώνου $BHG$ προς το τετράγωνο $ABCD$.

Η Αναλογία Χρωμάτων σε ένα Τρίγωνο

Στην παρακάτω εικόνα, υπάρχει ένα τρίγωνο που είναι χωρισμένο σε οριζόντιες ζώνες με εναλλασσόμενα χρώματα μπλε και κόκκινο. 

Αν το εμβαδόν των ζωνών με μπλε χρώμα είναι $145$, να βρεθεί το εμβαδόν των κόκκινων ζωνών.