Σειρά Taylor και Σειρά Maclaurin - ΟΡΙΣΜΟΙ

Έστω συνάρτηση με παραγώγους όλων των τάξεων σε κάθε σημείο ενός διαστήματος και κάποιο εσωτερικό σημείο του διαστήματος αυτού. 

• Η σειρά Taylor που παράγεται από την $f$ στο $x=a$ είναι:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a{)}^k=$

$=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+{\displaystyle \frac{f^{″}(a)}{2!}}(x-a{)}^2+\dots +{\displaystyle \frac{f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a{)}^n+\dots$

• Η σειρά Maclaurin που παράγεται από την $f$ είναι:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f^{(k)}(0)}{k!}}{x}^k=$

$=f(0)+f^{\prime }(0)x+{\displaystyle \frac{f^{″}(0)}{2!}}{x}^2+\dots +{\displaystyle \frac{f^{(n)}(0)}{n!}}{x}^n+\dots$

δηλαδή ισούται με τη σειρά Taylor που παράγεται από την $f$ στο $x=0$.

Απειροσειρές και Αρμονικές Σχέσεις

Βρείτε τις ακριβείς τιμές αυτών των σειρών. Πώς μπορείτε να δικαιολογήσετε την απάντησή σας; 

Παρεμπιπτόντως, είστε σίγουροι ότι αυτές οι σειρές συγκλίνουν; Πώς το γνωρίζετε;

Υπολογισμός ορίου με Taylor

 

Μαθηματικές Σειρές: Μια Προοδευτική Προσέγγιση

Αν $$1+{\displaystyle \frac{1}{2^4}}+{\displaystyle \frac{1}{3^4}}+{\displaystyle \frac{1}{4^4}}+{\displaystyle \frac{1}{5^4}}+\cdots ={\displaystyle \frac{{\pi }^4}{90}}$$

τότε να υπολογιστεί η τιμή του αθροίσματος $$1-{\displaystyle \frac{1}{2^4}}+{\displaystyle \frac{1}{3^4}}-{\displaystyle \frac{1}{4^4}}+{\displaystyle \frac{1}{5^4}}-{\displaystyle \frac{1}{6^4}}+\cdots$$

Taylor and Maclaurin Series

• Taylor Series
•  Maclaurin Series

1 − 2 + 3 − 4 + ⋯

In mathematics, $1-2+3-4+···$ is an infinite series whose terms are the successive positive integers, given alternating signs.

Using sigma summation notation the sum of the first m terms of the series can be expressed as

${\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n(-1{)}^{n-1}.}$

Read more »

Taylor and Maclaurin Series

Κοντά στο 0

Click here.

ΒΙΒΛΙΟ: Fourier Series, G.P. Tolstov (pdf)

Click on the image.

Συγκλίνει ή αποκλίνει;

Η σειρά

${\displaystyle \sum _{n\ge 0}n!{\displaystyle \frac{k^n}{(n+1{)}^n}}}$  

συγκλίνει ή αποκλίνει για $k={\displaystyle \frac{19}{7}}$;

Μαθηματικός Διαγωνισμός William Lowell Putnam 1942

Exact value

Άπειρη σειρά για τον αριθμό π

Ο μαθηματικός Srinivasa Ramanujan ανακάλυψε σχεδόν $4.000$ θεωρήματα και εξισώσεις, μοναδικές και πρωτοποριακές. 

Ορισμένα από τα αποτελέσματά του ήταν τόσο προχωρημένα που δεν αποδείχθηκαν παρά μόνο δεκαετίες μετά το θάνατό του. Προέβλεψε επίσης ορισμένες έννοιες που αργότερα έγιναν μέρος των σύγχρονων μαθηματικών και της φυσικής, όπως τα φράκταλ, οι σπονδυλωτές μορφές, η θεωρία των χορδών και η κοσμολογία των μαύρων οπών.

Όριο με σειρές

Flint Hills Series

Ένα μυστήριο συνεχίζεται. Οι άνθρωποι εξακολουθούν να μην γνωρίζουν αν η σειρά Flint Hills συγκλίνει. Ίσως δεν θα το μάθουμε ποτέ.

Διαβάστε περισσότερα »

Taylor Series - Approximation and Remainder Estimation

Approximate the value of $ln(1.5)$ by using a third-order Taylor polynomial for 

$f(x)=ln(x)$ 

centered at $x=1$. Estimate the amount of error in this approxi-mation.

Solution here.

Fourier Series Coefficients (In 10 Minutes)

Για την ομορφιά και το μυστήριο της σειράς Taylor

@pickover

Video Calculus: Taylor and Maclaurin Series (27 minutes)

Maclaurin series. Expansions of e.x, $sinx$, and $cosx$, and related series. Taylor series expansions about $x_0$.

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Taylor series (geometric view)

Taylor series (geometric view)

Madhava Series