Σειρά Taylor και Σειρά Maclaurin - ΟΡΙΣΜΟΙ

Έστω συνάρτηση με παραγώγους όλων των τάξεων σε κάθε σημείο ενός διαστήματος και κάποιο εσωτερικό σημείο του διαστήματος αυτού. 

• Η σειρά Taylor που παράγεται από την $f$ στο $x=a$ είναι:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a{)}^k=$

$=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+{\displaystyle \frac{f^{″}(a)}{2!}}(x-a{)}^2+\dots +{\displaystyle \frac{f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a{)}^n+\dots$

• Η σειρά Maclaurin που παράγεται από την $f$ είναι:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f^{(k)}(0)}{k!}}{x}^k=$

$=f(0)+f^{\prime }(0)x+{\displaystyle \frac{f^{″}(0)}{2!}}{x}^2+\dots +{\displaystyle \frac{f^{(n)}(0)}{n!}}{x}^n+\dots$

δηλαδή ισούται με τη σειρά Taylor που παράγεται από την $f$ στο $x=0$.