Παζλ με σπιρτόξυλα [1]

Βρείτε τον 10ψήφιο αριθμό

Να βρεθεί ο $10$ψήφιος αριθμός $abcdefghij$ για τον οποίο ισχύουν:  καθένα από τα ψηφία του είναι διαφορετικό και

• το $a$ διαιρείται με $1$ 
• το $ab$ διαιρείται με $2$ 
• το $abc$ διαιρείται με $3$
• το $abcd$ διαιρείται με $4$
• το $abcde$ διαιρείται με $5$ 
• το $abcdef$ διαιρείται με $6$ 
• το $abcdefg$ διαιρείται με $7$
• το $abcdefgh$ διαιρείται με $8$ 
• το $abcdefghi$ διαιρείται με το $9$ 
• το $abcdefghij$ διαιρείται με το $10$.

Orange: Green

@Igor Tigerrr Geometerrr

ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ: Société Mathématique de France

Cliquez sur l'image.

Τέσσερα βέλη

Ένα βέλος έχει πιθανότητα $1/4$ να πετύχει το στόχο του. Αν τέσσερα βέλη βληθούν σε έναν στόχο, ποια είναι η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος;

Πηγή: futilitycloset

Ποιο θεώρημα της Γεωμετρίας αναγνωρίζετε;

Αποστάσεις στο τετράγωνο

Θεωρούμε τα σημεία $A(−5, −1)$, $B(−1, 0)$, $C(1, 2)$ και $D(1, 3)$. Έστω $P$ ένα σημείο και έστω

 $d = PA^2 +PB^2 +PC^2 +PD^2$ 

το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων του σημείου $P$ από τα σημεία $A, B, C$ και $D$.

Ποια είναι η ελάχιστη δυνατή τιμή του $d$?

(α) $30$      (β) $42$      (γ) $36$      (δ) $38$      (ε) $34$

Στην ίδια γειτονιά

Ο Στέφανος και η Ειρήνη ζουν στον ίδιο δρόμο και συχνά περπατούν ο ένας προς το σπίτι του άλλου. Αν και οι δύο φύγουν από τα σπίτια τους στις $8:00$ π.μ., τότε θα συναντηθούν στις $8:04$ π.μ. 

Αν η Ειρήνη φύγει από το σπίτι της στις $8:00$ π.μ. αλλά ο Στέφανος δεν φύγει από το σπίτι του μέχρι τις $8:03$ π.μ., τότε θα συναντηθούν στις $8. :05$ π.μ. 

Πόσα λεπτά χρειάζονται για να περπατήσει ο Στέφανος μέχρι το σπίτι της Ειρήνης; Υποθέτουμε ότι κάθε άτομο περπατά με τον δικό του σταθερό ρυθμό. 

(α) $8$ λεπτά      (β) $9$ λεπτά      (γ) $10$ λεπτά      

(δ) $11$ λεπτά      (ε) κανένα από τα παραπάνω

21 αστέρια

Στο παρακάτω σχήμα υπάρχει ένα διάγραμμα με επτά πλαίσια. Σχεδιάστε αστέρια σε αυτό, έτσι ώστε να πληρούνται όλες οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

• Υπάρχουν συνολικά $21$ αστέρια.
• Υπάρχει τουλάχιστον ένα αστέρι σε κάθε πλαίσιο.
• Υπάρχουν συνολικά $8$ αστέρια στα πλαίσια με τις ενδείξεις $Α, Β, Γ$.
• Υπάρχουν συνολικά λιγότερα αστέρια στα πλαίσια με τις ενδείξεις $Α$ και $Β$ απ' ό,τι στο πλαίσιο με την ένδειξη $Γ$.
• Υπάρχουν περισσότερα αστέρια στο πλαίσιο με την ένδειξη $Β$ απ' ό,τι στο πλαίσιο με την ένδειξη $Α$.
• Υπάρχουν συνολικά $15$ αστέρια στον κύκλο, συνολικά $12$ αστέρια στο τρίγωνο και συνολικά $14$ αστέρια στο ορθογώνιο.

Θεώρημα Taylor

Το θεώρημα Taylor είναι μια θεμελιώδης έννοια στον λογισμό που παρέχει έναν τρόπο προσέγγισης μιας συνάρτησης με ένα πολυώνυμο. 

Είναι ένα ισχυρό εργαλείο γιατί μας επιτρέπει να κατανοούμε πολύπλοκες συναρτήσεις προσεγγίζοντάς τις με απλούστερες, πολυωνυμικές συναρτήσεις, οι οποίες είναι πιο εύκολο να αναλυθούν και να υπολογιστούν. 

Το θεώρημα δηλώνει ότι οποιαδήποτε ομαλή συνάρτηση $f(x)$ μπορεί να προσεγγιστεί με ένα πολυώνυμο κοντά σε κάποιο σημείο $a$. 

Η ιδέα είναι να εκφραστεί η $f(x)$ ως το άθροισμα των παραγώγων της στο $a$, καθεμία πολλαπλασιαζόμενη με έναν παράγοντα που εξαρτάται από το $x-a$. 

Αυτό το πολυώνυμο είναι γνωστό ως πολυώνυμο Taylor.

Δείτε περισσότερα εδώ.

Τρία κλουβιά

O Θεόφιλος είχε τρία κλουβιά (μαύρο, ασημί και χρυσό) και τρία ζώα (ινδικό χοιρίδιο, παπαγάλος και κουνάβι). Υπήρχε ένα ζώο σε κάθε κλουβί. 

Το χρυσό κλουβί στεκόταν στα αριστερά του μαύρου κλουβιού. Το ασημένιο κλουβί στεκόταν στα δεξιά του κλουβιού του ινδικού χοιριδίου. Ο παπαγάλος ήταν σε ένα κλουβί στα δεξιά του ασημένιου κλουβιού.

Προσδιορίστε ποιο ζώο ήταν σε ποιο κλουβί.

Ίσες χορδές, διπλάσιο εμβαδόν

Η εφαπτομένη σε σημείο $S$ του ημικυκλίου διαμέτρου $OK$, τέμνει τους κύκλους $(O , OS)$ και $(K , KS)$ στα σημεία $T, P$ αντίστοιχα. 

Δείξτε ότι: 

$PS=TS$ 

και βρείτε εκείνη την θέση του $S$, για την οποία το εμβαδόν του μεγαλύτερου κυκλικού τομέα $KSP$, είναι διπλάσιο από εκείνο του μικρότερου $OTS$.

Πηγή: mathematica

Spiral of Theodorus (Geogebra)

Kάντε κλικ στην εικόνα.

Ντόνατ/τεμάχιο

Ο Γιάννης πήρε χαρτζιλίκι του και θέλει να αγοράσει κάτι γλυκό για πρωινό στο σχολείο. Αν αγόραζε τέσσερα κέικ, θα του περίσσευαν $0,50$ ευρώ. Αν ήθελε να αγοράσει πέντε κέικ, θα του έλειπαν $0,60$ ευρώ. 

Αν ήθελε να αγοράσει δύο κέικ και τρία ντόνατς, θα ξόδευε όλο το χαρτζιλίκι του χωρίς ρέστα. 

Πόσο κοστίζει ένα ντόνατ;

Βαρυτική και τροχιακή μοντελοποίηση συστήματος αστέρα-πλανήτη-δορυφόρου

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 27/4/2024

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

 $\int \dfrac{x^{ln( \sqrt{π}e)}}{π^{ln \sqrt{x} }}dx$.