Κύλιση νομίσματος

Ένα νόμισμα με ακτίνα $r$ κυλά δεξιόστροφα χωρίς να γλιστράει. Το νόμισμα έχει ήδη περιστραφεί $5$ φορές και μερικές ακόμη, προτού καταλήξει στη θέση $2$. 

Οι θέσεις $Α$ και $Β$ αντιστοιχούν σε μοναδικά σημεία κατά μήκος της περιφέρειας του νομίσματος.

Βρείτε το συνολικό εμβαδόν της ορθογώνιας επιφάνειας.

Μια μελέτη για το φαινόμενο της ασκησιολογίας: Η ανεξέλεγκτη δημιουργία ασκήσεων

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Εξισώσεις για μαθηματικούς διαγωνισμούς [12]

13. Nα βρεθούν οι θετικές ρίζες της εξίσωσης

$\dfrac{1}{5 x^{2}-x+3}+\dfrac{1}{5 x^{2}+x+7} +\dfrac{1}{5 x^{2}+3 x+13}+$

$+\dfrac{1}{5 x^{2}+5 x+21}=\dfrac{4}{x^{2}+6 x+5}$.

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία: Περιοδικό «Ευκλείδης Β΄» - Τεύχη 13,14 (1994)

Τεύχος 13 - 1994

Τεύχος 14 - 1994

$PA + PD = PB + PC + PE$

Ας υποθέσουμε ότι το $ABCDE$ είναι ένα κανονικό πεντάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Έστω $P$ οποιοδήποτε σημείο του τόξου $BC$. 

Να αποδείξετε ότι:

$PA + PD = PB + PC + PE$.

Υπόδειξη

Θεώρημα Πτολεμαίου: 

Εάν το $ABCD$ είναι ένα κυκλικό τετράπλευρο, δηλαδή ένα τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο, τότε

 $BD · AC = AD · BC + AB · DC$.

Τρίτης τάξης

Αν

$χ=\left (4+\dfrac{1}{\sqrt[3]{65^2}+\sqrt[3]{4160}+\sqrt[3]{8^4}}\right)^6$

να υπολογιστεί η τιμή του $χ$.

Fundamental Theorem of Calculus

Παράσταση με φ

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης

$φ^{12} + φ ^8 + φ ^5 + 160φ = 99$

όπου $φ= \dfrac{-1+ \sqrt{5} }{2}$.

Θέματα Εισαγωγικών Εξετάσεων Ευκλείδειας Γεωμετρίας παρελθόντων ετών

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 21/9/2023

132. Να αποδειχθεί ότι

$\int_{e^3}^{e^5} \dfrac{5}{2x(ln^2 x+lnx-6)}dx =ln\dfrac{3}{2}$.

Άθροισμα συντελεστών

Να βρεθεί το άθροισμα των συντελεστών του πολυωνύμου

$f (x) = (x + 1)(x − 2)(x + 3)(x − 4)(x + 5)(x − 6)$.

Εμβαδόν σχήματος

Να βρεθεί το εμβαδόν του σχήματος.

Γινόμενο δακτύλων

Για κάθε έναν από τους περίπου $7$ δισεκατομμύρια κατοίκους στον κόσμο, υπολογίστε το γινόμενο του αριθμού των δακτύλων του δεξιού χεριού του, του αριστερού χεριού, του δεξιού και του αριστερού ποδιού. 

Ας υποθέσουμε ότι τα περίπου $7$ δισεκατομμύρια προϊόντα πολλαπλασιάζονται επίσης μαζί. Δώστε μια λογική εκτίμηση, εντός του $5$ %. της ακριβούς απάντησης, αυτής της τιμής. 

Κατάσταση έκτακτης ανάγκης

Οι κάτοικοι ενός νησιού σχεδιάζουν μια υπηρεσία αντιμετώπισης εκτάκτων αναγκών με βάση τα ελικόπτερα.

Το νησί τους είναι ένας κυκλικός δίσκος ακτίνας $100$ χιλιομέτρων και σχεδιάζουν να αγοράσουν ελικόπτερα ικανά να πετούν με $300$ km/h. 

Βρείτε τον ελάχιστο αριθμό ελικοπτέρων που απαιτούνται για την έκτακτη ανάγκη για να μπορεί να φτάσει σε κάθε σημείο του νησιού μέσα σε $10$ λεπτά. 

Υποθέστε ότι οι χρόνοι απογείωσης και προσγείωσης των ελικοπτέρων είναι αμελητέοι.

Τέσσερις επιγραφές

Η Ντόρα θέλει να πάει στο σπίτι του Νικόδημου. Στο δρόμο της εκεί, συνάντησε τέσσερα μονοπάτια με τις ακόλουθες επιγραφές: 

Μονοπάτι 1: «Αυτός είναι ο δρόμος για το σπίτι του Νικόδημου». 

Μονοπάτι 2: «Το μονοπάτι $3$ δεν οδηγεί στο σπίτι του Νικόδημου». 

Μονοπάτι 3: «Ακριβώς 2 από τις επιγραφές του μονοπατιού είναι ψεύτικες». 

Μονοπάτι 4: «Το μονοπάτι $2$ οδηγεί στο σπίτι του Νικόδημου». 

Αν ακριβώς μία από τις επιγραφές λέει την αλήθεια, ποιο μονοπάτι πρέπει να ακολουθήσει η Ντόρα;

ΑΕΚ

Δίνεται ότι

$$Α^2(Ε +2Κ)+Ε^2(Κ+2Α)+Κ^2(Α +2Ε) = 10$$

όπου $Α, Ε$ και $Κ$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του αριθμού $ΑΕΚ$.

Μικρότερος θετικός

Η συνάρτηση Euler totient του $n$, που συμβολίζεται ως $ϕ(n)$, δίνει τον αριθμό των θετικών ακεραίων μικρότερων ή ίσων του $n$, που είναι σχετικά πρώτοι του $n$. 

Βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο $m$ έτσι ώστε 

Έκτου βαθμού

Να βρεθούν οι ρίζες της συνάρτησης

$f (x) = x^ 6 − 8x^ 5 − 67x^ 4 + 1040x^ 3 -$  

$− 4797x ^2 + 9720x − 7425$.