Πως να χρησιμοποιούμε σωστά τα δεδομένα ενός προβλήματος (3 βίντεο)

 Του Νίκου Ιωσηφίδη 

60η Διεθνής Μαθηματική Ολυμπιάδα (IMO 2019) - ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ

εφβ = ?

Στο παρακάτω σχήμα, τα ορθογώνια είναι ίσα και εφα = 3. Να βρεθεί η εφβ.

Δείτε εδώ τη λύση που μου έστειλε ο κ. Κώστας Δόρτσιος.

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 175η

 Επιμέλεια:  Κώστας Δόρτσιος - Σωκράτης Ρωμανίδης 

Kάντε κλικ στο σχήμα.

Pythagorean theorem - Proof 175

Albert Einstein’s Clock

Σε ένα ρολόι με δύο δείκτες, υπάρχουν ορισμένες ιδιαίτερες στιγμές που είναι δυνατόν να ανταλλάξουμε τις θέσεις των δύο δεικτών (π.χ. 12:00). Ωστόσο, σε άλλη χρονική στιγμή, π.χ. 6:00,  η ένδειξη του ρολογιού είναι «χωρίς νόημα» μετά την ανταλλαγή, επειδή ο ωροδείκτης και ο λεπτοδείκτης δεν θα μπορούσαν ποτέ να βρίσκονται σε τέτοιες θέσεις. 

Μπορείτε να βρείτε τον αριθμό των ωρών από τις 00:00:00 έως τις 23:59:59 στις οποίες είναι δυνατή η ανταλλαγή; 

(Λέγεται ότι είχε τεθεί η ερώτηση αυτή στον Αϊνστάιν, από έναν φίλο του, που τον επισκέφτηκε στο σπίτι όταν ήταν ασθενής)

Μία επανάληψη στις Συναρτήσεις (καλοκαιρινή προετοιμασία)

Συναρτήσεις, Θανάσης Δρούγας

Διαδοχικά μηδενικά

O αριθμός

 $15! = 15\times14\times13\times … \times1$ 

έχει στο τέλος του τρία διαδοχικά $0$.
Πόσα διαδοχικά $0$ έχει στο τέλος του ο αριθμός $155!$

Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (ΜΕΡΟΣ Α')

Τα θέματα των εξετάσεων των Προτύπων Γυμνασίων στα Μαθηματικά (2019)

Μαθηματικά ανοικτού τύπου

Αύριο οι εξετάσεις για τα Πρότυπα Γυμνάσια (3.073 υποψήφιοι μαθητές για 448 θέσεις)

“Μάχη” στην κυριολεξία θα δώσουν αύριο, μέσω εξετάσεων πανελλαδικού τύπου, συνολικά 3. 073 μαθητές που δήλωσαν ότι επιθυμούν να συνεχίσουν τη φοίτησή τους σε Πρότυπα Γυμνάσια.

Συνολικά οι θέσεις είναι 448 και ειδικότερα:

ATTIKH

ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ: δήλωσαν υποψηφιότητα 751 μαθητές για 96 θέσεις

ΠΡΟΤΥΠΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ : δήλωσαν υποψηφιότητα 874 μαθητές για 78 θέσεις

Logarithm of a negative number

It is often said that we cannot take logarithm of a negative number. But wait! Suppose we can use complex numbers.

Euler formula

We begin with the Euler formula:

and put q = p, we get :

Therefore,

ln (– 1) = ip

If a > 0, then

ln (– a) = ln [a(– 1)] = ln a + ln (– 1) = ln a + ip

So, ln (– 2) = ln 2 + ip » 0.69315 + 3.1416 i

Προσεγγίσεις του π

Infinite beetle path

A high quality rubber band is fastened and hung from a horizontal pole with a cannonball at its end. Two facing ladybugs are crawling along this rubber band toward each other.

From their respective starting positions (8 cm apart -- see image), each small beetle crawls toward the other at a speed of 1 cm per second. However, in the length of time each beetle

Έχετε πρόβλημα; Στείλτε το στους μαθηματικούς!

ΜΙΑ ΙΔΙΑΙΤΕΡΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ

Πόσο συνηθισμένη είναι, άραγε, η εικόνα ενός επαγγελματία που… ξύνει το κεφάλι του μπροστά σε ένα μαθηματικό πρόβλημα; «Αντιμετωπίζετε στη δουλειά σας ένα πρόβλημα, του οποίου η λύση υποψιάζεστε ότι χρειάζεται μαθηματικές γνώσεις ή εμπειρία πέρα από αυτά που εσείς διαθέτετε;

Απευθυνθείτε σ’ εμάς. Θα προσπαθήσουμε να βοηθήσουμε», αναφέρουν καθηγητές του Τμήματος Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Κρήτης.

Απόδειξη ταυτότητας

Μπορούμε να αποδείξουμε την ταυτότητα 

$𝑥^ 3 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥^ 2 + 𝑥 + 1)$ 

απλά αντικαθιστώντας στο χ μερικές τιμές? Η απάντηση είναι: Ναι!

Απόδειξη

Έστω το πολυώνυμο 

$𝑝(𝑥) = 𝑥^3 − 1 − (𝑥 − 1)(𝑥^2 + 𝑥 + 1)$ 

τότε 

$𝑝(0) = 0^ 3 − 1 − (0 − 1)(0^ 2 + 0 + 1) = 0 $

$𝑝(1) = 1^ 3 − 1 − (1 − 1)(1^ 2 + 1 + 1) = 0 $

$𝑝(2) = 2^ 3 − 1 − (2 − 1)(2^ 2 + 2 + 1) = 0 $

$𝑝(3) = 3^ 3 − 1 − (3 − 1)(3^ 2 + 3 + 1) = 0$ 

Το $𝑝(𝑥)$ είναι τρίτου βαθμού και έχει τέσσερις ρίζες.Άρα $𝑝(𝑥) ≡ 0$, οπότε 

$𝑥^ 3 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 ^2 + 𝑥 + 1)$ !