[9] - Geometric problems from and for Μath Contests

Στο παρακάτω σχήμα, είναι $AB\Vert JG$, $BC\Vert FI$ και $AC\Vert EH$. Αν $S$ είναι το εμβαδόν του τριγώνου $ABC$, να αποδειχθεί ότι $$S=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}{)}^2.$$

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικά Θέματα από το digitalschool.gov [1]

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει: 

• $f(e)=1$
• $x^2{f}^{\prime }(x)+xf(x)-1=x$, για κάθε $x\in (0,+\mathrm{\infty })$ 

i) Να αποδείξετε ότι 

$f(x)={\displaystyle \frac{\ln x}{x}}+1$, $x\in (0,+\mathrm{\infty })$. 

ii) Να μελετήσετε την $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 

ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών και τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της $f$. 

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [12]

Δίνονται οι συναρτήσεις 

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{e^x}{x^x}},& x>0\\ 1,& x=0\end{array}$ 

και 

$g(x)={\ln }^{2}x-{\displaystyle \frac{1}{x}},x>0$. 

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $x_0=0$. 

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία και να χαρακτηρίσετε τα ακρότατα. 

γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $g(x)=0$ έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα $(0,+\mathrm{\infty })$. 

δ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη κυρτότητα και να αποδείξετε ότι η $C_f$ έχει ένα ακριβώς σημείο καμπής.

ΨΗΦΙΑΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ : Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου | ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΘΕΩΡΙΑΣ: Αποδείξεις – Διατυπώσεις - Γεωμετρικές Ερμηνείες

Χορδή ίση με εφαπτόμενο τμήμα

Έστω οξυγώνιο $△ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $V$, στο οποίο $$\widehat{BA{C}_{}^{}}>\widehat{CB{A}_{}^{}}.$$ 

Στην πλευρά $BC$ έστω σημείο $D$ με $$\theta =\widehat{DA{C}_{}^{}}=\widehat{CB{A}_{}^{}}.$$ Κύκλος $\mathrm{\Omega }$ εφάπτεται, του τμήματος $BD$ στο $E$, της πλευράς $DA$ στο $N$ και του κύκλου $V$ στο $Z$. Να δειχθεί ότι η χορδή $AC$ ισούται με το εφαπτόμενο τμήμα,$CE$.

Πηγή: mathematica

[63] - Algebraic Systems from and for Contests

Interactive applet: The Sandwich Theorem (or the Squeeze Theorem)

Click on the image.

Taxicab Number 1729

Ο αριθμός $1729$ είναι ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο κύβων με δύο διαφορετικούς τρόπους:

$$9^3+{10}^3=729+1000=1729$$

και

$${12}^3+1^3=1728+1=1729.$$

Ονομάζεται «αριθμός ταξί» (taxicab number) από μια διάσημη ιστορία που αφορά τον μαθηματικό Ramanujan!
Διαβάστε την ιστορία εδώ.