Δευτέρα 18 Μαρτίου 2024

Jacob Bernoulli: «I rise again, changed but the same»

Παρτέρι με λουλούδια

Υπάρχει ένα παρτέρι με λουλούδια μπροστά από το σχολείο μας. Το ένα πέμπτο όλων των λουλουδιών είναι τουλίπες, τα δύο ένατα νάρκισσοι, τα τέσσερα δέκατα πέντε υάκινθοι και τα υπόλοιπα δεν γνωρίζω τις ονομασίες τους. 
Πόσα λουλούδια υπάρχουν συνολικά στο παρτέρι, αν δεν υπάρχουν περισσότερα από $60$ και όχι λιγότερα από $30$ οποιουδήποτε είδους;

Διορθωμένη πρόσθεση

Ο Περικλής έγραψε την παρακάτω πρόσθεση στον πίνακα:
$550 + 460 + 359 + 340 = 2012$.
Ο Ανδρέας θέλησε να το διορθώσει, και έψαξε και βρήκε έναν αριθμό για να τον προσθέσει σε καθέναν από τους πέντε αριθμούς που αναφέρονται, ώστε η πρόσθεση να γίνει σωστά. 
Ποιος ήταν ο αριθμός;

Κατανομή ψηφίων του αριθμού π

Αυτή είναι η κατανομή του πλήθους των εμφανίσεων των διαφόρων ψηφίων στο πρώτο τρισεκατομμύριο ψηφίων του αριθμού $π$. Δημοσιεύτηκε το $2003$ από τον Yasumasa Kanada. 
Για παράδειγμα, έχουμε $99.999.485.134$ εμφανίσεις του αριθμού $0$.

Διαδοχικοί θετικοί

Ο Βενέτης γράφει $17$ διαδοχικούς θετικούς ακέραιους αριθμούς που αθροίζονται στο $2023$. Να βρεθεί ο μικρότερος από αυτούς τους ακέραιους.

Mathematical poetry: The Butterfly curve

Εμβαδά με χρώματα [36]

Να βρεθεί το ζητούμενο εμβαδόν.

Ελάχιστη τιμή

4 = 5 ! Που βρίσκεται το λάθος ;

$4=2+2$
$=4- \dfrac{9}{2}+\dfrac{9}{2}$
$=  \sqrt{ \big(4- \dfrac{9}{2} \big)^2 } +\dfrac{9}{2}$
$= \sqrt{ \big(16-2\cdot4\cdot\dfrac{9}{2}+(\dfrac{9}{2})^2\big) }+ \dfrac{9}{2}$
$= \sqrt{ \big(16-36+(\dfrac{9}{2})^2\big) }+ \dfrac{9}{2}$
$= \sqrt{ \big(-20+(\dfrac{9}{2})^2\big) }+ \dfrac{9}{2}$
$= \sqrt{ \big(25-45+(\dfrac{9}{2})^2\big) }+ \dfrac{9}{2}$
$= \sqrt{ \big(5^2-2\cdot5\cdot\dfrac{9}{2}+(\dfrac{9}{2})^2\big) }+ \dfrac{9}{2}$
$=  \sqrt{ \big(5- \dfrac{9}{2} \big)^2 } +\dfrac{9}{2}$
$=5- \dfrac{9}{2}+\dfrac{9}{2}$
$=5$

Επίπεδα πληρότητας

Η Μπέσυ η αγελάδα πεινάει και θέλει να φάει μερικά πορτοκάλια, τα οποία υπάρχουν σε άπειρες ποσότητες. Η Μπέσσυ ξεκινά με επίπεδο πληρότητας $0$ και κάθε πορτοκάλι που τρώει αυξάνει το επίπεδο πληρότητας της κατά $85$. 
Μπορεί επίσης να φάει λεμόνια, και κάθε φορά που τρώει ένα λεμόνι, το επίπεδο πληρότητας της μειώνεται στο μισό, στρογγυλοποιώντας προς τα κάτω. 
Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός λεμονιών που πρέπει να φάει η Μπέσσυ για να είναι να είναι σε θέση να επιτύχει κάθε δυνατό μη αρνητικό ακέραιο επίπεδο πληρότητας;
Berkeley Math Tournament 2023

Όγκος σφαίρας

Euler’s Gem—The Polyhedron Formula and the Birth of Topology

They all missed it.’’ Richeson’s book begins with a strong and clear motivation for one of his key points on the nature and the historical development of mathematics. 
‘‘It’’ is ‘‘Euler’s Gem,’’ Euler’s polyhedron formula, one of the most beautiful formulas of mathematics (in fact, the author informs us, a survey of mathematicians found its beauty to be second only to $e^{pi} + 1 = 0$, also Euler’s). 
‘‘They’’ refers to all of Euler’s predecessors who, though active in the field of geometry, failed to come across this elegant and, to our eyes, even obvious relationship. Euler’s polyhedron formula is elegant and simple: In a polyhedron, the number of vertices (V), edges (E) and faces (F) always satisfy the equality $V–E + F = 2$. 

Αναδιάταξη τετραγώνου προς κανονικό εξάγωνο

Δώρο ξυπνητήρι

Ο Ραφαήλ πήρε ένα ξυπνητήρι για τα γενέθλιά του. Από τότε, κάθε πρωί που σηκωνόταν (συμπεριλαμβανομένων Σαββάτων, Κυριακών και αργιών), πατούσε το κουμπί που ανάβει την όψη του ρολογιού για ακριβώς $4$ δευτερόλεπτα. 
Ενώ το έκανε, παρατήρησε ότι η ώρα στο ξυπνητήρι σταματάει πατώντας το κουμπί. Διαφορετικά, το ξυπνητήρι δεν καθυστερεί καθόλου. Το απόγευμα της $11$ ης Δεκεμβρίου, ο Ραφαήλ κοίταξε το ξυπνητήρι του και είδε ότι έδειχνε ακριβώς $3$ λεπτά λιγότερα από ό,τι θα έπρεπε. 
Ποια είναι η ημερομηνία των γενεθλίων του Ραφαήλ;

Κίτρινο vs μοβ

Δίνεται τεταρτοκύκλιο $ΟΑΒ$ ακτίνας $r$. Στο $Α$ υψώνω κάθετη $Αx$ στην $ΟΑ$ και σε σημείο $S$ του ημικυκλίου φέρνω εφαπτομένη που τέμνει την $ΟΑ$ στο $Ε$  και την $Αx$ στο $F$. 
Για ποια θέση του $S$ ισχύει:
 
Πηγή: mathematica

Συναρτησιακή σχέση [9]