Πάνω από Έναν Αιώνα Άλυτα Μαθηματικά Μυστήρια

Τέσσερα απλά ερωτήματα… που κανείς δεν έχει καταφέρει να αποδείξει

Το 1912, στο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών στο Κέμπριτζ, ο Edmund Landau παρουσίασε τέσσερα προβλήματα σχετικά με τους πρώτους αριθμούς.

Ήταν απλά στη διατύπωση, κατανοητά ακόμη και από μαθητές — όμως, ανυπέρβλητα στην απόδειξη. Ο ίδιος τα χαρακτήρισε «πέρα από τις δυνατότητες της εποχής μας».

Πάνω από έναν αιώνα αργότερα, τα Τέσσερα Προβλήματα του Landau παραμένουν άλυτα, προκαλώντας ακόμη και τους μεγαλύτερους μαθηματικούς.

---

1. Η Εικασία του Goldbach (1742)

Εμβαδόν EX

Να βρεθεί το εμβαδόν του γράμματος Χ στο εσωτερικό του τετραγώνου πλευράς $9$.

Ο Αϊνστάιν και η Ηρεμία της Νορβηγικής Φύσης

Ο Αϊνστάιν απολαμβάνει ένα πικνίκ κοντά στο Όσλοφιορντεν κατά τη διάρκεια του ταξιδιού του στη Νορβηγία, τον Ιούνιο του 1920.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [17]

Έστω $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ μια παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν:

• $\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{(e^{x^2+1}-1)(f(x)-f(x+2h))}{4h^2}}=xf(x)$ 

          για κάθε $x\in \mathbb{R}$ 

• $f(0)=1$

 α) Να αποδείξετε ότι

 $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}$, $x\in \mathbb{R}$.

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής της παράστασης. 

γ) Σημείο $M(x,f(x))$, $x>0$ κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$. Αν $N$ είναι το συμμετρικό του ως προς τον άξονα $y^{\prime }y$ και $K$, $\mathrm{\Lambda }$ οι προβολές των $N$, $M$ αντιστοίχως στον άξονα $x^{\prime }x$, να προσδιορίσετε τις κορυφές $K$, $\mathrm{\Lambda }$, $M$, $N$ ώστε το εμβαδόν του τετράπλευρου $K\mathrm{\Lambda }MN$ να γίνεται μέγιστο.

δ) Να λύσετε την εξίσωση: 

${\displaystyle \frac{(x^2+1)(e^x-1)}{x^2-x+1}}=x$ 

ε) Να υπολογίσετε: 

[7] - Geometric problems from and for Μath Contests

Έστω $ABCD$ ένα ορθογώνιο με $BC=24$. Έστω $X$ σημείο μέσα στο ορθογώνιο τέτοιο ώστε $\mathrm{\angle }AXB={90}^{\circ }$.

Δεδομένου ότι τα τρίγωνα $\mathrm{\Delta }AXD$ και $\mathrm{\Delta }BXC$ είναι και τα δύο οξυγώνια και έχουν περιγεγραμμένους κύκλους ακτίνων $13$ και $15$, αντίστοιχα, να υπολογιστεί το $AB$.

Τρίγωνο σε φορτοεκφορτωτή

Στο τρίγωνο $ABC$ της εικόνας, ισχύει: $$2\mathrm{\angle }ABC=3\mathrm{\angle }ACB,\text{και}\mathrm{\angle }BAC={100}^{\circ }$$

Να υπολογιστεί το μέτρο της γωνίας $\mathrm{\angle }ABC$.

Η Μεγάλη Βιβλιοθήκη PDF: Δεκάδες Μαθηματικά Βιβλία με Ένα Κλικ (S)

• SMITHIES - INTEGRAL EQUATIONS.djvu
• SQUASSINA - Quasi-Linear PDE.pdf
• Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd edition, 2000.pdf
• Sabinin - Smooth Quasigroups and Loops - Mathematics and Its Applications.djvu
• Sachdev - Nonlinear diffusive waves.djvu
  
• Sachdev - Self-similarity and beyond.. exact solutions of nonlinear problems - CRC - 2000.pdf
• Sachs and Wu - General relativity for mathematicians - Springer - 1977.djvu
• Sachs and Wu - General relativity for mathematicians, Springer, 1977.djvu
• Saddati - ON THE INTUITIONISTIC FUZZY TOPOLOGICAL - 2005.pdf
• Saffan - Vortex Dynamics.djvu

Ματ σε 2

Παίζουν τα λευκά και κάνουν ματ σε 2 κινήσεις.

August Vorrath