Κωνικές τομές και εκκεντρότητα

Προβολική Γεωμετρία: Το Θεώρημα του Poncelet

Το Θεώρημα του Πονσελέ (Poncelet's Porism) είναι ένα συναρπαστικό αποτέλεσμα της προβολικής γεωμετρίας, που πήρε το όνομά του από τον Γάλλο μαθηματικό Ζαν-Βικτόρ Πονσελέ. 

Αφορά την ύπαρξη πολυγώνων με σταθερό αριθμό πλευρών, τα οποία μπορούν να εγγραφούν σε μία κωνική τομή (όπως έλλειψη ή υπερβολή) και ταυτόχρονα να περιγραφούν γύρω από μία άλλη κωνική τομή.

Το θεώρημα διατυπώνεται ως εξής:

Μια Εκπληκτική Γεωμετρική Μέθοδος για Εφαπτομένες σε Έλλειψη

Ανακαλύψτε μια όμορφη μέθοδο για να βρείτε τις εφαπτομένες σε μια έλλειψη από ένα σημείο έξω από αυτήν, όπως αναφέρεται από τον David Bloom το $2001$, ο οποίος την έμαθε από ένα μάθημα του O. Zariski το $1958$:

• Σημείο Εκκίνησης: Έστω $E$ ένα σημείο έξω από την έλλειψη.
• Τέμνουσες: Από το ${\rm E}$ φέρουμε δύο τέμνουσες $CD$ και $FG$.

Conics

Click here to see Geogebra file.

Construction of all conics as envelopes of straight lines

Ελλειπτικές διάμεσοι

Προεκτείνουμε τις διαμέσους ενός τριγώνου πέρα ​​από τις πλευρές του τριγώνου στα ${\displaystyle \frac{4}{3}}$ του μήκους του. 

Να αποδειχεθί ότι τα τρία νέα σημεία που σημειώθηκαν και οι κορυφές του τριγώνου βρίσκονται όλα σε μια έλλειψη.

Crux Mathematicorum 1977

Προβλήματα απεικονίσεων ευθείας και κωνικών τομών μέσω μετασχηματισμών Möbius

Kάντε κλικ στην εικόνα.

Review of Conic Sections

Click on the image.

Ελάχιστο και Μέγιστο

1. Ποιο είναι το εμβαδόν της μικρότερης έλλειψης που μπορεί να περιγραφεί γύρω από ένα τρίγωνο $3-4-5$;

2. Ποιο είναι το εμβαδόν της μεγαλύτερης έλλειψης που μπορεί να εγγραφεί σε τρίγωνο $3-4-5$;

Why Conic Sections?

Σημεία της έλλειψης

Η γραφική παράσταση της εξίσωσης 

$(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=100$

είναι ένας κύκλος με κέντρο $(-1,2)$ και ακτίνα $10$. Η γραφική παράσταση της εξίσωσης 

$10x^2-6xy+4x+y^2=621$

φαίνεται παρακάτω. 

Το σχήμα αυτής της καμπύλης είναι γνωστό ως έλλειψη.

Να βρείτε όλα τα διατεταγμένα ζεύγη $(x,y)$ μη αρνητικών ακεραίων $x$ και $y$ που ικανοποιούν την εξίσωση 

$10x^2-6xy+4x+y^2=621$.

Πως σχεδιάζουμε μια υπερβολή με δύο κύκλους

Έλλειψη με εφαπτομένες

Κλικ εδώ: desmos

Κωνικές τομές

Poncelet's closure theorem

In geometry, Poncelet's closure theorem, also known as Poncelet's porism, states that whenever a polygon is inscribed in one conic section and circumscribes another one, the polygon must be part of an infinite family of polygons that are all inscribed in and circumscribe the same two conics.

It is named after French engineer and mathematician Jean-Victor Poncelet, who wrote about it in 1822, however, the triangular case was discovered significantly earlier, in 1746 by William Chapple.

Poncelet's porism can be proved by an argument using an elliptic curve, whose points represent a combination of a line tangent to one conic and a crossing point of that line with the other conic.

From Wikipedia

c=a2−b2

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

Παραβολή του Lambert

Το θεώρημα της παραβολής του Lambert: ο περιγεγραμμένος κύκλος ενός τριγώνου που σχηματίζεται από τρεις εφαπτόμενες σε μια παραβολή διέρχεται από την εστία της.

Όμορφος τρόπος κατασκευής 6 ελλείψεων

 

r1+r2=2a

Παραγωγή ελλείψεων