Construction of all conics as envelopes of straight lines

Ελλειπτικές διάμεσοι

Προεκτείνουμε τις διαμέσους ενός τριγώνου πέρα ​​από τις πλευρές του τριγώνου στα $\dfrac{4}{3}$ του μήκους του. 

Να αποδειχεθί ότι τα τρία νέα σημεία που σημειώθηκαν και οι κορυφές του τριγώνου βρίσκονται όλα σε μια έλλειψη.

Crux Mathematicorum 1977

Προβλήματα απεικονίσεων ευθείας και κωνικών τομών μέσω μετασχηματισμών Möbius

Kάντε κλικ στην εικόνα.

Review of Conic Sections

Click on the image.

Ελάχιστο και Μέγιστο

1. Ποιο είναι το εμβαδόν της μικρότερης έλλειψης που μπορεί να περιγραφεί γύρω από ένα τρίγωνο $3-4-5$;

2. Ποιο είναι το εμβαδόν της μεγαλύτερης έλλειψης που μπορεί να εγγραφεί σε τρίγωνο $3-4-5$;

Why Conic Sections?

Σημεία της έλλειψης

Η γραφική παράσταση της εξίσωσης 

$(x +1)^2 +(y − 2)^2 = 100 $

είναι ένας κύκλος με κέντρο $(−1, 2)$ και ακτίνα $10$. Η γραφική παράσταση της εξίσωσης 

$10x^2 − 6xy +4x +y^2 = 621$

φαίνεται παρακάτω. 

Το σχήμα αυτής της καμπύλης είναι γνωστό ως έλλειψη.

Να βρείτε όλα τα διατεταγμένα ζεύγη $(x, y)$ μη αρνητικών ακεραίων $x$ και $y$ που ικανοποιούν την εξίσωση 

$10x^ 2 − 6xy +4x +y^ 2 = 621$.

Πως σχεδιάζουμε μια υπερβολή με δύο κύκλους

Έλλειψη με εφαπτομένες

Κλικ εδώ: desmos

Κωνικές τομές

Poncelet's closure theorem

In geometry, Poncelet's closure theorem, also known as Poncelet's porism, states that whenever a polygon is inscribed in one conic section and circumscribes another one, the polygon must be part of an infinite family of polygons that are all inscribed in and circumscribe the same two conics.

It is named after French engineer and mathematician Jean-Victor Poncelet, who wrote about it in 1822, however, the triangular case was discovered significantly earlier, in 1746 by William Chapple.

Poncelet's porism can be proved by an argument using an elliptic curve, whose points represent a combination of a line tangent to one conic and a crossing point of that line with the other conic.

From Wikipedia

$c= \sqrt{a^2-b^2}$

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

Παραβολή του Lambert

Το θεώρημα της παραβολής του Lambert: ο περιγεγραμμένος κύκλος ενός τριγώνου που σχηματίζεται από τρεις εφαπτόμενες σε μια παραβολή διέρχεται από την εστία της.

Όμορφος τρόπος κατασκευής 6 ελλείψεων

 

$r_1+r_2=2a$

Παραγωγή ελλείψεων

Εστίες μιας έλλειψης

ΒΙΒΛΙΟ: Γεωμετρία των Κωνικών (pdf)

Kάντε κλικ εδώ.

Πηγή: Για την αγάπη των μαθηματικών

Η $\dfrac{1}{7}$ Έλλειψη

Το κλάσμα $\dfrac{1}{7}$ είναι περιοδικός αριθμός, όπως φαίνεται στην δεκαδική του ανάπτυξη  $0,142857142857 …$. Αν πάρουμε τα έξι επαναλαμβανόμενα ψηφία σε επικαλυπτόμενα διατεταγμένα ζεύγη, όπως:

$(1, 4), (4, 2), (2, 8), (8, 5), (5, 7) (7, 1)$

τότε παρατηρούμε ότι και τα έξι σημεία βρίσκονται σε μια έλλειψη:

$19 x ^2 + 36 yx + 41 y ^2 – 333 x – 531 y + 1638 = 0$

Ακόμη πιο αξιοσημείωτο, αν πάρουμε τα ψηφία δύο τη φορά:

Jerabek hyperbola

Κάντε κλικ στην εικόνα.