Σχήματα Lissajous - Γράφει ο Κώστας Δόρτσιος

Μου γράφει ο αγαπητός συνάδελφος κ. Κώστας Δόρτσιος για αυτή την ανάρτηση: 

Math is the hidden secret to understanding the world | Roger Antonsen

«Βλέποντας το βίντεο με τίτλο "Maths is the hidden secret to under standing the world1 του Roger Antonsen, το οποίο ανάρτησε ο αγαπητός μας Σωκράτης Ρωμανίδης στο χώρο του eisatopon, ένιωσα την ανάγκη να γράψω κάτι για τις όμορφες αυτές καμπύλες οι οποίες φέρουν το όνομα του εμπνευστή τους, δηλαδή για τις καμπύλες Lissajous...»

Ο Jules Antoine Lissajous, ένας σπουδαίος γάλλος φυσικός μελέτησε τις καμπύλες αυτές προσπαθώντας να μελετήσει τη συμπεριφορά ηχητικών, αλλά και άλλων γενικότερα κυμάτων τα οποία εκφράζονται και μελετώνται με τη βοήθεια των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Διαβάστε ολόκληρη την απάντηση εδώ.

Δείτε στους παρακάτω συνδέσμους, τις ωραίες αναρτήσεις του στο Geogebra:

• Σχήματα Lissajous (Γεωμετρικός τόπος)
• Σχήματα Lissajous στο χώρο

Lissajous Curve

Ο τύπος του άπειρου

H καμπύλη ονομάζεται Lemniscate.

The McDonald’s Curve

The McDonald’s Curve

Υπερβολικά παραβολοειδή Pringles

Το υπερβολικό παραβολοειδές, ένα σχήμα «διπλής σέλας», είναι μια τετραγωνική επιφάνεια, δηλαδή επιφάνεια 2ου βαθμού. 

Η επιφάνεια του υπερβολικού παραβολοειδούς είναι απεριόριστη και παράγεται από την κίνηση ευθείας, είναι επομένως ευθειογενής επιφάνεια.Το υπερβολικό παραβολοειδές έχει δύο επίπεδα συμμετρίας, τα οποία είναι κάθετα μεταξύ τους.

Καμπύλη Hilbert

Η καμπύλη Χίλμπερτ (επίσης γνωστή ως καμπύλη πλήρωσης χώρου Χίλμπερτ) είναι μια συνεχής κλασματική καμπύλη πλήρωσης χώρου που περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον 

Γερμανό μαθηματικό Ντάβιντ Χίλμπερτ το 1891, ως παραλλαγή των καμπυλών πλήρωσης χώρου του Πεάνο που ανακαλύφθηκαν από τον Τζουζέπε Πεάνο το 1890.

Διαβάστε περισσότερα »

Δείτε εδώ το σχετικό αρχείο Geogebra. 

The Viviani Curve

In mathematics, Viviani's curve, also known as Viviani's window, is a figure eight shaped space curve named after the Italian mathematician Vincenzo Viviani. 

Click on the image.

It is the intersection of a sphere with a cylinder that is tangent to the sphere and passes through two poles (a diameter) of the sphere (see diagram). Before Viviani this curve was studied by Simon de La Loubère and Gilles de Roberval.

Hyperbolic Paraboloid

Hyperbolic Paraboloid

Πίνακας καμπυλών Lissajous

Lissajous curve

Ευθεία οδός

Η ευθεία γραμμή δεν είναι πάντα η πιο γρήγορη. Μπορείτε να δείτε τη διαφορά μεταξύ των καμπυλών. Η ταχύτερη είναι η κυκλοειδής καμπύλη.

The Love Formula

The Love Formula

Η Εξίσωση της Αγάπης

BULLET NOSE CURVE

Cartesian equation:  or   or   or also . Cartesian parametrization: . Area between the curve and the asymptotes: 4ab.

Read more »

CARTESIAN FOLIUM

Cartesian equation: . Polar equation: . Cartesian parametrization: . Rational cubic with a double point. The area of the loop is equal to that of the domain located between the curve and its asymptote (of equation x + y = –a); common value: $\dfrac{3a^2}{2}$.

ELASTIC CATENARY

Differential equation:  where , where  is the inverse of the elasticity coefficient of the wire (= 0 for an inextensible wire) and   its linear mass density. Cartesian parametrization:  or   () Curvilinear abscissa: . Radius of curvature: . Transcendental curve.

Read more »

BIFOLIUM

Read more »

Fermat’s spiral

The parametric equations of the Fermat’s spiral can be given by 

$x = at^{\frac{1}{2}} \cos t, \, y= at^{\frac{1}{2}} \sin t $

$x = -at^{\frac{1}{2}} \cos t, \, y= -at^{\frac{1}{2}} \sin t$ 

In polar coordinates the equation of a Fermat’s spiral with parameter a and centre $(0, 0)$ is given by

$r^2=a^2 \theta.$

Source: en1gm4th5

Butterfly curve

The parametric equations of the butterfly curve can be given by 

$x = \sin t \left(e^{\cos t}-2 \cos 4t-sin^{5} \dfrac{t}{12} \right)$ 

$y = \cos t \left(e^{\cos t}-2 \cos 4t-sin^{5} \dfrac{t}{12} \right)$ 

 In polar coordinates the equation of a butterfly curve is given by 

$r=e^{\sin \theta}-2 \cos \left(4 \theta \right)+ \sin^5\left[\dfrac{1}{24} \left(2 \theta - \pi \right) \right].$

Source: en1gm4th5

Τι είναι μια καμπύλη;

Δεν περιοριζόμαστε σε δύο διαστάσεις, αλλά συμπεριλαμβάνουμε καμπύλες στο χώρο καθώς και καμπύλες στο επίπεδο. 

Ο ευκολότερος τρόπος για να περιγράψουμε μια καμπύλη στο χώρο είναι να την δώσουμε παραμετρικά, δηλαδή να περιγράψουμε τα σημεία $(x,y,z)$ σε αυτήν με όρους μιας παραμέτρου $t$, που θεωρείται ως χρόνος. 

Οι μεταβλητές $x, y$ και $z$ αλλάζουν όλες με $t$, δηλαδή είναι συναρτήσεις του $t$. Μπορούμε να σκεφτούμε το $(x,y,z)$ ως ένα σημείο που κινείται κατά μήκος της καμπύλης στο χρόνο. Ως κινούμενο σημείο, έχει μια ταχύτητα, και αυτή η ταχύτητα δίνεται από το $(x',y',z')$, όπου $x', y'$ και $z'$, είναι οι παράγωγοι των $x, y$ και $z$ ως προς προς $t$.

Το εμβαδόν κάτω από το τόξο της κυκλοειδούς καμπύλης

Η κυκλοειδής καμπύλη εμφανίστηκε το $1696$ σε ένα πρόβλημα του Johann Bernoulli που ζητούσε να προσδιοριστεί το είδος της καμπύλης την οποία πρέπει να διαγράψει ένα υλικό σημείο που κινείται χωρίς τριβές υπό την επίδραση του βάρους του, έτσι ώστε, ξεκινώντας από το σημείο $Α$, να φτάσει στο 4Γ$ στον ελάχιστο χρόνο:

Αποδείχθηκε ότι αυτό συνέβαινε όταν το σώμα ακολουθούσε μια κυκλοειδή καμπύλη που διερχόταν από τα σημεία Α και Γ. Και γι αυτό αρχικά η κυκλοειδής ονομάστηκε «βραχυστόχρονη» καμπύλη».