The Viviani Curve

In mathematics, Viviani's curve, also known as Viviani's window, is a figure eight shaped space curve named after the Italian mathematician Vincenzo Viviani. 

Click on the image.

It is the intersection of a sphere with a cylinder that is tangent to the sphere and passes through two poles (a diameter) of the sphere (see diagram). Before Viviani this curve was studied by Simon de La Loubère and Gilles de Roberval.

Hyperbolic Paraboloid

Hyperbolic Paraboloid

Πίνακας καμπυλών Lissajous

Lissajous curve

Ευθεία οδός

Η ευθεία γραμμή δεν είναι πάντα η πιο γρήγορη. Μπορείτε να δείτε τη διαφορά μεταξύ των καμπυλών. Η ταχύτερη είναι η κυκλοειδής καμπύλη.

The Love Formula

The Love Formula

Η Εξίσωση της Αγάπης

BULLET NOSE CURVE

Cartesian equation:  or   or   or also . Cartesian parametrization: . Area between the curve and the asymptotes: 4ab.

Read more »

CARTESIAN FOLIUM

Cartesian equation: . Polar equation: . Cartesian parametrization: . Rational cubic with a double point. The area of the loop is equal to that of the domain located between the curve and its asymptote (of equation x + y = –a); common value: $\dfrac{3a^2}{2}$.

ELASTIC CATENARY

Differential equation:  where , where  is the inverse of the elasticity coefficient of the wire (= 0 for an inextensible wire) and   its linear mass density. Cartesian parametrization:  or   () Curvilinear abscissa: . Radius of curvature: . Transcendental curve.

Read more »

BIFOLIUM

Read more »

Fermat’s spiral

The parametric equations of the Fermat’s spiral can be given by 

$x = at^{\frac{1}{2}} \cos t, \, y= at^{\frac{1}{2}} \sin t $

$x = -at^{\frac{1}{2}} \cos t, \, y= -at^{\frac{1}{2}} \sin t$ 

In polar coordinates the equation of a Fermat’s spiral with parameter a and centre $(0, 0)$ is given by

$r^2=a^2 \theta.$

Source: en1gm4th5

Butterfly curve

The parametric equations of the butterfly curve can be given by 

$x = \sin t \left(e^{\cos t}-2 \cos 4t-sin^{5} \dfrac{t}{12} \right)$ 

$y = \cos t \left(e^{\cos t}-2 \cos 4t-sin^{5} \dfrac{t}{12} \right)$ 

 In polar coordinates the equation of a butterfly curve is given by 

$r=e^{\sin \theta}-2 \cos \left(4 \theta \right)+ \sin^5\left[\dfrac{1}{24} \left(2 \theta - \pi \right) \right].$

Source: en1gm4th5

Τι είναι μια καμπύλη;

Δεν περιοριζόμαστε σε δύο διαστάσεις, αλλά συμπεριλαμβάνουμε καμπύλες στο χώρο καθώς και καμπύλες στο επίπεδο. 

Ο ευκολότερος τρόπος για να περιγράψουμε μια καμπύλη στο χώρο είναι να την δώσουμε παραμετρικά, δηλαδή να περιγράψουμε τα σημεία $(x,y,z)$ σε αυτήν με όρους μιας παραμέτρου $t$, που θεωρείται ως χρόνος. 

Οι μεταβλητές $x, y$ και $z$ αλλάζουν όλες με $t$, δηλαδή είναι συναρτήσεις του $t$. Μπορούμε να σκεφτούμε το $(x,y,z)$ ως ένα σημείο που κινείται κατά μήκος της καμπύλης στο χρόνο. Ως κινούμενο σημείο, έχει μια ταχύτητα, και αυτή η ταχύτητα δίνεται από το $(x',y',z')$, όπου $x', y'$ και $z'$, είναι οι παράγωγοι των $x, y$ και $z$ ως προς προς $t$.

Το εμβαδόν κάτω από το τόξο της κυκλοειδούς καμπύλης

Η κυκλοειδής καμπύλη εμφανίστηκε το $1696$ σε ένα πρόβλημα του Johann Bernoulli που ζητούσε να προσδιοριστεί το είδος της καμπύλης την οποία πρέπει να διαγράψει ένα υλικό σημείο που κινείται χωρίς τριβές υπό την επίδραση του βάρους του, έτσι ώστε, ξεκινώντας από το σημείο $Α$, να φτάσει στο 4Γ$ στον ελάχιστο χρόνο:

Αποδείχθηκε ότι αυτό συνέβαινε όταν το σώμα ακολουθούσε μια κυκλοειδή καμπύλη που διερχόταν από τα σημεία Α και Γ. Και γι αυτό αρχικά η κυκλοειδής ονομάστηκε «βραχυστόχρονη» καμπύλη». 

Hypotrochoid

In geometry, a hypotrochoid is a roulette traced by a point attached to a circle of radius r rolling around the inside of a fixed circle of radius $R$, where the point is a distance d from the center of the interior circle. 

The parametric equations for a hypotrochoid are: \begin{aligned}&x(\theta )=(R-r)\cos \theta +d\cos \left({R-r \over r}\theta \right)\\&y(\theta )=(R-r)\sin \theta -d\sin \left({R-r \over r}\theta \right)\end{aligned} where $θ$ is the angle formed by the horizontal and the center of the rolling circle (these are not polar equations because θ is not the polar angle). 

Read more »

The $x^x$ Spindle

The $x^x$ Spindle

Cardioid

Καρδιοειδής καμπύλη (Cardioid)

Καμπύλες Bézier - ζωτικής σημασίας για το σχέδιο και τα κινούμενα σχέδια στον υπολογιστή

Καμπύλες Bézier

LAMÉ CURVE

LAMÉ CURVE

CURVE OF THE TIGHTROPE WALKER