[24] - Algebraic Inequalities for Contests

[23] - Algebraic Inequalities for Contests

Ανισότητα σε τρίγωνο

Μέγιστη τιμή σταθεράς

Μέχρι και το 2024

Δίνεται η συνάρτηση

$f(x)=\ln \left(\dfrac{2024 x}{x+2}\right)$.

Να αποδειχθεί ότι

$f^{\prime}(1)+f^{\prime}(2)+f^{\prime}(3)+\ldots+f^{\prime}(2024)<\dfrac{3}{2}.$

Ζητείται συμπέρασμα

Ας υποθέσουμε ότι μας λένε ότι τέσσερις αριθμοί $a,b,c,d$ βρίσκονται ανάμεσα στους αριθμούς $-5$ και $5$. Ας υποθέσουμε επίσης ότι οι αριθμοί είναι περιορισμένοι έτσι ώστε:

$$5< a+b < 10 \quad\mbox{ και }\quad -10< c+d < -5$$

Δεδομένων αυτών των πληροφοριών, τι μπορείτε να συμπεράνετε για αυτές τις ανισότητες:

$$ ?? < a+ b- c - d < ?? $$

$$ ?? < a- c < ?? $$

$$ ?? < a - c + d - b < ?? $$

$$ ?? < abcd < ?? $$

$$ ?? < \frac{|a|+|c|}{2}-\sqrt{|ac|} < ??$$

[22] - Algebraic Inequalities for Contests

Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+ a )^2}+$

$+\dfrac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}+\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{(ab)^ 2 }{a^2+b^2+c^2}\le 8$.

Wirtinger's Inequality

Wirtinger's Inequality 

[22] - Algebraic Inequalities for Contests

Τριγωνομετρική ανισότητα

Turkey Junior National Mathematical Olympiad 2022

Jordan's Inequality Visual Proof

[21] - Algebraic Inequalities for Contests

[20] - Algebraic Inequalities for Contests

Inequalities: Theory of Majorization and Its Applications (pdf)

Click on the image.

[19] - Algebraic Inequalities for Contests

[18] - Algebraic Inequalities for Contests

Young's Inequality

Young's Inequality

ΒΙΒΛΙΟ: Inequalities: Theorems, Techniques and Selected Problems (pdf)

Click on the image.

[17] - Algebraic Inequalities for Contests