[31] - Algebraic Inequalities for Contests

[30] - Algebraic Inequalities for Contests

[29] - Algebraic Inequalities for Contests

[28] - Algebraic Inequalities for Contests

Jordan's Inequality

Ισχύει

$\dfrac{2x}{π} ≤ sinx ≤ x$

for $x ∈ [0, \dfrac{π}{2} ].$

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

Ανισότητα Abdullayev

Να αποδειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο $ABC$ ισχύει:  

\[ a^2 + b^2 + c^2 \geq 4S \cdot \sqrt[4]{\left(a^2 + b^2 + c^2\right) \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}\right)} \] όπου $S$ το εμβαδόν του τριγώνου.

10 ανισότητες από το mathematica

Nα αποδειχθούν οι ανισότητες:

1) $\displaystyle{3(a^4+a^2+1) \geq (a^2+a+1)^2, a>0}$

2) $\displaystyle{\left( \frac{1}{|a|}+\frac{1}{|b|}+\frac{1}{|c|}\right)\left(|a|+|b|+|c| \right) \geq 9, a,b,c \neq 0}$

3) $\displaystyle{\frac{a^2+b^2+c^2}{3} \geq \left(\frac{a+b+c}{3} \right)^2}$

4) $\displaystyle{\sqrt{a}+\sqrt{b} \leq \sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}, a,b >0}$

[27] - Geometric Inequalities for Contests

[24] - Algebraic Inequalities for Contests

[23] - Algebraic Inequalities for Contests

Ανισότητα σε τρίγωνο

Μέγιστη τιμή σταθεράς

Μέχρι και το 2024

Δίνεται η συνάρτηση

$f(x)=\ln \left(\dfrac{2024 x}{x+2}\right)$.

Να αποδειχθεί ότι

$f^{\prime}(1)+f^{\prime}(2)+f^{\prime}(3)+\ldots+f^{\prime}(2024)<\dfrac{3}{2}.$

Ζητείται συμπέρασμα

Ας υποθέσουμε ότι μας λένε ότι τέσσερις αριθμοί $a,b,c,d$ βρίσκονται ανάμεσα στους αριθμούς $-5$ και $5$. Ας υποθέσουμε επίσης ότι οι αριθμοί είναι περιορισμένοι έτσι ώστε:

$$5< a+b < 10 \quad\mbox{ και }\quad -10< c+d < -5$$

Δεδομένων αυτών των πληροφοριών, τι μπορείτε να συμπεράνετε για αυτές τις ανισότητες:

$$ ?? < a+ b- c - d < ?? $$

$$ ?? < a- c < ?? $$

$$ ?? < a - c + d - b < ?? $$

$$ ?? < abcd < ?? $$

$$ ?? < \frac{|a|+|c|}{2}-\sqrt{|ac|} < ??$$

[22] - Algebraic Inequalities for Contests

Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+ a )^2}+$

$+\dfrac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}+\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{(ab)^ 2 }{a^2+b^2+c^2}\le 8$.

Wirtinger's Inequality

Wirtinger's Inequality 

[22] - Algebraic Inequalities for Contests

Τριγωνομετρική ανισότητα

Turkey Junior National Mathematical Olympiad 2022

Jordan's Inequality Visual Proof