[40] - Algebraic Inequalities from and for Contests

Αν 

$K=a+b$

$L=\sqrt{a^2{\cos }^2\alpha +b^2{\sin }^2\alpha }+\sqrt{a^2{\sin }^2\alpha +b^2{\cos }^2\alpha }$

$M=\sqrt{2(a^2+b^2)}$ 

δείξτε ότι $$K\le L\le M$$ για όλους τους $a,b\ge 0$ και όλες τις γωνίες $\alpha$.

Ισότητες και Ανισότητες στο Τρίγωνο [1-13]

1. Να αποδείξετε ότι: $$a^2+{\beta }^2+{\gamma }^2\ge 9R^2$$

2. Να αποδείξετε ότι: 

$(4R+\rho {)}^2+2\tau [\frac{R}{\rho }\sqrt{(\tau -\alpha )}+\sqrt{(\tau -\beta )}+\sqrt{(\tau -\gamma )}]\ge$

$\ge {\tau }^2+2\tau (4R+\rho )R\rho [{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\alpha (\tau -\alpha )}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\beta (\tau -\beta )}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\gamma (\tau -\gamma )}}}]$ 

Ky Fan: Μια Ανισότητα που Αξίζει να Γνωρίζετε

O Ky Fan (1914-2010), ήταν καθηγητής για πολλά χρόνια στο πανεπιστήμιο Santa Barbara της Καλιφόρνιας των ΗΠΑ. Η ανισότητα αυτή, για πρώτη φορά, εμφανίστηκε το $1961$ στο βιβλίο των Beckenbach E.F, Bellman R. "Inequalities" Berlin, Springer 1961 και διατυπώνεται ως εξής:

Έστω $a_1,a_2,...,a_n$ $(n\ge 2)$ θετικοί αριθμοί του διαστήματος $[0,{\displaystyle \frac{1}{2}}]$.

Θεωρούμε το μέσο αριθμητικό 

$A_n={\displaystyle \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}}$ 

και τον μέσο γεωμετρικό 

$G_n=(a_1\cdot a_2\cdot ...\cdot a_n{)}^{{\displaystyle \frac{1}{n}}}$ 

Η Δυναμική της Συμμετρίας στην Ανισότητα του Schur

Η Ανισότητα του Schur

Η ανισότητα του Schur δηλώνει ότι για όλους τους μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς $x$, $y$, $z$, και για $t>0$, ισχύει: $$x^t(x-y)(x-z)+y^t(y-z)(y-x)+z^t(z-x)(z-y)\ge 0$$ με ισότητα, αν και μόνο αν $x=y=z$ ή αν δύο από αυτά είναι ίσα και το άλλο μηδέν. Όταν $t=1$, παίρνουμε την ειδική περίπτωση: $$x^3+y^3+z^3+3xyz\ge xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)$$

 

Απόδειξη

Εφόσον η ανισότητα είναι συμμετρική ως προς $x$, $y$, $z$, μπορούμε να υποθέσουμε, χωρίς απώλεια γενικότητας, ότι $x\ge y\ge z$. Τότε, η ανισότητα: $$(x-y)[x^t(x-z)-y^t(y-z)]+z^t(x-z)(y-z)\ge 0$$ ισχύει, καθώς κάθε όρος στην αριστερή πλευρά της ανισότητας είναι μη αρνητικός. Αυτό οδηγεί στην αρχική ανισότητα του Schur. 

Η Ομορφιά της Κυρτότητας: Ανισότητα Hermite-Hadamard

Ανισότητα Hermite-Hadamard

Αν η συνάρτηση $f:[a,b]\to \mathbb{R}$.είναι κυρτή, τότε ισχύει:

$$f\left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)\le {\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\int }_a^{b}f(x)dx\le {\displaystyle \frac{f(a)+f(b)}{2}}$$

Η παραπάνω ανισότητα εκφράζει ότι η τιμή της $f$ στο μέσο του διαστήματος $[a,b]$ δεν υπερβαίνει τη μέση τιμή της στο ίδιο διάστημα, η οποία, με τη σειρά της, δεν ξεπερνά τον αριθμητικό μέσο των τιμών της στα άκρα του διαστήματος.

[38-39] - Algebraic Inequalities from and for Contests

1. Nα αποδειχθεί ότι για κάθε φυσικό αριθμό $k\le n$ ισχύουν: $$1+\frac{k}{n}\le {(1+\frac{1}{n})}^k\le 1+\frac{k}{n}+\frac{k^2}{n^2}.$$

2. Για $0\le x\le 1$, να αποδειχθεί ότι: $$2^{x/2}-2^{-x/2}\le \frac{x}{\sqrt{2}}.$$

[37] - Algebraic Inequalities from and for Contests

Δίνονται οι αριθμοί 

$0<x_1<x_2<x_3$ και $0<y_1<y_2<y_3$​.

a) Δείξτε ότι $$(x_1+x_2)(y_1+y_2)<2(x_1{y}_1+x_2{y}_2).$$

b) Δείξτε ότι $${\displaystyle \frac{x_1(y_2+y_3)+x_2(y_1+y_3)+x_3(y_1+y_2)}{x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3}}<2.$$

[36] - Algebraic Inequalities from and for Contests

 

Inequality of Arithmetic and Geometric Means

 

Hölder's Inequality for Sums

Hölder's Inequality for Sums

Ανισότητες που παράγονται από την εκθετική ανισότητα ex≥x+1

 Του Δημήτρη Σπαθάρα  

[35] - Algebraic Inequalities from and for Contests

[34] - Algebraic Inequalities for Contests

[33] - Algebraic Inequalities for Contests

[32] - Algebraic Inequalities for Contests

[31] - Algebraic Inequalities for Contests

[30] - Algebraic Inequalities for Contests

[29] - Algebraic Inequalities for Contests

[28] - Algebraic Inequalities for Contests

Jordan's Inequality

Ισχύει

${\displaystyle \frac{2x}{\pi }}\le sinx\le x$

for $x\in [0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}].$

Αποδείξεις χωρίς λόγια.