Το Λήμμα του Titu

Το Λήμμα του Titu (ή Ανισότητα του Titu) είναι μια άμεση εφαρμογή της ανισότητας Cauchy-Schwarz και δηλώνει:

Για θετικούς πραγματικούς αριθμούς $a_1,a_2,\dots ,a_n$ και $b_1,b_2,\dots ,b_n$ με $b_i>0$, ισχύει: $$\sum _{i=1}^n\frac{a_i^2}{b_i}\ge \frac{{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)}^2}{\sum _{i=1}^n{b}_i}.$$

Η ανισότητα προκύπτει από την Cauchy-Schwarz για τις ακολουθίες $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ και $(\sqrt{b_1},\sqrt{b_2},\dots ,\sqrt{b_n})$: $${\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\sqrt{b_i}\right)}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{a}_i^2\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^n{b}_i\right).$$ Διαιρώντας και στα δύο μέλη με $\sum b_i$, προκύπτει η ανισότητα του Titu. Η ισότητα ισχύει, αν και μόνο αν, υπάρχει σταθερά $k$ τέτοια ώστε: $$\frac{a_1}{\sqrt{b_1}}=\frac{a_2}{\sqrt{b_2}}=\cdots =\frac{a_n}{\sqrt{b_n}}.$$

Ισότητες και Ανισότητες στο Τρίγωνο [14-19]

14. Σε κάθε τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ να αποδειχθεί: $${\displaystyle \frac{A{\alpha }^4}{\pi -A}}+{\displaystyle \frac{B{\beta }^4}{\pi -B}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }{\gamma }^4}{\pi -\mathrm{\Gamma }}}\ge 8E$$ 15. Σε κάθε τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ να αποδειχθεί: $${\displaystyle \frac{{\alpha }^4}{{\beta }^8({\gamma }^4+{\alpha }^4)}}+{\displaystyle \frac{{\beta }^4}{{\beta }^8({\alpha }^4+{\beta }^4)}}+{\displaystyle \frac{{\gamma }^4}{{\alpha }^8({\beta }^4+{\gamma }^4)}}\ge {\displaystyle \frac{1}{2R^2}}$$

 

16. Σε κάθε τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ να αποδειχθεί: $${\displaystyle \frac{{\alpha }^5}{2\alpha +\beta +\gamma }}+{\displaystyle \frac{(\alpha +\beta ){\beta }^4}{{\gamma }^4}}+{\displaystyle \frac{{\gamma }^4}{{\alpha }^8({\beta }^4+{\gamma }^4)}}\ge 8E^2$$ 17. Σε κάθε τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ να αποδειχθεί: $${\displaystyle \frac{\kappa {\alpha }^2}{\lambda +\mu }}+{\displaystyle \frac{\lambda {\beta }^2}{\mu +\kappa }}+\frac{\mu {\gamma }^2}{\kappa +\lambda }\ge 2E\sqrt{4-{\displaystyle \frac{2\rho }{R}}}\ge 2E\sqrt{3}$$

[42] - Algebraic Inequalities from and for Contests

Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι: $${\displaystyle \frac{a\sqrt{a}}{2a+b}+\frac{b\sqrt{b}}{2b+c}+\frac{c\sqrt{c}}{2c+a}\le \frac{(a+b+c)\sqrt{a+b+c}}{3\sqrt{3}\sqrt[3]{abc}}.}$$

[41] - Algebraic Inequalities from and for Contests

Δείξτε ότι για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x>0$ και $x\ne 1$, ισχύει: $${\displaystyle \frac{1-\sqrt[3]{x}}{1-x}}\le {\displaystyle \frac{\sqrt[3]{1+x}}{1+x}}.$$

Ανισότητα στη μοναδιαία σφαίρα

Αποδείξτε ότι αν μια τριάδα μη αρνητικών αριθμών $x$, $y$, $z$ ικανοποιεί την εξίσωση της μοναδιαίας σφαίρας: 

$x^2+y^2+z^2=1$

τότε αληθεύει η ανισότητα 

${\displaystyle \frac{x}{1-x^2}}+{\displaystyle \frac{y}{1-y^2}}+{\displaystyle \frac{z}{1-z^2}}\ge {\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}$ 

V. Matizen

[40] - Algebraic Inequalities from and for Contests

Αν 

• $K=a+b$
• $L=\sqrt{a^2{\cos }^2\alpha +b^2{\sin }^2\alpha }+\sqrt{a^2{\sin }^2\alpha +b^2{\cos }^2\alpha }$
• $M=\sqrt{2(a^2+b^2)}$ 

δείξτε ότι $$K\le L\le M$$ για όλους τους $a,b\ge 0$ και όλες τις γωνίες $\alpha$.

Ισότητες και Ανισότητες στο Τρίγωνο [1-13]

1. Να αποδείξετε ότι: $$a^2+{\beta }^2+{\gamma }^2\ge 9R^2$$

2. Να αποδείξετε ότι: 

$(4R+\rho {)}^2+2\tau [\frac{R}{\rho }\sqrt{(\tau -\alpha )}+\sqrt{(\tau -\beta )}+\sqrt{(\tau -\gamma )}]\ge$

$\ge {\tau }^2+2\tau (4R+\rho )R\rho [{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\alpha (\tau -\alpha )}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\beta (\tau -\beta )}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\gamma (\tau -\gamma )}}}]$ 

Ky Fan: Μια Ανισότητα που Αξίζει να Γνωρίζετε

O Ky Fan (1914-2010), ήταν καθηγητής για πολλά χρόνια στο πανεπιστήμιο Santa Barbara της Καλιφόρνιας των ΗΠΑ. Η ανισότητα αυτή, για πρώτη φορά, εμφανίστηκε το $1961$ στο βιβλίο των Beckenbach E.F, Bellman R. "Inequalities" Berlin, Springer 1961 και διατυπώνεται ως εξής:

Έστω $a_1,a_2,...,a_n$ $(n\ge 2)$ θετικοί αριθμοί του διαστήματος $[0,{\displaystyle \frac{1}{2}}]$.

Θεωρούμε το μέσο αριθμητικό 

$A_n={\displaystyle \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}}$ 

και τον μέσο γεωμετρικό 

$G_n=(a_1\cdot a_2\cdot ...\cdot a_n{)}^{{\displaystyle \frac{1}{n}}}$ 

Η Δυναμική της Συμμετρίας στην Ανισότητα του Schur

Η Ανισότητα του Schur

Η ανισότητα του Schur δηλώνει ότι για όλους τους μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς $x$, $y$, $z$, και για $t>0$, ισχύει: $$x^t(x-y)(x-z)+y^t(y-z)(y-x)+z^t(z-x)(z-y)\ge 0$$ με ισότητα, αν και μόνο αν $x=y=z$ ή αν δύο από αυτά είναι ίσα και το άλλο μηδέν. Όταν $t=1$, παίρνουμε την ειδική περίπτωση: $$x^3+y^3+z^3+3xyz\ge xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)$$

 

Απόδειξη

Εφόσον η ανισότητα είναι συμμετρική ως προς $x$, $y$, $z$, μπορούμε να υποθέσουμε, χωρίς απώλεια γενικότητας, ότι $x\ge y\ge z$. Τότε, η ανισότητα: $$(x-y)[x^t(x-z)-y^t(y-z)]+z^t(x-z)(y-z)\ge 0$$ ισχύει, καθώς κάθε όρος στην αριστερή πλευρά της ανισότητας είναι μη αρνητικός. Αυτό οδηγεί στην αρχική ανισότητα του Schur. 

Η Ομορφιά της Κυρτότητας: Ανισότητα Hermite-Hadamard

Ανισότητα Hermite-Hadamard

Αν η συνάρτηση $f:[a,b]\to \mathbb{R}$.είναι κυρτή, τότε ισχύει:

$$f\left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)\le {\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\int }_a^{b}f(x)dx\le {\displaystyle \frac{f(a)+f(b)}{2}}$$

Η παραπάνω ανισότητα εκφράζει ότι η τιμή της $f$ στο μέσο του διαστήματος $[a,b]$ δεν υπερβαίνει τη μέση τιμή της στο ίδιο διάστημα, η οποία, με τη σειρά της, δεν ξεπερνά τον αριθμητικό μέσο των τιμών της στα άκρα του διαστήματος.

[38-39] - Algebraic Inequalities from and for Contests

1. Nα αποδειχθεί ότι για κάθε φυσικό αριθμό $k\le n$ ισχύουν: $$1+\frac{k}{n}\le {(1+\frac{1}{n})}^k\le 1+\frac{k}{n}+\frac{k^2}{n^2}.$$

2. Για $0\le x\le 1$, να αποδειχθεί ότι: $$2^{x/2}-2^{-x/2}\le \frac{x}{\sqrt{2}}.$$

[37] - Algebraic Inequalities from and for Contests

Δίνονται οι αριθμοί 

$0<x_1<x_2<x_3$ και $0<y_1<y_2<y_3$​.

a) Δείξτε ότι $$(x_1+x_2)(y_1+y_2)<2(x_1{y}_1+x_2{y}_2).$$

b) Δείξτε ότι $${\displaystyle \frac{x_1(y_2+y_3)+x_2(y_1+y_3)+x_3(y_1+y_2)}{x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3}}<2.$$

[36] - Algebraic Inequalities from and for Contests

 

Inequality of Arithmetic and Geometric Means

 

Hölder's Inequality for Sums

Hölder's Inequality for Sums

Ανισότητες που παράγονται από την εκθετική ανισότητα ex≥x+1

 Του Δημήτρη Σπαθάρα  

[35] - Algebraic Inequalities from and for Contests

[34] - Algebraic Inequalities for Contests

[33] - Algebraic Inequalities for Contests

[32] - Algebraic Inequalities for Contests