Το Λήμμα του Titu

Το Λήμμα του Titu (ή Ανισότητα του Titu) είναι μια άμεση εφαρμογή της ανισότητας Cauchy-Schwarz και δηλώνει:

Για θετικούς πραγματικούς αριθμούς $a_1,a_2,\dots ,a_n$ και $b_1,b_2,\dots ,b_n$ με $b_i>0$, ισχύει: $$\sum _{i=1}^n\frac{a_i^2}{b_i}\ge \frac{{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)}^2}{\sum _{i=1}^n{b}_i}.$$

Η ανισότητα προκύπτει από την Cauchy-Schwarz για τις ακολουθίες $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ και $(\sqrt{b_1},\sqrt{b_2},\dots ,\sqrt{b_n})$: $${\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\sqrt{b_i}\right)}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{a}_i^2\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^n{b}_i\right).$$ Διαιρώντας και στα δύο μέλη με $\sum b_i$, προκύπτει η ανισότητα του Titu. Η ισότητα ισχύει, αν και μόνο αν, υπάρχει σταθερά $k$ τέτοια ώστε: $$\frac{a_1}{\sqrt{b_1}}=\frac{a_2}{\sqrt{b_2}}=\cdots =\frac{a_n}{\sqrt{b_n}}.$$

Σάρωση για να αποθηκεύσεις ή να κοινοποιήσεις την ανάρτηση