Το θεώρημα του Wilson

Έστω $p$ ένας πρώτος αριθμός, τότε $$(p-1)!\equiv -1(\mathrm{mod}p).$$

See three proofs of theorem here.

Το Κόσκινο του Ερατοσθένη: Η Κλασική Μέθοδος για την Εύρεση Πρώτων Αριθμών

Οι πρώτοι αριθμοί αποτελούν θεμελιώδες κομμάτι των μαθηματικών, αλλά πώς μπορούμε να τους βρούμε γρήγορα σε ένα συγκεκριμένο διάστημα; Μία από τις πιο κλασικές και αποδοτικές μεθόδους είναι το Κόσκινο του Ερατοσθένη, το οποίο επινοήθηκε από τον αρχαίο Έλληνα μαθηματικό Ερατοσθένη.

---

🔹 Η Ιδέα της Μεθόδου

Η βασική ιδέα του κόσκινου είναι να ξεκινήσουμε με όλους τους αριθμούς ενός διαστήματος και να διαγράψουμε σταδιακά τους σύνθετους αριθμούς, αφήνοντας στο τέλος μόνο τους πρώτους.

Ο μόνος πρώτος μέσος όρος Fibonacci !

Ο αριθμός "17" είναι ο μόνος πρώτος αριθμός που αποτελεί τον μέσο όρο δύο διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας Fibonacci.

Πρόβλημα Πρώτων Τριάδων

Να βρεθούν όλες οι τριάδες πρώτων αριθμών $(a,b,c)$ για τις οποίες ισχύει:

Αυτό το Απλό Μαθηματικό Πρόβλημα Πάλευαν να Λύσουν οι Μαθηματικοί για 350+ Χρόνια!

Και ακόμα δεν υπάρχει μόνιμη λύση! 

Οι Πρώτοι Αριθμοί Μερσέν ($2^p-1$, όπου $p$ είναι πρώτος) συνεχίζουν να προκαλούν τους μαθηματικούς από τον $17$ο αιώνα. Μέχρι σήμερα, έχουν βρεθεί μόνο $52$ τέτοιοι αριθμοί σε $381$ χρόνια, με τον τελευταίο να ανακαλύφθηκε πέρυσι $p=136,279,841$!

Ακολουθεί η λίστα για το $p$ σε $2^p—1$ που καταλήγουν σε Mersenne Prime:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433

Το Μυστήριο των Πρώτων Αριθμών: Η Άποψη του Leonard Euler

 

Ένα Πολυώνυμο που Παράγει Όλους τους Πρώτους Αριθμούς!

📌 Μπορεί ένα πολυώνυμο να παράγει όλους τους πρώτους αριθμούς;

Το 1976, μια ομάδα μαθηματικών από τον Καναδά και την Ιαπωνία, με επικεφαλής τον James P. Jones, ανακάλυψε ένα αξιοσημείωτο πολυώνυμο 26 μεταβλητών που έχει την εξής μοναδική ιδιότητα:

✅ Αν επιτρέψουμε στις 26 μεταβλητές του να παίρνουν τιμές στους μη αρνητικούς ακέραιους, τότε παράγει όλους τους πρώτους αριθμούς.

Γνωρίζετε ότι ...

Το $97$ είναι ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός που είναι μικρότερος από το άθροισμα των τετραγώνων των ψηφίων του!

Οι Πρώτοι του Μερσέν: Ιδιότητες και Σημασία στη Θεωρία Αριθμών

Οι $\mathbf{\text{πρώτοι του Μερσέν}}$ είναι μια κατηγορία πρώτων αριθμών που έχουν τη μορφή: $$M_p=2^p-1$$ όπου $p$ είναι επίσης πρώτος αριθμός.

Αυτοί οι αριθμοί ονομάστηκαν προς τιμήν του Γάλλου μαθηματικού $\mathbf{\text{Marin Mersenne}}$, ο οποίος τους μελέτησε τον 17ο αιώνα. 

Μερικοί από τους γνωστούς πρώτους του Μερσέν είναι: $$\begin{array}{rl}{M}_2& =2^2-1=3\\ M_3& =2^3-1=7\\ M_5& =2^5-1=31\\ M_7& =2^7-1=127\\ M_{13}& =2^{13}-1=8191\\ M_{17}& =2^{17}-1=131071\\ M_{19}& =2^{19}-1=524287\\ M_{31}& =2^{31}-1=2147483647\end{array}$$

Η Εύρεση των Παραγόντων του Αριθμού 267−1

Το $1876$ είχε αποδειχθεί ότι ο αριθμός $2^{67}-1$ δεν είναι πρώτος. Ωστόσο, για πολλές δεκαετίες, οι παράγοντές του παρέμεναν άγνωστοι. Όλα αυτά άλλαξαν το $1903$, όταν ο μαθηματικός Frank Nelson Cole έκανε μια εκπληκτική παρουσίαση στην Αμερικανική Μαθηματική Εταιρεία.

Κατά τη διάρκεια της διάλεξής του, ο Cole δεν είπε ούτε μια λέξη. Αντίθετα, ανέβηκε στον πίνακα κι έγραψε τον αριθμό $2^{67}-1$, που ισούται με:

$147.573.952.589.676.412.927$

Στη συνέχεια, έγραψε δύο άλλες αριθμητικές τιμές δίπλα:

$147.573.952.589.67.412.927=193.707.721\times 761.838.257.287$

Ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός έχει τώρα 41 εκατομμύρια ψηφία!

Ο ερασιτέχνης μαθηματικός Luke Durant ανακάλυψε τον μεγαλύτερο γνωστό πρώτο αριθμό μετά από $6$ χρόνια. Ο νέος πρώτος αριθμός είναι απίστευτα μεγάλος. 

Ακριβώς $41$ εκατομμύρια $24$ χιλιάδες $320$ ψηφία! Για να κατανοήσουμε καλύτερα αυτόν τον αριθμό ψηφίων, μπορούμε να σκεφτούμε τα εξής. 

Σύμφωνα με τις τρέχουσες γνώσεις μας, ο εκτιμώμενος αριθμός ατόμων στο παρατηρήσιμο σύμπαν είναι ${10}^{80}$. 

Δηλαδή ένας αριθμός με $80$ μηδενικά "0" δίπλα στο $1$.

Έξι αποδείξεις της απειρίας των πρώτων αριθμών

Οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι και η πρώτη απόδειξη οφείλεται στον Ευκλείδη.

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Το κόσκινο του Ερατοσθένη μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση πρώτων αριθμών

Κάντε κλικ εδώ.

Παραγοντικοί πρώτοι της μορφής n!+ 1

Οι αριθμοί της μορφής $n!+\hspace{0.17em}1$ είναι πρώτοι, για 

$n=0,1,2,3,11,27,37,41,73,77,116,154,320,340,399,$ 

$427,872,1477,6380,26951,110059,150209,288465,$ 

$308084,422429$

→ Μέχρι σήμερα δεν είναι γνωστοί άλλοι πρώτοι αριθμοί αυτής της μορφής.

@Cliff Pickover

An Exact Formula for the Primes: Willans' Formula

Μόνο ένας !

Ανακαλύφθηκε νέος μεγαλύτερος πρώτος αριθμός !

Μετά από ένα κενό χρονικό διάστημα έξι ετών, έχουμε τώρα τον μεγαλύτερο γνωστό πρώτο αριθμό. Αυτός ο πρώτος αριθμός είναι κατά $16$ εκατομμύρια ψηφία μεγαλύτερος από τον προηγούμενο. 

Η νέα ανακάλυψη έγινε από έναν ερασιτέχνη μαθηματικό, πρώην υπάλληλος της Nvidia, με το όνομα Luke Durant. Ο νέος μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός περιέχει $41.024.320$ ψηφία.

Πρόσφατα πρώτος !

Ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός, που εκτείνεται σε $41$ εκατομμύρια ψηφία, ανακαλύφθηκε από ερασιτέχνη μαθηματικό με τη χρήση ελεύθερου λογισμικού.

Ο πρόσφατα επιβεβαιωμένος πρώτος αριθμός περιέχει $41.024.320$ ψηφία.

Πηγή (Οκτώβριος, 2024)

Πόσους αριθμούς Μερσέν γνωρίζουμε;

Ο πρώτος αριθμός Mersenne είναι ένας πρώτος αριθμός που είναι κατά ένα μικρότερος από μια δύναμη του δύο. Δηλαδή, είναι ένας πρώτος αριθμός της μορφής $M_n=2^n-1$ για κάποιον ακέραιο $n$. 

Το $2024$, οι άνθρωποι γνωρίζουν μόνο $52$ πρώτους αριθμούς Μερσέν. 

Μοναδικός πρώτος

Μόνο ένας από τους παρακάτω αριθμούς είναι πρώτος. Ποιος είναι? 

(A) $19972003$ 

(B) $19992003$ 

(C) $20012003$ 

(D) $20022003$ 

(E) $20032003$