Έξι αποδείξεις της απειρίας των πρώτων αριθμών

Οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι και η πρώτη απόδειξη οφείλεται στον Ευκλείδη.

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Το κόσκινο του Ερατοσθένη μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση πρώτων αριθμών

Κάντε κλικ εδώ.

Παραγοντικοί πρώτοι της μορφής $n! + 1$

Οι αριθμοί της μορφής $n! + 1$ είναι πρώτοι, για 

$n = 0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77,116, 154, 320, 340, 399,$ 

$427, 872, 1477, 6380, 26951, 110059, 150209, 288465,$ 

$308084, 422429$

→ Μέχρι σήμερα δεν είναι γνωστοί άλλοι πρώτοι αριθμοί αυτής της μορφής.

@Cliff Pickover

An Exact Formula for the Primes: Willans' Formula

Μόνο ένας !

Ανακαλύφθηκε νέος μεγαλύτερος πρώτος αριθμός !

Μετά από ένα κενό χρονικό διάστημα έξι ετών, έχουμε τώρα τον μεγαλύτερο γνωστό πρώτο αριθμό. Αυτός ο πρώτος αριθμός είναι κατά $16$ εκατομμύρια ψηφία μεγαλύτερος από τον προηγούμενο. 

Η νέα ανακάλυψη έγινε από έναν ερασιτέχνη μαθηματικό, πρώην υπάλληλος της Nvidia, με το όνομα Luke Durant. Ο νέος μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός περιέχει $41.024.320$ ψηφία.

Πρόσφατα πρώτος !

Ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός, που εκτείνεται σε $41$ εκατομμύρια ψηφία, ανακαλύφθηκε από ερασιτέχνη μαθηματικό με τη χρήση ελεύθερου λογισμικού.

Ο πρόσφατα επιβεβαιωμένος πρώτος αριθμός περιέχει $41.024.320$ ψηφία.

Πηγή (Οκτώβριος, 2024)

Πόσους αριθμούς Μερσέν γνωρίζουμε;

Ο πρώτος αριθμός Mersenne είναι ένας πρώτος αριθμός που είναι κατά ένα μικρότερος από μια δύναμη του δύο. Δηλαδή, είναι ένας πρώτος αριθμός της μορφής $M_n = 2^n - 1$ για κάποιον ακέραιο $n$. 

Το $2024$, οι άνθρωποι γνωρίζουν μόνο $52$ πρώτους αριθμούς Μερσέν. 

Μοναδικός πρώτος

Μόνο ένας από τους παρακάτω αριθμούς είναι πρώτος. Ποιος είναι? 

(A) $19972003$ 

(B) $19992003$ 

(C) $20012003$ 

(D) $20022003$ 

(E) $20032003$

Αριθμός $123456789087654321$

Εκπληκτικό μοτίβο πρώτων αριθμών !

Ξεκινήστε με τον αριθμό $82$ και μετά μετρήστε αντίστροφα $81, 80.79, ...$ και ούτω καθεξής. Ο  αριθμός που σχηματίστηκε είναι πρώτος.

Είναι όλοι πρώτοι αριθμοί !

‘Sensational’ Proof Delivers New Insights Into Prime Numbers

Sometimes mathematicians try to tackle a problem head on, and sometimes they come at it sideways. That’s especially true when the mathematical stakes are high, as with the Riemann hypothesis, whose solution comes with a $1 million reward from the Clay Mathematics Institute. 

Its proof would give mathematicians much deeper certainty about how prime numbers are distributed, while also implying a host of other consequences — making it arguably the most important open question in math.

Mathematicians have no idea how to prove the Riemann hypothesis. But they can still get useful results just by showing that the number of possible exceptions to it is limited. “In many cases, that can be as good as the Riemann hypothesis itself,” said James Maynard of the University of Oxford. “We can get similar results about prime numbers from this.”

Read more »

Eisenstein Primes Visually

Όλοι πρώτοι

Οι οι παρακάτω αριθμοί είναι πρώτοι.

Δημιουργία πρώτων αριθμών

Το $1772$, ο Euler παρατήρησε ότι αυτός ο απλός τύπος δίνει διακριτούς πρώτους αριθμούς για $40$ διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς, από $n=0$ έως $39$. 

Για παράδειγμα, οι πρώτοι είναι: 

$41, 43, 47, 53, 61, 71...$

Mersenne Primes

Mersenne Primes 

Αντιστρέψιμος πρώτος αριθμός

Αυτός ο πρώτος αριθμός (χωρισμένος σε ομάδες των 7 ψηφίων) είναι αντιστρέψιμος, δηλαδή είναι πρώτος είτε διαβάζεται από μπροστά προς τα πίσω είτε από πίσω προς τα εμπρός.

The PrimePages: prime number research & records

Click on the image.

Υπάρχουν άπειροι Mersenne-πρώτοι;

ΟΡΙΣΜΟΣ

Ένας πρώτος $p$ χαρακτηρίζεται Mersenne-πρώτος αν και ο 2 p − 1 είναι πρώτος. 

Για παράδειγμα οι $2, 3, 5, 7, 13$ είναι Mersenne-πρώτοι ενώ ο πρώτος $11$ δεν είναι Mersenne πρώτος. 

Πράγματι, $2^{11} − 1 = 23 · 89$. 

Μετά από την προηγούμενη συζήτηση είναι σαφές ότι ο πρώτος $p$ είναι Mersenne-πρώτος αν και μόνο αν ο άρτιος 

$n = 2^{p−1}(2^p − 1)$ 

είναι τέλειος. 

Με άλλα λόγια οι Mersenne-πρώτοι και οι άρτιοι τέλειοι είναι σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία. 

Επομένως, το τελευταίο ερώτημα διατυπώνεται ισοδύναμα ως εξής: 

Ερώτημα

Υπάρχουν άπειροι Mersenne-πρώτοι;