📌 Μπορεί ένα πολυώνυμο να παράγει όλους τους πρώτους αριθμούς;
Το 1976, μια ομάδα μαθηματικών από τον Καναδά και την Ιαπωνία, με επικεφαλής τον James P. Jones, ανακάλυψε ένα αξιοσημείωτο πολυώνυμο 26 μεταβλητών που έχει την εξής μοναδική ιδιότητα:
✅ Αν επιτρέψουμε στις 26 μεταβλητές του να παίρνουν τιμές στους μη αρνητικούς ακέραιους, τότε παράγει όλους τους πρώτους αριθμούς.
✅ Κάθε θετικό αποτέλεσμα του πολυωνύμου είναι αναγκαστικά πρώτος αριθμός!
Το πολυώνυμο αυτό προέρχεται από την έρευνα του Julia Robinson και συνδέεται με το Θεώρημα του Matijasevic (1970), το οποίο έδειξε ότι το σύνολο των πρώτων αριθμών είναι διοφαντικό, δηλαδή μπορεί να παρασταθεί ως λύση πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές.
🔍 Γιατί δεν το χρησιμοποιούμε στην πράξη;
Αν και η ύπαρξη αυτού του πολυωνύμου είναι ένα εντυπωσιακό θεωρητικό αποτέλεσμα, δεν είναι πρακτικό για τον υπολογισμό πρώτων αριθμών, γιατί:
🔹 Περιέχει 26 μεταβλητές, κάνοντάς το δύσκολο στη χρήση.
🔹 Παράγει και αρνητικούς αριθμούς, οι οποίοι πρέπει να αγνοηθούν.
🔹 Είναι υπολογιστικά αναποτελεσματικό σε σύγκριση με κλασικές μεθόδους όπως το Κόσκινο του Ερατοσθένη.
Παρόλα αυτά, το πολυώνυμο του Jones αποτελεί μία από τις πιο εντυπωσιακές συνδέσεις μεταξύ αριθμητικής θεωρίας και διοφαντικών εξισώσεων!
📖 Αναφορά:
James P. Jones et al., «Diophantine Representation of the Set of Prime Numbers», American Mathematical Monthly, 83:6 (1976), 449-464.
