Απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος με Αλγεβρική Προσέγγιση

Οι αριθμοί $a,b,$ και $c$ καλούνται πυθαγόρεια τριάδα αν ισχύει $a^2+b^2=c^2$. Έστω $a$ ένας περιττός θετικός ακέραιος και ότι οι $$b=\lfloor \frac{a^2}{2}\rfloor \text{και}c=\lceil {\displaystyle \frac{a^2}{2}}\rceil$$ είναι οι στρογγυλοποιημένες προς τα κάτω και προς τα άνω, αντίστοιχα, ακέραιες τιμές του ${\displaystyle \frac{a^2}{2}}$. 

Δείξτε ότι $a^2+b^2=c^2$.

(Υπόδειξη: Θέστε $a=2n+1$ και εκφράστε τα $b$ και $c$ συναρτήσει του $n$.)

Απέδειξε ο Αϊνστάιν το Πυθαγόρειο Θεώρημα στα 12 του χρόνια;

Υπάρχει ένας δημοφιλής ισχυρισμός ότι ο Άλμπερτ Αϊνστάιν, σε ηλικία $12$ ετών, βρήκε μια νέα απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Αυτή η ιστορία κυκλοφορεί συχνά ως παράδειγμα της μαθηματικής ιδιοφυΐας του μεγάλου φυσικού. Όμως, πόσο αλήθεια είναι;

Η απόδειξη που αποδίδεται στον Αϊνστάιν

Η συγκεκριμένη απόδειξη βασίζεται στη γεωμετρία και είναι οπτικά απλή. Ουσιαστικά, διαχωρίζει ένα τετράγωνο σε τέσσερα όμοια ορθογώνια τρίγωνα και ένα μικρότερο τετράγωνο, οδηγώντας στο γνωστό αποτέλεσμα: $a^2+b^2=c^2$.

Από το Θεώρημα στη Θάλασσα: Το Πυθαγόρειο

Η γραφική πόλη Πυθαγόρειο, φωλιασμένη στο νότιο τμήμα του ελληνικού νησιού της Σάμου, φέρει περήφανα το όνομα του μεγάλου μαθηματικού και φιλοσόφου Πυθαγόρα, ο οποίος γεννήθηκε εδώ πριν από αιώνες.

Στο λιμάνι της πόλης δεσπόζει το επιβλητικό άγαλμα του Πυθαγόρα, ένας φόρος τιμής στον άνθρωπο που χάρισε στον κόσμο το διάσημο Πυθαγόρειο Θεώρημα. Πέρα από την ιστορική της σημασία, η πόλη ξεχωρίζει για τη γοητευτική αρχιτεκτονική της, τα γραφικά σοκάκια και τη μαγευτική θέα στο Αιγαίο.

Το Πυθαγόρειο αποτελεί έναν προορισμό όπου το παρελθόν, ο πολιτισμός και η φυσική ομορφιά συνυπάρχουν αρμονικά, προσφέροντας μια αξέχαστη εμπειρία στον επισκέπτη.

THEOREM OF THE DAY: The Pythagorean Theorem

 Theorem 

Consider a triangle with angles $A,B$ and $C$ and opposite sides $a,b4and$c4, respectively. 

 

If $C={90}^{\circ }$, then 

$c^2=a^2+b^2$.

Click on the image.

Από το Τρίγωνο στο 1.618: Η Χρυσή Τομή Αποκαλύπτεται

Ο Πρόεδρος των ΗΠΑ James A. Garfield και η Απόδειξη του για το Πυθαγόρειο Θεώρημα

Ο James A. Garfield, ο 20ός Πρόεδρος των Ηνωμένων Πολιτειών, είναι γνωστός όχι μόνο για την πολιτική του καριέρα αλλά και για την ενασχόλησή του με τα μαθηματικά πριν αναλάβει το αξίωμα του προέδρου. 

Γεννημένος στις $19$ Νοεμβρίου $1831$ στο Οχάιο, ο Garfield είχε μια πλούσια εκπαιδευτική πορεία, αποφοιτώντας από το Williams College το $1856$ και ασχολούμενος με τη διδασκαλία πριν εισέλθει στην πολιτική.

Πυθαγόρειο Θεώρημα: Από την Αρχαία Ινδία στην Αυστηρή Απόδειξη του Πυθαγόρα

Στην ιστορία των μαθηματικών, το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι ίσως το πιο διάσημο και γνωστό θεώρημα, που αναφέρει τη σχέση μεταξύ των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. 

Σύμφωνα με το θεώρημα, το τετράγωνο της υποτείνουσας (της πλευράς απέναντι από τη γωνία των 90 μοιρών) είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών.

λλά τι θα λέγατε αν σας λέγαμε ότι αυτό το θεώρημα ήταν γνωστό και χρησιμοποιούμενο πολύ πριν από τον Πυθαγόρα;

Sum of Three Squares is a Square

Click on the image.

Οπτικοποίηση του Πυθαγορείου Θεωρήματος

 

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

Η Εξερεύνηση του Πυθαγόρειου Δέντρου: Μια Γεωμετρική Κατασκευή

Το Πυθαγόρειο δέντρο είναι μια γεωμετρική κατασκευή που δημιουργείται μέσω της επαναλαμβανόμενης κατασκευής τετραγώνων στις πλευρές ισοσκελών ορθογωνίων τριγώνων. 

Το αρχικό ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές μήκους $3$, ποιο είναι το εμβαδόν του του $2025$ου τετραγώνου που κατασκευάστηκε στο Πυθαγόρειο δέντρο;

Διαδοχικά μήκη πλευρών

cos²x+sin²x =1

Πυθαγόρειο θεώρημα σε μοναδιαίο κύκλο.

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

Επέκταση του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Με την ονομασία αυτή είναι γνωστό το εξής θεώρημα:

Θεώρημα

Αν κατασκευάσουμε επί των καθέτων πλευρών και της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου όμοια σχήματα, τότε

το άθροισμα των εμβαδών των σχημάτων που είναι πάνω από τις κάθετες είναι ίσο με το εμβαδόν του οχήματος που είναι πάνω από την υποτείνουσα.

Πιθανές τιμές

Ποιες είναι οι πιθανές τιμές του $x$, αν υπάρχουν, για αυτό το ορθογώνιο τρίγωνο;

Λύση

Έχουμε διαδοχικά

$l{n}^{2}3x-l{n}^{2}x=l{n}^{2}x$

$(ln3x-ln2x)(ln3x+ln2x)=ln²x$

Θέτουμε

$lnx=a\Rightarrow x=e^a$

$lnx+e^3=a+e^3$

$lnx+e^2=a+e^2$

οπότε

$(a+e^3-a-e^2)(a+e^3+a+e^2)=a^2$ 

$(e^3-e^2)(2a+e^3+e^2)=a^2$ 

$a^2-a(2e^2(e-1))-e^6+e^4=0$

........

Πυθαγόρειο θεώρημα: a2h+b2h=c2h

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

Η βοήθεια του κοινού

Σε αυτή την περίπτωση το κοινό δεν βοήθησε τον διαγωνιζόμενο.😮

Πυθαγόρειο θεώρημα

2025 κίτρινες τελίτσες

Φανταστικό Πυθαγόρειο Θεώρημα

Πυθαγόρειο θεώρημα: Έξι αποδείξεις