Riemann Sums and Integral

Κάντε κλικ εδώ, για να δείτε το αρχείο Geogebra.

THEOREM OF THE DAY: The Riemann Explicit Formula

Click on the image.

The Riemann Hypothesis, Explained

ΒΙΒΛΙΟ: The Riemann Curvature Through History (pdf)

Click on the image.

The Riemann Hypothesis

Σαν σήμερα, 17 Σεπτεμβίου, πριν από 198 χρόνια γεννήθηκε ο Bernhard Riemann (1826 - 1866)

Βιογραφία: Georg Friedrich Bernhard Riemann

«Those, who love God, all things must serve to its best manner»

Ο Bernhard Riemann υπήρξε ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών. Οι συνεισφορές του εκτείνονται από την Άλγεβρα μέχρι την Ανάλυση, από τη μη Ευκλείδεια Γεωμετρία έως την Τοπολογία. 

Μετά τη λύση του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά, η Υπόθεση του Riemann για την κατανομή των πρώτων αριθμών αποτελεί το τελευταίο μεγάλο ανοιχτό μαθηματικό πρόβλημα του 19ου αιώνα.

Bernhard Riemann: «Τα ολοκληρώματα είναι σαν την ποίηση, μερικές φορές»

ζΓ Relation

Riemann zeta function

The Basel Problem

Theorem 

$\zeta (2) = \sum_{n \mathop = 1}^\infty {\dfrac 1 {n^2} } = \dfrac {\pi^2} 6$

where $\zeta$ denotes the Riemann zeta function.

Proof

By Fourier Series of $x^2$, for $x \in ({-\pi}.. \pi)$: 

$ x^2 = \dfrac {\pi^2} 3 + \sum_{n \mathop = 1}^\infty [{({-1})^n \dfrac 4 {n^2} \cos n x}]$

Letting $x \to \pi$ from the left:

\(\pi^2\) \(=\) \(\dfrac {\pi^2} 3 + \sum_{n \mathop = 1}^\infty [{({-1})^n \dfrac 4 {n^2} \cos \pi x}\)]

\(\pi^2\) \(=\) \(\dfrac {\pi^2} 3 + \sum_{n \mathop = 1}^\infty [{({-1})^n ({-1})^n \dfrac 4 {n^2} }\)] Cosine of Multiple of $\pi$

\(\pi^2\) \(=\) \(\dfrac {\pi^2} 3 + 4 \sum_{n \mathop = 1}^\infty \dfrac 1 {n^2}\)

\(\leadsto \ \ \) \(\dfrac {2 \pi^2} 3\) \(=\) \(4 \sum_{n \mathop = 1}^\infty \dfrac 1 {n^2}\)

\(\leadsto \ \ \) \(\sum_{n \mathop = 1}^\infty \dfrac 1 {n^2}\) \(=\) \(\dfrac {\pi^2} 6\)

$\blacksquare$.

From WikiProof

Riemann’s Novel Lecture that Changed the Course of Geometry

That later set the stage for Einstein’s 

general theory of relativity

Albert Einstein revolutionized the early conceptions of gravity in 1915 when he presented a theory of general relativity which was based primarily on the fact that mass and energy warp the fabric of four-dimensional spacetime.

The credit for its underlying geometric or mathematical formulation goes to a mathematician named Georg Friedrich Bernhard Riemann who constructed a class of geometry (or elliptic geometry) that dealt with higher dimensions and hypersurfaces unlike Euclidean geometry (or flat geometry).

Bernhard Riemann (1826–1866) was a German mathematician who studied and served at the University of Göttingen. At Göttingen, he found a great teacher, Carl Friedrich Gauss (1777–1855), famous for his works in a wide range of areas in mathematics.

Source: cantorsparadise

This Result Keeps Me Up At Night

The series of the Riemann zeta function is equal to the Euler product

Lecture 1 | Introduction to Riemannian geometry, curvature and Ricci flow | John W. Morgan

Η Γεωμετρία του Riemann

Riemann Zeta Function

Riemann hypothesis asserts that all nontrivial zeros of the Riemann zeta function have real part $1/2$.

G. F. Bernhard Riemann: Επηρέασε περισσότερο από κάθε άλλον την πορεία των σύγχρονων Μαθηματικών

Ο Γκεόργκ Φρίντριχ Μπέρναρντ Ρίμαν (Georg Friedrich Bernhard Riemann, 17 Σεπτεμβρίου 1826 – 20 Ιουλίου 1866) ήταν Γερμανός μαθηματικός που συνεισέφερε σημαντικά στη Μαθηματική Ανάλυση, την Τοπολογία, την Αναλυτική Θεωρία των αριθμών και την 

Διαφορική γεωμετρία, προωθώντας τη μη ευκλείδεια γεωμετρία και ανοίγοντας έτσι τον δρόμο μεταξύ άλλων και για τη θεμελίωση αργότερα της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας. Κατά τον D. Struik «με τον Ρίμαν φτάνουμε στον άνθρωπο που επηρέασε περισσότερο από κάθε άλλον την πορεία των σύγχρονων Μαθηματικών».

Riemann Sum

Riemann Sum

Riemann Sum

Riemann sum

Η Γεωμετρία του Riemann και ο παράξενος κόσμος του θείου Αλβέρτου (2 βίντεο)