Τα Τρία Καπέλα: Ένας Γρίφος Λογικής

Τρία άτομα φοράνε είτε ένα κόκκινο καπέλο είτε ένα μπλε καπέλο. Κανένα δεν γνωρίζει το χρώμα του δικού του καπέλου, αλλά μπορεί να δει το χρώμα των καπέλων των άλλων δύο.

Κάθε άτομο πρέπει να σηκώσει το χέρι του αν δει τουλάχιστον ένα κόκκινο καπέλο σε κάποιον άλλο. Ο πρώτος που θα μαντέψει σωστά το χρώμα του δικού του καπέλου κερδίζει.

Και οι τρεις σηκώνουν τα χέρια τους, δείχνοντας ότι βλέπουν τουλάχιστον ένα κόκκινο καπέλο. Μετά από λίγη σκέψη, ένας από αυτούς λέει: «Το καπέλο μου είναι κόκκινο.»

Πώς το κατάλαβε;

Το Παζλ των Ευγενών και Κυνηγών: Ποιος Λέει την Αλήθεια;

Ο φιλόσοφος Νέλσον Γκούντμαν δημοσίευσε αυτό το παζλ ανώνυμα στη Boston Post το $1931$, όταν ήταν $24$ ετών. Αργότερα το χαρακτήρισε «το πιο δημοφιλές και διαδεδομένο από όλα τα γραπτά μου».

Όλοι οι άνδρες μιας συγκεκριμένης χώρας είναι είτε ευγενείς είτε κυνηγοί, και κανείς δεν είναι και ευγενής και κυνηγός. Οι κάτοικοι της χώρας μοιάζουν πολύ μεταξύ τους, αλλά υπάρχει μια σημαντική διαφορά: οι ευγενείς ποτέ δεν λένε ψέματα, ενώ οι κυνηγοί ποτέ δεν λένε την αλήθεια.

Ψάχνω στα τυφλά

Θέλετε να ετοιμάσετε τα πράγματά σας για μια μεταμεσονύκτια πτήση και έχει κοπεί το ρεύμα στο σπίτι σας. 

Η ντουλάπα σας περιέχει έξι ζευγάρια παπούτσια, έξι μαύρες κάλτσες, έξι γκρι κάλτσες, έξι ζευγάρια καφέ γάντια και έξι ζευγάρια μαύρα γάντια, αλλά είναι πολύ σκοτείνα για να διακρίνεις χρώματα ή να δεις τα παπούτσια. 

Πόσα από κάθε αντικείμενο πρέπει να πάρετε για να είστε σίγουροι ότι έχετε ένα ταιριαστό ζευγάρι παπούτσια, δύο κάλτσες του ίδιου χρώματος και ένα ζευγάρι ασορτί γάντια;

Αμφισβήτησε τον καθηγητή του !

Όταν ο Raymond Smullyan δίδασκε πιθανότητες στο Princeton, ανέφερε στην τάξη το γνωστό "παράδοξο των γενεθλίων". Εξήγησε ότι αν βρίσκονται $23$ άτομα σε ένα δωμάτιο, η πιθανότητα τουλάχιστον δύο από αυτά να έχουν τα ίδια γενέθλια είναι μεγαλύτερη από $50\%$. 

Όμως, στη συγκεκριμένη τάξη υπήρχαν μόνο $19$ μαθητές, οπότε ο Smullyan είπε ότι η πιθανότητα δύο άτομα να μοιράζονται την ίδια ημερομηνία γενεθλίων ήταν αρκετά μικρή.

Ένας μαθητής σηκώθηκε και είπε:

Παρατηρητές στο διάστημα

Σε ένα συγκεκριμένο πλανητικό σύστημα, δεν υπάρχουν δύο πλανήτες που να χωρίζονται από την ίδια απόσταση. Σε κάθε πλανήτη κάθεται ένας αστρονόμος που παρατηρεί τον πλανήτη που βρίσκεται πιο κοντά στον δικό του. 

Αποδείξτε ότι αν ο συνολικός αριθμός των πλανητών είναι μονός αριθμός, πρέπει να υπάρχει ένας πλανήτης που κανείς δεν παρατηρεί.

Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία: Ένα πρόβλημα Μαθηματικών Ολυμπιάδων [2]

Ο Ανδρέας παίζει μόνος του το εξής παιγνίδι: Αρχικά έχει δέκα στοίβες με $1, 2, 3, . . . , 9$ και $10$ νομίσματα αντίστοιχα. 

Σε κάθε κίνηση ο Ανδρέας κάνει μία από τις παρακάτω πράξεις: 

(α) Επιλέγει δύο στοίβες με τουλάχιστον δύο νομίσματα η καθεμία, τις ενώνει σε μία στοίβα και προσθέτει σε αυτή ακόμη δύο νομίσματα. 

Οκτώ και μηδενικά

Στον πίνακα γράφονται όλοι οι $8$ψήφιοι αριθμοί που είναι πολλαπλάσια του $15$ και αποτελούνται αποκλειστικά από τα ψηφία $0$ και $8$. 

Το πρώτο ψηφίο (στα αριστερά) δεν μπορεί να είναι $0$. Πόσοι αριθμοί είναι γραμμένοι στον πίνακα.

Θεώρημα τεσσάρων χρωμάτων

Αυτός ο χάρτης μπορεί να προσελκύσει τους μαθηματικούς. Χρησιμοποιεί περισσότερα από $4$ χρώματα για να διακρίνει τις διάφορες περιοχές.

Στα μαθηματικά, το θεώρημα των $4$ χρωμάτων δηλώνει ότι δεν απαιτούνται περισσότερα από τέσσερα χρώματα για να χρωματιστούν οι περιοχές οποιουδήποτε χάρτη, έτσι ώστε καμία από τις δύο γειτονικές περιοχές να μην έχει το ίδιο χρώμα.

Διαβάστε περισσότερα εδώ.

Εννέα ζάρια

Διαθέτουμε εννέα ζάρια: τέσσερα κίτρινα, τρία μπλε και δύο κόκκινα. Τα ζάρια κάθε χρώματος είναι πανομοιότυπα μεταξύ τους (δεν διακρίνονται). Θέλουμε να τοποθετήσουμε τα ζάρια στη σειρά, ώστε όλα τα ζάρια του ίδιου χρώματος να είναι συνεχόμενα.

Ερώτηση:

Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε τα ζάρια, λαμβάνοντας υπόψη μόνο τα χρώματά τους;

Real Madrid vs. Manchester United: Can You Solve the Prediction Puzzle?

Διαγώνιος & Κελιά

Πόσα τετραγωνάκια (κελιά) διαστάσεων $1 \times 1$ τέμνει μία διαγώνιος ενός πίνακα διαστάσεων $199\times 991$;

Ευχετήριες κάρτες

Σε μία σχολική τάξη είναι εγγεγραμμένοι $19$ μαθητές. Για τα Χριστούγεννα, κάθε ένα από τα αγόρια έστειλε μια ευχετήρια κάρτα σε κάποια κορίτσια από την τάξη (τουλάχιστον ένα). 

Αποδείχθηκε ότι κάθε δύο αγόρια έστειλαν διαφορετικό αριθμό καρτών. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός αγοριών που θα μπορούσε να είναι στην τάξη;

Quantum / O. Yuzhakov

Θεώρημα Bayes με διαγράμματα Venn

$100$ ζάρια

Ξεκινήστε με $100$ ζάρια. Ρίξτε τα και αφαιρέστε όλα τα εξάρια. Επαναλάβετε μέχρι να μείνουν $25$ ή λιγότερα ζάρια. 

Πόσοι γύροι θα χρειαστούν;

Για περισσότερα κάντε κλικ στον παρακάτω σύνδεσμο: 

Modeling Exponential Functions - Polypad Pointers

Μία σχολική βραδιά

Ένα βράδυ, περισσότεροι από το $\dfrac{1}{3}$ των μαθητών σε ένα σχολείο πηγαίνουν σινεμά. 

Το ίδιο βράδυ, περισσότεροι από τα $\dfrac{3}{10}$ πάνε στο θέατρο και περισσότερο από τα $\dfrac{4}{11}$ πάνε σε μια συναυλία.

Ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός αριθμός μαθητών στο σχολείο;

10 σκαλοπάτια

Κάθε φορά που επιστρέφω σπίτι πρέπει να ανεβαίνω μια σκάλα. Όταν δεν είμαι πολύ κουρασμένος ανεβαίνω δύο-δύο τα σκαλιά. 

Άλλες φορές έχω άλλο ρυθμό π.χ. 

$2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2$.

Με πόσους τρόπους θα μπορούσε να ανεβεί κανείς αυτά τα δέκα σκαλιά;

16 fun Applications of the Pigeonhole Principle

Mathematical logic can produce some great trivia. Did you know that at every instant, there is a spot in the world where no wind is blowing? It is true, and the proof comes as an application of a fixed point theorem which I discussed a year ago.

This article continues the Thanksgiving tradition of discussing math trivia. These 16 fun tidbits cover topics as disconnected as birthdays, haircuts, WordPress blogs, and cocktail parties. Amazingly, all the results come out of a basic insight from stuffing pigeons into pigeonholes.

The pigeonhole principle

The pigeonhole principle is a powerful tool used in combinatorial math. But the idea is simple and can be explained by the following peculiar problem.

Read more »

$27$ μικροί κύβοι

Αν έχετε $27$ μικρούς κύβους, $3$ από κάθε ένα από τα εννέα χρώματα, μπορείτε να σχηματίσετε έναν κύβο $3 \times 3 \times 3$ έτσι, ώστε κάθε έδρα του μεγαλύτερου κύβου να περιέχει ένα από κάθε χρώμα;

Οκτώ οπές

Υπάρχουν $8$ οπές που βρίσκονται σε κορυφές ενός οκτάγωνου (με την ένδειξη $1$ έως $8$) και έχετε $8$ ίδιες μπάλες. Κάθε τρύπα μπορεί να χωρέσει είτε μία μπάλα είτε μπορεί να είναι άδεια. Εάν υπάρχουν δύο κενές γειτονικές τρύπες, τότε επιτρέπεται να βάλετε δύο μπάλες σε αυτές τις τρύπες. 

Εάν υπάρχουν δύο γειτονικές τρύπες με μπάλες, τότε επιτρέπεται να αφαιρέσετε αυτές τις δύο μπάλες. Όταν και οι $8$ οπές είναι αρχικά κενές και συνεχίζετε να εκτελείτε αυτές τις επιτρεπόμενες ενέργειες, ποιος είναι ο συνολικός αριθμός των διαμορφώσεων που μπορούν να βρεθούν; 

Ορισμένες πιθανές διαμορφώσεις φαίνονται στην πιο πάνω σχήμα.

Eötvös-Kürschák Mathematical Competitions - PROBLEMS (1894 - 2003)

Κάντε κλικ εδώ.