Πόρτες, Καπέλα και Αυτοκίνητα: Η Στρατηγική για Νίκη

Υπάρχουν τρεις πόρτες, αριθμημένες $1, 2$ και $3$. Πίσω από κάθε πόρτα βρίσκεται ένα αυτοκίνητο: κόκκινο, μπλε ή πράσινο, τοποθετημένα τυχαία.

Υπάρχουν τρεις διαγωνιζόμενοι, ο καθένας με ένα καπέλο σε διαφορετικό χρώμα: κόκκινο, μπλε και πράσινο.

Κάθε παίκτης μπορεί να ανοίξει δύο πόρτες, μία κάθε φορά. Αν ένας παίκτης δει το αυτοκίνητο του ίδιου χρώματος με το καπέλο του, τότε όλοι οι παίκτες κερδίζουν αυτοκίνητα. Αν, όμως, τουλάχιστον ένας παίκτης δεν δει το αυτοκίνητο του δικού του χρώματος, όλοι χάνουν.

Ο Μεγαλύτερος Αριθμός McNuggets που Δεν Μπορείτε να Παραγγείλετε

Στα McDonald's μπορείτε να παραγγείλετε Chicken McNuggets σε κουτιά των $6, 9$ και $20$ τεμαχίων.

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός τεμαχίων που δεν μπορείτε να παραγγείλετε, ανεξάρτητα από τον συνδυασμό κουτιών που θα επιλέξετε;

Το Παράδοξο του de Méré: Η Γέννηση της Θεωρίας Πιθανοτήτων

Το Πρόβλημα του de Méré

Ο de Méré, γνωστός τζογαδόρος της εποχής του, παρατήρησε δύο σενάρια παιχνιδιών με ζάρια και προσπάθησε να υπολογίσει τις πιθανότητες επιτυχίας τους βασισμένος σε μια απλοϊκή λογική. Τα δύο σενάρια ήταν:

Πρώτο Σενάριο: Ρίχνεις ένα ζάρι $4$ φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρεις τουλάχιστον μία φορά το $6$;

Δεύτερο Σενάριο: Ρίχνεις δύο ζάρια $24$ φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρεις τουλάχιστον μία φορά διπλό $6$ (δηλαδή $6$ και στα δύο ζάρια ταυτόχρονα);

Ο de Méré έκανε έναν υπολογισμό που βασιζόταν σε αναλογίες και θεώρησε ότι οι δύο πιθανότητες θα ήταν ίσες. 

Ας δούμε τη λογική του:

Πόσοι Συνδυασμοί Επιτροπών Υπάρχουν; Ένα Μαθηματικό Λάθος

Σε ένα δικαστήριο υπάρχει ένα σύνολο $45$ δικαστών. Για να εξετάσουν μια υπόθεση, επιλέγεται τυχαία μια τριμελής επιτροπή.

Κάποιος ισχυρίζεται ότι υπάρχουν $3.000$ διαφορετικοί συνδυασμοί για τη συγκρότηση μιας τέτοιας επιτροπής. Όμως, αυτός ο υπολογισμός είναι λανθασμένος.

Βοηθήστε να εντοπιστεί το λάθος απαντώντας στις εξής ερωτήσεις:

Ο Ταξιδιώτης Πωλητής και το Δίλημμα των Διαδρομών

Ο Henry Ernest Dudeney συγκαταλέγεται στους σημαντικότερους δημιουργούς γρίφων όλων των εποχών. Γεννήθηκε στο Mayfield της Αγγλίας το 1857, γιος ενός δασκάλου του χωριού, και πέθανε το 1930. Για δεκαετίες, σχεδίαζε γρίφους για εφημερίδες και περιοδικά, ενώ αργότερα συγκέντρωσε τους περισσότερους σε βιβλία. Αυτός ο γρίφος προέρχεται από το βιβλίο του Amusements in Mathematics (1917).

Ένας ταξιδιώτης πωλητής, που ζει στην πόλη $Α$, θέλει να επισκεφθεί όλες τις πόλεις από $Β$ έως $Ρ$ μέσα σε μία εβδομάδα, αν και όχι απαραίτητα με αλφαβητική σειρά, και να επιστρέψει στην πόλη $Α$ στο τέλος. Σχεδιάζει να εισέλθει σε κάθε πόλη ακριβώς μία φορά. Οι κόκκινες γραμμές είναι οι μοναδικοί δρόμοι που συνδέουν τις $16$ πόλεις. 

Ο ταξιδιώτης πωλητής μπορεί να ακολουθήσει μόνο ευθείες διαδρομές μεταξύ δύο πόλεων, χωρίς να στρίβει σε διασταυρώσεις δρόμων. Πόσες διαφορετικές διαδρομές είναι δυνατές;

ΒΙΒΛΙΟ: Problems in Probability Theory, Mathematical Statistics, and Theory of Random Functions (pdf)

Click on the image.

Μπορείτε να Ολοκληρώσετε τον Γύρο; Ένα Πρόβλημα με Καύσιμα και Στρατηγική

Βρίσκεστε σε μια κυκλική πίστα αγώνων μονής κατεύθυνσης, όπου υπάρχουν $N$ δοχεία καυσίμου τοποθετημένα σε διάφορες θέσεις κατά μήκος της διαδρομής. 

Το συνολικό καύσιμο που περιέχουν τα δοχεία είναι ακριβώς αρκετό για να ολοκληρώσει το αυτοκίνητό σας έναν πλήρη γύρο. Αρχικά, το ρεζερβουάρ του αυτοκινήτου σας είναι άδειο, αλλά μπορείτε να επιλέξετε οποιοδήποτε σημείο της πίστας ως αφετηρία και να συλλέγετε καύσιμο από τα δοχεία καθώς κινείστε.

Ερώτημα:

Μπορείτε πάντα να βρείτε μια αρχική θέση από την οποία το αυτοκίνητό σας θα καταφέρει να ολοκληρώσει ολόκληρο τον γύρο χωρίς να ξεμείνει από καύσιμο;

Hockey Stick Identity από το Τρίγωνο του Πασκάλ

Η ταυτότητα αυτή εκφράζεται μαθηματικά ως εξής: \[ \sum_{i=0}^r \binom{n+i}{i} = \binom{n+r+1}{r} \] Αυτή η ταυτότητα λέει ότι το άθροισμα των διωνυμικών συντελεστών από $\dbinom{n}{0}$ έως $\dbinom{n+r}{r}$ είναι ίσο με τον διωνυμικό συντελεστή $\dbinom{n+r+1}{r}$. 

 

Το όνομα "Hockey Stick" προέρχεται από το σχήμα που δημιουργείται όταν απεικονίζεται αυτή η σχέση στο Τρίγωνο του Πασκάλ, το οποίο μοιάζει με το σχήμα ενός ραβδιού χόκεϊ. 

Ζεύγος Langford: Πρόκληση Τοποθέτησης Μπλοκ

Σας δίνονται οκτώ μπλοκ, αριθμημένα από το $1$ έως το $4$, με δύο μπλοκ για κάθε αριθμό (δηλαδή, δύο "1", δύο "2", δύο "3" και δύο "4"). 

Τοποθετήστε αυτά τα μπλοκ σε οκτώ διαδοχικά πλαίσια, τηρώντας τις εξής συνθήκες:

• Τα δύο μπλοκ με τον αριθμό "1" πρέπει να χωρίζονται από ακριβώς ένα άλλο μπλοκ.
• Τα δύο μπλοκ με τον αριθμό "2" πρέπει να χωρίζονται από ακριβώς δύο άλλα μπλοκ.
• Τα δύο μπλοκ με τον αριθμό "3" πρέπει να χωρίζονται από ακριβώς τρία άλλα μπλοκ.

Μαθηματικά Μυστήρια: Γιατί 0 ! = 1 ;

Απόδειξη 

Ο ορσμός του παραγοντικού είναι: \[ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1 \]

Από την αναδρομική σχέση: \[ n! = n \times (n-1)! \] για \( n = 1 \) έχουμε: \[ 1! = 1 \times 0! \] Γνωρίζουμε ότι \( 1! = 1 \), επομένως: \[ 1 = 1 \times 0! \] άρα \[ 0! = 1 \]

Πόσα Ζώα Υπάρχουν στον Ζωολογικό Κήπο;

Σε ένα ζωολογικό κήπο, κάθε ζώο χαϊδεύεται από ακριβώς τρεις επισκέπτες. Κάθε ζευγάρι ζώων χαϊδεύεται από ακριβώς έναν επισκέπτη, και κανένας επισκέπτης δεν χαϊδεύει όλα τα ζώα. 

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός ζώων στον ζωολογικό κήπο;

Γινόμενο Μηκών Χορδών σε Κύκλο: Μια Εντυπωσιακή Ιδιότητα

Εάν επιλέξετε $n>1$ σημεία σε ίση απόσταση τοποθετημένα πάνω σε έναν μοναδιαίο κύκλο και συνδέσετε ένα από αυτά με όλα τα υπόλοιπα σημεία, τότε το γινόμενο των μηκών των χορδών που σχηματίζονται ισούται με $n$.

Click on the image.

Θα Πάρει ο Τελευταίος Μαθητής το Δικό του Κουτί;

Υπάρχουν $100$ κουτιά που έχουν αντιστοιχιστεί σε $100$ μαθητές, οι οποίοι στέκονται στη σειρά για να τα παραλάβουν.Οι δύο πρώτοι μαθητές παίρνουν ο καθένας ένα τυχαίο κουτί.

Κάθε άλλος μαθητής παίρνει το κουτί που του έχει αντιστοιχιστεί, εάν είναι διαθέσιμο, διαφορετικά παίρνει ένα τυχαίο κουτί.

Ποια είναι η πιθανότητα ο τελευταίος μαθητής να πάρει το κουτί που του έχει αντιστοιχιστεί;

Η Διάταξη της Άτρακτου Moser: Επτά Σημεία σε Απόσταση Μονάδας

Η τοποθέτηση επτά σημείων σε ένα επίπεδο έτσι ώστε κάθε τριάδα να περιλαμβάνει τουλάχιστον ένα ζεύγος σημείων που απέχουν ακριβώς μία μονάδα, είναι γνωστή ως η διάταξη της άτρακτου Moser. Πρόκειται για ένα γράφημα με επτά κορυφές και έντεκα ακμές, όπου όλες οι ακμές έχουν μήκος μονάδας.

Αυτό το γράφημα σχηματίζεται από δύο ρόμβους με γωνίες $60°$ και $120°$, οι οποίοι τοποθετούνται έτσι ώστε να μοιράζονται μία από τις οξείες γωνίες τους. Οι πλευρές και οι μικρές διαγώνιοι των ρόμβων σχηματίζουν ισόπλευρα τρίγωνα, ενώ οι δύο εναπομείνασες οξείες γωνίες απέχουν μεταξύ τους μία μονάδα. 

Αυτή η διάταξη εξασφαλίζει ότι για οποιαδήποτε επιλογή τριών σημείων, τουλάχιστον δύο από αυτά θα έχουν απόσταση μονάδας.

Πουλιά και Κεραίες στην Ταράτσα

Πολλά πουλιά φτάνουν στην ταράτσα ενός κτιρίου όπου υπάρχει ένας συγκεκριμένος αριθμός κεραιών. Αν ένα μόνο πουλί προσγειωθεί σε κάθε κεραία, υπάρχουν ακόμα $n$ πουλιά που πετούν.

Αν $n$ πουλιά προσγειωθούν σε κάθε κεραία, τότε $n$ κεραίες παραμένουν άδειες. 

Βρείτε τον αριθμό των κεραιών στην οροφή.

Μαθηματική Πρόκληση: Οι Σφαίρες κατά Σειρά

Σε μια κλήρωση λοταρίας, μία μεγάλη γυάλινη σφαίρα περιέχει $49$ μπάλες, αριθμημένες από το $1$ έως το $49$. Σε κάθε περιστροφή της σφαίρας βγαίνει μία μπάλα και ο αριθμός της καταγράφεται και χωρίς επανατοποθέτηση στην επόμενη περιστροφή βγαίνει η δεύτερη μπάλα κ.ο.κ.

Ερώτηση:

Ποια είναι η πιθανότητα οι 6 σφαίρες να κληρωθούν σε αύξουσα σειρά; Δηλαδή, η πρώτη σφαίρα να είναι η μικρότερη, η δεύτερη να είναι μεγαλύτερη από την πρώτη, η τρίτη να είναι μεγαλύτερη από τη δεύτερη, και ούτω καθεξής, έτσι ώστε να σχηματίζεται μια αυστηρά αύξουσα ακολουθία.

Η Βαβέλ των Γλωσσών

Από τους $1985$ συμμετέχοντες σε μία διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα, κανένας δεν μιλάει περισσότερες από πέντε γλώσσες. 

Επιπλέον, για οποιοδήποτε υποσύνολο τριών συμμετεχόντων, τουλάχιστον δύο από αυτούς μιλούν μία κοινή γλώσσα. Αποδείξτε ότι υπάρχει τουλάχιστον μία γλώσσα που ομιλείται από $200$ ή περισσότερους συμμετέχοντες.

2η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1985

Τα Τρία Καπέλα: Ένας Γρίφος Λογικής

Τρία άτομα φοράνε είτε ένα κόκκινο καπέλο είτε ένα μπλε καπέλο. Κανένα δεν γνωρίζει το χρώμα του δικού του καπέλου, αλλά μπορεί να δει το χρώμα των καπέλων των άλλων δύο.

Κάθε άτομο πρέπει να σηκώσει το χέρι του αν δει τουλάχιστον ένα κόκκινο καπέλο σε κάποιον άλλο. Ο πρώτος που θα μαντέψει σωστά το χρώμα του δικού του καπέλου κερδίζει.

Και οι τρεις σηκώνουν τα χέρια τους, δείχνοντας ότι βλέπουν τουλάχιστον ένα κόκκινο καπέλο. Μετά από λίγη σκέψη, ένας από αυτούς λέει: «Το καπέλο μου είναι κόκκινο.»

Πώς το κατάλαβε;

Το Παζλ των Ευγενών και Κυνηγών: Ποιος Λέει την Αλήθεια;

Ο φιλόσοφος Νέλσον Γκούντμαν δημοσίευσε αυτό το παζλ ανώνυμα στη Boston Post το $1931$, όταν ήταν $24$ ετών. Αργότερα το χαρακτήρισε «το πιο δημοφιλές και διαδεδομένο από όλα τα γραπτά μου».

Όλοι οι άνδρες μιας συγκεκριμένης χώρας είναι είτε ευγενείς είτε κυνηγοί, και κανείς δεν είναι και ευγενής και κυνηγός. Οι κάτοικοι της χώρας μοιάζουν πολύ μεταξύ τους, αλλά υπάρχει μια σημαντική διαφορά: οι ευγενείς ποτέ δεν λένε ψέματα, ενώ οι κυνηγοί ποτέ δεν λένε την αλήθεια.

Ψάχνω στα τυφλά

Θέλετε να ετοιμάσετε τα πράγματά σας για μια μεταμεσονύκτια πτήση και έχει κοπεί το ρεύμα στο σπίτι σας. 

Η ντουλάπα σας περιέχει έξι ζευγάρια παπούτσια, έξι μαύρες κάλτσες, έξι γκρι κάλτσες, έξι ζευγάρια καφέ γάντια και έξι ζευγάρια μαύρα γάντια, αλλά είναι πολύ σκοτείνα για να διακρίνεις χρώματα ή να δεις τα παπούτσια. 

Πόσα από κάθε αντικείμενο πρέπει να πάρετε για να είστε σίγουροι ότι έχετε ένα ταιριαστό ζευγάρι παπούτσια, δύο κάλτσες του ίδιου χρώματος και ένα ζευγάρι ασορτί γάντια;