Θεώρημα Bayes με διαγράμματα Venn

$100$ ζάρια

Ξεκινήστε με $100$ ζάρια. Ρίξτε τα και αφαιρέστε όλα τα εξάρια. Επαναλάβετε μέχρι να μείνουν $25$ ή λιγότερα ζάρια. 

Πόσοι γύροι θα χρειαστούν;

Για περισσότερα κάντε κλικ στον παρακάτω σύνδεσμο: 

Modeling Exponential Functions - Polypad Pointers

Μία σχολική βραδιά

Ένα βράδυ, περισσότεροι από το $\dfrac{1}{3}$ των μαθητών σε ένα σχολείο πηγαίνουν σινεμά. 

Το ίδιο βράδυ, περισσότεροι από τα $\dfrac{3}{10}$ πάνε στο θέατρο και περισσότερο από τα $\dfrac{4}{11}$ πάνε σε μια συναυλία.

Ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός αριθμός μαθητών στο σχολείο;

10 σκαλοπάτια

Κάθε φορά που επιστρέφω σπίτι πρέπει να ανεβαίνω μια σκάλα. Όταν δεν είμαι πολύ κουρασμένος ανεβαίνω δύο-δύο τα σκαλιά. 

Άλλες φορές έχω άλλο ρυθμό π.χ. 

$2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2$.

Με πόσους τρόπους θα μπορούσε να ανεβεί κανείς αυτά τα δέκα σκαλιά;

16 fun Applications of the Pigeonhole Principle

Mathematical logic can produce some great trivia. Did you know that at every instant, there is a spot in the world where no wind is blowing? It is true, and the proof comes as an application of a fixed point theorem which I discussed a year ago.

This article continues the Thanksgiving tradition of discussing math trivia. These 16 fun tidbits cover topics as disconnected as birthdays, haircuts, WordPress blogs, and cocktail parties. Amazingly, all the results come out of a basic insight from stuffing pigeons into pigeonholes.

The pigeonhole principle

The pigeonhole principle is a powerful tool used in combinatorial math. But the idea is simple and can be explained by the following peculiar problem.

Read more »

$27$ μικροί κύβοι

Αν έχετε $27$ μικρούς κύβους, $3$ από κάθε ένα από τα εννέα χρώματα, μπορείτε να σχηματίσετε έναν κύβο $3 \times 3 \times 3$ έτσι, ώστε κάθε έδρα του μεγαλύτερου κύβου να περιέχει ένα από κάθε χρώμα;

Οκτώ οπές

Υπάρχουν $8$ οπές που βρίσκονται σε κορυφές ενός οκτάγωνου (με την ένδειξη $1$ έως $8$) και έχετε $8$ ίδιες μπάλες. Κάθε τρύπα μπορεί να χωρέσει είτε μία μπάλα είτε μπορεί να είναι άδεια. Εάν υπάρχουν δύο κενές γειτονικές τρύπες, τότε επιτρέπεται να βάλετε δύο μπάλες σε αυτές τις τρύπες. 

Εάν υπάρχουν δύο γειτονικές τρύπες με μπάλες, τότε επιτρέπεται να αφαιρέσετε αυτές τις δύο μπάλες. Όταν και οι $8$ οπές είναι αρχικά κενές και συνεχίζετε να εκτελείτε αυτές τις επιτρεπόμενες ενέργειες, ποιος είναι ο συνολικός αριθμός των διαμορφώσεων που μπορούν να βρεθούν; 

Ορισμένες πιθανές διαμορφώσεις φαίνονται στην πιο πάνω σχήμα.

Eötvös-Kürschák Mathematical Competitions - PROBLEMS (1894 - 2003)

Κάντε κλικ εδώ.

Αυστηρά αυξανόμενοι

Ξεκινώντας από αριστερά προς τα δεξιά σε έναν αριθμό, εάν το επόμενο ψηφίο είναι μεγαλύτερο αριθμητικά από το προηγούμενο ψηφίο, λέμε ότι τα ψηφία αυξάνονται αυστηρά. 

Οι αριθμοί $15689$, $35679$ και $13478$ είναι παραδείγματα $5$ψήφιων αριθμών με αυτήν την ιδιότητα. Δεδομένου ότι ένας αριθμός έχει αυστηρά αυξανόμενα ψηφία, ποια είναι η πιθανότητα να περιέχει πέντε ψηφία;

Maths in a minute: Combinatorics

How likely are you to win the lottery?

In the UK lottery you have to choose 6 numbers out of $49$, and for a chance at the jackpot you need all of your $6$ numbers to come up in the main draw. So the question is really how many possible combinations of 6 numbers can be drawn out of $49$?

There are $49$ possibilities for the first number, $48$ for the second, and so on, to $44$ possibilities for the sixth number, so there are $49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44 = 10068347520$ ways of choosing those six numbers... in that order.

Το πρόβλημα του Sousselier

Φαίνεται ότι υπήρχε μια λέσχη και ο πρόεδρος αποφάσισε ότι θα ήταν ωραίο να διοργανώσει ένα δείπνο για όλα τα μέλη. Προκειμένου να μην δοθεί προβολή σε κανένα μέλος, ο πρόεδρος θεώρησε ότι έπρεπε να καθίσουν σε ένα στρογγυλό τραπέζι.

Όμως σε αυτό το στάδιο αντιμετώπισε κάποια προβλήματα. Φαίνεται ότι ο σύλλογος δεν ήταν τόσο φιλικός, μια μικρή ομάδα. Στην πραγματικότητα, κάθε μέλος είχε μόνο λίγους φίλους μέσα στο κλαμπ και μισούσε θετικά όλους τους υπόλοιπους. 

Ξεχασμένο password

Ένας ξεχασιάρης μαθηματικός προσπαθεί να βρει τον εξαψήφιο κωδικό πρόσβασης της οθόνης του υπολογιστή του. Θυμάται ότι ο κωδικός πρόσβασης περιλαμβάνει, με κάποια σειρά, τα ψηφία $1, 2$ και $3$ δύο φορές το καθένα.

Επιπλέον, θυμάται ότι κανένα διαδοχικό ζεύγος ψηφίων δεν είναι το ίδιο. Με βάση τα δεδομένα αυτά, ποια είναι η πιθανότητα, αν πληκτρολογήσει τυχαία έναν αριθμό να είναι πετυχημένη η επιλογή του;

Επί σκηνής

Η Mυρσίνη τραγουδάει σε μια ομάδα με άλλα πέντε άτομα. Σε μια παράσταση πρέπει να σταθεί δίπλα στον Τηλέμαχο. Επιπλέον, δεν μπορεί να σταθεί δίπλα στην Μαρίνα.

Ο Άνθιμος πρέπει να σταθεί στη μία άκρη της ομάδας των έξι. Καθώς το κοινό βλέπει την ομάδα στην σκηνή, σε πόσες διαφορετικές ρυθμίσεις μπορεί να σταθεί η ομάδα;

The Binomial and Trinomial Theorem

Binomial Theorem

Trinomial Theorem

Η Αγάπη πάντα νικά

Η Κλεονίκη γράφει στον πίνακα $± ± ± ± ± ±$, εναλλάσσοντας $±$ και κενά τετραγωνάκια. Δύο παίκτες, η Αγάπη και ο Βλάσης παίζουν εναλλάξ. Σε κάθε γύρο, ο παίκτης επιλέγει ένα κενό τετράγωνο και μετά γράφει εκεί έναν φυσικό αριθμό. Αρχίζει ο Βλάσης. 

Αφού η Αγάπη γράψει τον έκτο και τελευταίο αριθμό, ο Βλάσης σβήνει ένα από τα δύο πρόσημα μπροστά από καθέναν από τους έξι αριθμούς.

Η Κλεονίκη, εκτός παιχνιδιού, υπολογίζει τελικά την τιμή της παράστασης. Ο Βλάσης κερδίζει όταν η απόλυτη τιμή του αποτελέσματος δεν διαιρείται με κανέναν ακέραιο από το $11$ έως το $184.

Δείξτε ότι η Αγάπη μπορεί πάντα να κερδίζει.

$63$ χαρτονομίσματα

Έχουμε $63$ χαρτονομίσματα του ενός δολαρίου και έξι φακέλους. Θέλουμε να τοποθετήσουμε τους λογαριασμούς στους φακέλους με τέτοιο τρόπο ώστε οποιοδήποτε ποσό από $1 έως $63 να μπορεί να ληφθεί ακριβώς επιλέγοντας έναν συνδυασμό φακέλων.

Πόσα δολάρια θα έπρεπε να τοποθετήσουμε στο φάκελο με τον μεγαλύτερο αριθμό χαρτονομισμάτων;

Σύνολα οκτώ αριθμών

Να βρεθούν όλα τα σύνολα οκτώ θετικών ακεραίων των οποίων το άθροισμα ισούται με το γινόμενό τους. 

Για παράδειγμα, ένα τέτοιο σύνολο είναι το $\{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 8\}$.

Τριών ειδών

Τρία είδη προϊόντων $Α, Β$ και $Γ$, είναι προς πώληση. Τα είδη του τύπου $Α$ πωλούνται $8$ προς $1$ ευρώ. Τα είδη του τύπου $Β$ πωλούνται για $1$ ευρώ το καθένα. 

Τα είδη του τύπου $Γ$ πωλούνται προς $10$ ευρώ το καθένα. Μια επιλογή $100$ προϊόντων που περιλαμβάνει τουλάχιστον ένα από κάθε τύπο κοστίζει $100$ ευρώ. 

Πόσα είδη του τύπου $Β$ υπάρχουν στην επιλογή;

Δύσκολα μας βάζεις eisatopon !

Τρεις πλευρές ενός κανονικού 8-γώνου επιλέγονται τυχαία. 

Βρείτε την πιθανότητα ότι, όταν αυτές οι πλευρές προεκτείνονται, σχηματίζουν ένα τρίγωνο που περιέχει το πολύγωνο.

Τρία ζάρια

Έχω δύο μπλε ζάρια και ένα κόκκινο ζάρι.

Χρησιμοποιώ τα μπλε ζάρια για να παίξω ένα απλό παιχνίδι: αν φέρω ένα διπλό εξάρι, κερδίζω. Διαφορετικά, χάνω.

Ρίχνω επίσης το κόκκινο ζάρι. Αν φέρω ένα $1$, θα πω ψέματα για το αν έχω κερδίσει ή χάσει το παιχνίδι- αν φέρω οποιοδήποτε άλλο αριθμό, θα πω την αλήθεια.

Ρίχνω και τα τρία ζάρια.

Γυρίζω προς το μέρος σας και λέω «Κέρδισα!».

Ποια είναι η πιθανότητα να κέρδισα όντως το παιχνίδι;