Πεδίο ορισμού για δυνατούς λύτες

 

Τι είναι το παραγοντικό ?

Μαθηματικά και Λογική: 14 Ασκήσεις Επαγωγής

1. Nα αποδειχθεί ότι: $$1+2+3+\cdots +n=\frac{n}{2}+\frac{n^2}{2},$$ για κάθε θετικό ακέραιο $n$. 

2. Nα αποδειχθεί ότι: $$1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},$$ για κάθε θετικό ακέραιο $n$. 

3. Nα αποδειχθεί ότι: $$1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4},$$ για κάθε θετικό ακέραιο $n$. 

Ποιος θα Κερδίσει; Ένα Παιχνίδι με Ρίψεις Νομίσματος

Η Αλίκη και ο Μενέλαος παίζουν ένα παιχνίδι ρίχνοντας ένα νόμισμα $100$ φορές. Κάθε φορά που εμφανίζεται κορώνα ακολουθούμενη από γράμματα, η Αλίκη κερδίζει έναν βαθμό.

Κάθε φορά που εμφανίζονται δύο συνεχόμενα γράμματα, ο Μενέλαος κερδίζει έναν βαθμό.

Ποιος παίκτης είναι πιο πιθανό να κερδίσει;

Ο Λεωνίδας, η Πυθία και το Μυστικό των Θερμοπυλών

Τα πνεύματα των τριακοσίων Σπαρτιατών κάθονται σε κύκλο γύρω από την Πυθία. Κάθε πνεύμα γνωρίζει ακριβώς πόσους εχθρούς κατάφερε να εξοντώσει στη θρυλική μάχη των Θερμοπυλών. 

Για κάθε ακέραιο αριθμό $k$ μεταξύ δύο και εκατό, ο Λεωνίδας μπορεί να ζητήσει από την Πυθία να του αποκαλύψει το άθροισμα των εχθρών που εξόντωσε κάθε ομάδα $k$ διαδοχικών πνευμάτων. 

Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός διαφορετικών τιμών του $k$ που πρέπει να ζητήσει ο Λεωνίδας, ώστε να μπορέσει να καθορίσει πόσους εχθρούς εξόντωσε ο γιος του;

Στρατηγική Τοποθέτησης Επιχειρήσεων σε Κυκλική Πόλη

Μια πόλη είναι χτισμένη γύρω από έναν κυκλικό δρόμο. Οι αρχές της πόλης εκδίδουν τέσσερις άδειες για ένα συγκεκριμένο είδος επιχείρησης. Οι κάτοικοι ζουν ομοιόμορφα κατανεμημένοι κατά μήκος του κύκλου και επισκέπτονται πάντα την πλησιέστερη επιχείρηση για τις ανάγκες τους.

Η επιλογή τοποθεσίας γίνεται διαδοχικά:

1. Πρώτη επιλέγει η επιχείρηση Α.
2. Έπειτα, η επιχείρηση Β.
3. Στη συνέχεια, η επιχείρηση Γ.
4. Τέλος, η επιχείρηση Δ.

Η Βόλτα στις Γέφυρες του Μπρίστολ

Στον $18$ο αιώνα, ο Leonhard Euler θέτει το διάσημο πρόβλημα σχετικά με το εάν είναι δυνατόν να περπατήσει κάποιος μέσα από την πόλη Königsberg και να επιστρέψει στο σπίτι του, διασχίζοντας κάθε μία από τις επτά γέφυρες ακριβώς μία φορά.

Η απάντηση στην ερώτηση ήταν αρνητική, αλλά το 2013 ο επιστήμονας του δικτύου Thilo Gross παρατήρησε ότι η πόλη του Μπρίστολ παρουσιάζει μια παρόμοια διάταξη. 

Σε αυτή την περίπτωση, όμως, το πρόβλημα είναι επιλύσιμο: 

Εάν είστε έτοιμοι να περπατήσετε $30$ μίλια, μπορείτε να διασχίσετε και τις $45$ γέφυρες του Μπρίστολ και να επιστρέψετε στο σημείο εκκίνησης.

Για περισσότερες λεπτομέρειες, δείτε εδώ.

Πόρτες, Καπέλα και Αυτοκίνητα: Η Στρατηγική για Νίκη

Υπάρχουν τρεις πόρτες, αριθμημένες $1,2$ και $3$. Πίσω από κάθε πόρτα βρίσκεται ένα αυτοκίνητο: κόκκινο, μπλε ή πράσινο, τοποθετημένα τυχαία.

Υπάρχουν τρεις διαγωνιζόμενοι, ο καθένας με ένα καπέλο σε διαφορετικό χρώμα: κόκκινο, μπλε και πράσινο.

Κάθε παίκτης μπορεί να ανοίξει δύο πόρτες, μία κάθε φορά. Αν ένας παίκτης δει το αυτοκίνητο του ίδιου χρώματος με το καπέλο του, τότε όλοι οι παίκτες κερδίζουν αυτοκίνητα. Αν, όμως, τουλάχιστον ένας παίκτης δεν δει το αυτοκίνητο του δικού του χρώματος, όλοι χάνουν.

Ο Μεγαλύτερος Αριθμός McNuggets που Δεν Μπορείτε να Παραγγείλετε

Στα McDonald's μπορείτε να παραγγείλετε Chicken McNuggets σε κουτιά των $6,9$ και $20$ τεμαχίων.

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός τεμαχίων που δεν μπορείτε να παραγγείλετε, ανεξάρτητα από τον συνδυασμό κουτιών που θα επιλέξετε;

Το Παράδοξο του de Méré: Η Γέννηση της Θεωρίας Πιθανοτήτων

Το Πρόβλημα του de Méré

Ο de Méré, γνωστός τζογαδόρος της εποχής του, παρατήρησε δύο σενάρια παιχνιδιών με ζάρια και προσπάθησε να υπολογίσει τις πιθανότητες επιτυχίας τους βασισμένος σε μια απλοϊκή λογική. Τα δύο σενάρια ήταν:

Πρώτο Σενάριο: Ρίχνεις ένα ζάρι $4$ φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρεις τουλάχιστον μία φορά το $6$;

Δεύτερο Σενάριο: Ρίχνεις δύο ζάρια $24$ φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρεις τουλάχιστον μία φορά διπλό $6$ (δηλαδή $6$ και στα δύο ζάρια ταυτόχρονα);

Ο de Méré έκανε έναν υπολογισμό που βασιζόταν σε αναλογίες και θεώρησε ότι οι δύο πιθανότητες θα ήταν ίσες. 

Ας δούμε τη λογική του:

Πόσοι Συνδυασμοί Επιτροπών Υπάρχουν; Ένα Μαθηματικό Λάθος

Σε ένα δικαστήριο υπάρχει ένα σύνολο $45$ δικαστών. Για να εξετάσουν μια υπόθεση, επιλέγεται τυχαία μια τριμελής επιτροπή.

Κάποιος ισχυρίζεται ότι υπάρχουν $3.000$ διαφορετικοί συνδυασμοί για τη συγκρότηση μιας τέτοιας επιτροπής. Όμως, αυτός ο υπολογισμός είναι λανθασμένος.

Βοηθήστε να εντοπιστεί το λάθος απαντώντας στις εξής ερωτήσεις:

Ο Ταξιδιώτης Πωλητής και το Δίλημμα των Διαδρομών

Ο Henry Ernest Dudeney συγκαταλέγεται στους σημαντικότερους δημιουργούς γρίφων όλων των εποχών. Γεννήθηκε στο Mayfield της Αγγλίας το 1857, γιος ενός δασκάλου του χωριού, και πέθανε το 1930. Για δεκαετίες, σχεδίαζε γρίφους για εφημερίδες και περιοδικά, ενώ αργότερα συγκέντρωσε τους περισσότερους σε βιβλία. Αυτός ο γρίφος προέρχεται από το βιβλίο του Amusements in Mathematics (1917).

Ένας ταξιδιώτης πωλητής, που ζει στην πόλη ${\rm A}$, θέλει να επισκεφθεί όλες τις πόλεις από ${\rm B}$ έως ${\rm P}$ μέσα σε μία εβδομάδα, αν και όχι απαραίτητα με αλφαβητική σειρά, και να επιστρέψει στην πόλη ${\rm A}$ στο τέλος. Σχεδιάζει να εισέλθει σε κάθε πόλη ακριβώς μία φορά. Οι κόκκινες γραμμές είναι οι μοναδικοί δρόμοι που συνδέουν τις $16$ πόλεις. 

Ο ταξιδιώτης πωλητής μπορεί να ακολουθήσει μόνο ευθείες διαδρομές μεταξύ δύο πόλεων, χωρίς να στρίβει σε διασταυρώσεις δρόμων. Πόσες διαφορετικές διαδρομές είναι δυνατές;

ΒΙΒΛΙΟ: Problems in Probability Theory, Mathematical Statistics, and Theory of Random Functions (pdf)

Click on the image.

Μπορείτε να Ολοκληρώσετε τον Γύρο; Ένα Πρόβλημα με Καύσιμα και Στρατηγική

Βρίσκεστε σε μια κυκλική πίστα αγώνων μονής κατεύθυνσης, όπου υπάρχουν $N$ δοχεία καυσίμου τοποθετημένα σε διάφορες θέσεις κατά μήκος της διαδρομής. 

Το συνολικό καύσιμο που περιέχουν τα δοχεία είναι ακριβώς αρκετό για να ολοκληρώσει το αυτοκίνητό σας έναν πλήρη γύρο. Αρχικά, το ρεζερβουάρ του αυτοκινήτου σας είναι άδειο, αλλά μπορείτε να επιλέξετε οποιοδήποτε σημείο της πίστας ως αφετηρία και να συλλέγετε καύσιμο από τα δοχεία καθώς κινείστε.

Ερώτημα:

Μπορείτε πάντα να βρείτε μια αρχική θέση από την οποία το αυτοκίνητό σας θα καταφέρει να ολοκληρώσει ολόκληρο τον γύρο χωρίς να ξεμείνει από καύσιμο;

Hockey Stick Identity από το Τρίγωνο του Πασκάλ

Η ταυτότητα αυτή εκφράζεται μαθηματικά ως εξής: $$\sum _{i=0}^r(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+i}{i})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r+1}{r})$$ Αυτή η ταυτότητα λέει ότι το άθροισμα των διωνυμικών συντελεστών από ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})}$ έως ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r}{r})}$ είναι ίσο με τον διωνυμικό συντελεστή ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r+1}{r})}$. 

 

Το όνομα "Hockey Stick" προέρχεται από το σχήμα που δημιουργείται όταν απεικονίζεται αυτή η σχέση στο Τρίγωνο του Πασκάλ, το οποίο μοιάζει με το σχήμα ενός ραβδιού χόκεϊ. 

Ζεύγος Langford: Πρόκληση Τοποθέτησης Μπλοκ

Σας δίνονται οκτώ μπλοκ, αριθμημένα από το $1$ έως το $4$, με δύο μπλοκ για κάθε αριθμό (δηλαδή, δύο "1", δύο "2", δύο "3" και δύο "4"). 

Τοποθετήστε αυτά τα μπλοκ σε οκτώ διαδοχικά πλαίσια, τηρώντας τις εξής συνθήκες:

• Τα δύο μπλοκ με τον αριθμό "1" πρέπει να χωρίζονται από ακριβώς ένα άλλο μπλοκ.
• Τα δύο μπλοκ με τον αριθμό "2" πρέπει να χωρίζονται από ακριβώς δύο άλλα μπλοκ.
• Τα δύο μπλοκ με τον αριθμό "3" πρέπει να χωρίζονται από ακριβώς τρία άλλα μπλοκ.

Μαθηματικά Μυστήρια: Γιατί 0 ! = 1 ;

Απόδειξη 

Ο ορσμός του παραγοντικού είναι: $$n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 1$$

Από την αναδρομική σχέση: $$n!=n\times (n-1)!$$ για $n=1$ έχουμε: $$1!=1\times 0!$$ Γνωρίζουμε ότι $1!=1$, επομένως: $$1=1\times 0!$$ άρα $$0!=1$$

Πόσα Ζώα Υπάρχουν στον Ζωολογικό Κήπο;

Σε ένα ζωολογικό κήπο, κάθε ζώο χαϊδεύεται από ακριβώς τρεις επισκέπτες. Κάθε ζευγάρι ζώων χαϊδεύεται από ακριβώς έναν επισκέπτη, και κανένας επισκέπτης δεν χαϊδεύει όλα τα ζώα. 

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός ζώων στον ζωολογικό κήπο;

Γινόμενο Μηκών Χορδών σε Κύκλο: Μια Εντυπωσιακή Ιδιότητα

Εάν επιλέξετε $n>1$ σημεία σε ίση απόσταση τοποθετημένα πάνω σε έναν μοναδιαίο κύκλο και συνδέσετε ένα από αυτά με όλα τα υπόλοιπα σημεία, τότε το γινόμενο των μηκών των χορδών που σχηματίζονται ισούται με $n$.

Click on the image.

Θα Πάρει ο Τελευταίος Μαθητής το Δικό του Κουτί;

Υπάρχουν $100$ κουτιά που έχουν αντιστοιχιστεί σε $100$ μαθητές, οι οποίοι στέκονται στη σειρά για να τα παραλάβουν.Οι δύο πρώτοι μαθητές παίρνουν ο καθένας ένα τυχαίο κουτί.

Κάθε άλλος μαθητής παίρνει το κουτί που του έχει αντιστοιχιστεί, εάν είναι διαθέσιμο, διαφορετικά παίρνει ένα τυχαίο κουτί.

Ποια είναι η πιθανότητα ο τελευταίος μαθητής να πάρει το κουτί που του έχει αντιστοιχιστεί;