ΒΙΒΛΙΟ: An Introduction to Gödel’s Theorems (pdf)

Click on the image.

Godel's 1st Incompleteness Theorem - Proof by Diagonalization

How Gödel’s Proof Works

His incompleteness theorems destroyed the search for a mathematical theory of everything. Nearly a century later, we’re still coming to grips with the consequences.

In 1931, the Austrian logician Kurt Gödel pulled off arguably one of the most stunning intellectual achievements in history.

Mathematicians of the era sought a solid foundation for mathematics: a set of basic mathematical facts, or axioms, that was both consistent — never leading to contradictions — and complete, serving as the building blocks of all mathematical truths.

THEOREM OF THE DAY: Godel’s First Incompleteness Theorem

Click on the image.

TEDEd: The paradox at the heart of mathematics: Gödel's Incompleteness Theorem - Marcus du Sautoy

Let’s Begin…

Consider the following sentence: “This statement is false.” Is that true? If so, that would make the statement false. But if it’s false, then the statement is true. This sentence creates an unsolvable paradox; if it’s not true and it’s not false– what is it? This question led a logician to a discovery that would change mathematics forever. Marcus du Sautoy digs into Gödel’s Incompleteness Theorem.

Μαθηματική Λογική: Τυπικά συστήματα, τα Θεωρήματα του Gödel, Θεωρία Αποδείξεων

Kάντε κλικ στην εικόνα.

Αγία Λογική: Οι επιστήμονες πληροφορικής "αποδεικνύουν" ότι υπάρχει Θεός

Ο Αυστριακός μαθηματικός Kurt Gödel κράτησε το μυστικό του για την ύπαρξη του Θεού για δεκαετίες. Τώρα δύο επιστήμονες αναφέρουν ότι έχουν αποδείξει την ύπαρξη του Θεού με μαθηματικό τρόπο χρησιμοποιώντας υπολογιστές. Οι δύο επιστήμονες τυποποίησαν το θεώρημα του μαθηματικού Kurt Gödel περί υπάρξεως του Θεού ωστόσο αυτή η οπτική γωνία τίθεται κάπως υπό αμφισβήτηση. Το πραγματικό επίτευγμα είναι το παράδειγμα που δίνουν για το πώς οι υπολογιστές και η προηγμένη τεχνολογία μπορεί να απλοποιήσουν και να προωθήσουν την επιστημονική ανακάλυψη.

Όταν ο Gödel πέθανε το 1978, άφησε ως κληρονομιά μια ελκυστική θεωρία βασισμένη σε αρχές της λογικής με την οποία αποδείκνυε την ύπαρξη ενός ανωτέρου όντος.

▪ Gödel ∧ ¬Gödel

▪ Συνέπεια και πληρότητα

Ένα σύστημα δεν μπορεί να είναι και συνεπές και πλήρες. Ένα σύστημα μπορεί να είναι είτε πλήρες και ασυνεπές είτε συνεπές και ελλιπές.

Κουρτ Γκέντελ (1906-1978)

▪ Godel's Incompleteness Theorems

Duration: 45 min 

Melvyn Bragg and guests discuss an iconic piece of 20th century maths - Gödel’s Incompleteness Theorems. In 1900, in Paris, the International Congress of Mathematicians gathered in a mood of hope and fear. 

Listen now

▪ Το Θεώρημα της μη πληρότητας και φιλοσοφικές προεκτάσεις...

Του Δημήτρη Μουρούλη

Μπορεί η λογική σκέψη να διεισδύσει στην τελική αλήθεια; Το παρακάτω κείμενο διερευνά αυτό ακριβώς. Το θεώρημα της μη πληρότητας έχει πολλούς αποδέκτες. Από μαθηματικούς και επιστήμονες μέχρι φιλοσόφους και θεολόγους...Για να εκτιμηθεί ο αντίκτυπος του θεωρήματος της μη πληρότητας του Godel, είναι κρίσιμο να καταλάβουμε πώς τα μαθηματικά ήταν αντιληπτά την περίοδο που αποδείχθηκε. Μετά από πολλούς αιώνες συνύπαρξης υπό ίσους όρους ασαφών διαισθητικών αντιλήψεων και ακριβούς λογικής, τα μαθηματικά στο τέλος του 19ου αιώνα άρχισαν να αποσαφηνίζονται. 

Επινοήθηκαν τα αποκαλούμενα τυπικά συστήματα. Στα τυπικά συστήματα τα θεωρήματα, με χρήση αυστηρών κανόνων, βλαστάνουν από τα αξιώματα όπως τα κλαδιά από ένα δέντρο. Αυτή η διαδικασία έπρεπε να αρχίσει από κάπου. Και τα αξιώματα ήταν αυτοί οι αρχέγονοι σπόροι από τους οποίους όλα τα άλλα αναπήδησαν. Η δύναμη αυτού του μηχανιστικού οράματος των μαθηματικών ήταν ότι εξάλειπτε την ανάγκη για τη σκέψη ή την κρίση. Εφ' όσον τα αξιώματα ήταν σωστά και εφ' όσον οι κανόνες με τους οποίους γινόταν η χρήση τους διατηρούσαν την αλήθεια, τα μαθηματικά δεν θα μπορούσαν να εκτροχιαστούν σε αναλήθειες. Η αλήθεια ήταν εξασφαλισμένη μέσω μιας αυτόματης θεωρητικής μεθοδολογίας. Ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς στόχους ήταν να μειωθεί η όλη θεωρία αριθμών σε ένα τελικό τυπικό σύστημα.

▪ Kurt Gödel (1906-1978)

Το 1906 γεννιέται στην Τσεχία ένα αγόρι με υψηλότατο βαθμό νοημοσύνης, ο Kurt Gödel που θα γίνει ένας από τους σημαντικότερους μαθηματικούς, ή ο σημαντικότερος για πολλούς καθώς το περιοδικό Time τον ανέδειξε ως την κορυφαία μαθηματική προσωπικότητα του 20ου αιώνα. Έγινε διάσημος με το θεώρημα περί μη πληρότητας που ήρθε να αναταράξει τα μέχρι τότε συμβατικά και αξιωματικά μαθηματικά

Στα 8 του χρόνια συνειδητοποιεί ότι οι διανοητικοί ορίζοντες των γονιών του είναι πολύ περιορισμένοι και δεν μπορούσαν να το καλύψουν νοητικά. Η λογική κυριαρχεί στη σκέψη του από παιδί, όμως ο σπόρος της παράνοιας διαμορφώνει το βίο του.

Στα 18 του - στο Πανεπιστήμιο πια - γνωρίζει τον έρωτα της ζωής του: τον πλατωνισμό. Λίγο αργότερα στα είκοσι πέντε του, αιχμάλωτος της λογικής των μαθηματικών αλλά και της μεταφυσικής πλευράς των μαθηματικών, επινοεί το θεώρημα της μη πληρότητας στο οποίο δείχνει ότι σε ένα μαθηματικό σύστημα υπάρχουν αναφορές, οι οποίες αν και είναι αληθείς δεν μπορούν να αποδειχθούν.

Το θεώρημα της μη πληρότητας προκάλεσε μεγάλο σεισμό στα μαθηματικά θεμέλια, όπως και η Αριθμητική Γκέντελ που θα επηρεάσει τον Άλαν Τιούρινγκ τον πατέρα της λειτουργίας των ηλεκτρονικών υπολογιστών.

▪ Σύστημα

Κουρτ Γκέντελ ( 1906-1978, Τσέχος μαθηματικός)
"Ένα σύστημα δεν μπορεί να είναι και συνεπές και πλήρες. Ένα σύστημα μπορεί να είναι είτε πλήρες και ασυνεπές είτε συνεπές και ελλιπές."

▪ Οι δύο φίλοι

"Ο Godel ήταν ο μόνος από τους συναδέλφους μας που μιλούσε με τον Einstein επί ίσοις όροις."

Freeman Dyson

▪ Kurt GÖDEL

▪ Έσχατη Λογική

Μια γιγάντια μαθηματική δομή ανοίγει νέους ορίζοντες για το σύμπαν των μαθηματικών

Όταν ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ κατέβηκε από το βάθρο ύστερα από τη διάλεξή του στο Πανεπιστήμιο της Σορβόννης στις 8 Αυγούστου 1900, ελάχιστοι από τους συνέδρους έδειξαν εντυπωσιασμένοι. Σύμφωνα με μια αναφορά της εποχής, η συζήτηση που ακολούθησε σε εκείνο το δεύτερο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών ήταν «μάλλον παρεκβατική». Τα πνεύματα φάνηκε να εξάπτονται περισσότερο από ένα επόμενο θέμα σχετικά με το αν η εσπεράντο έπρεπε να υιοθετηθεί ως γλώσσα εργασίας των μαθηματικών.

▪ Νεόνυμφοι

O Kurt Friedrich Gödel , με τη σύζυγό του Adele, την ημέρα του γάμου τους .

▪ Αιχμάλωτος των μαθηματικών

Αιχμάλωτος των Μαθηματικών: Ο Κουρτ Γκέντελ και το θεώρημα της Μη Πληρότητας, συγγραφέας Ρεμπέκα Γκόλντσταϊν

Περίληψη

Το 1906, στην Τσεχία, γεννιέται ένα αγόρι με υψηλότατο βαθμό νοημοσύνης. Στα 8 του χρόνια συνειδητοποιεί ότι οι διανοητικοί ορίζοντες των γονιών του είναι πολύ περιορισμένοι. Η λογική κυριαρχεί στη σκέψη του, όμως ο σπόρος της παράνοιας διαμορφώνει τον βίο του. Στα 18 του -στο Πανεπιστήμιο- γνωρίζει τον έρωτα της ζωής του: τον πλατωνισμό. Λίγο αργότερα, αιχμάλωτος της λογικής των μαθηματικών, επινοεί το θεώρημα της μη πληρότητας. Διαβάζει παραμύθια -παριστάνουν τον κόσμο όπως θα έπρεπε να είναι- ενώ λατρεύει τις ταινίες του Ντίσνεϊ (συγκεκριμένα τη Χιονάτη). Στη Βιέννη του Μεσοπολέμου συγκρούεται με τον Βιτγκενστάιν. Αρνείται το φαγητό θεωρώντας το ως πηγή μικροβίων. Η νευρική κατάρρευση, ως ψυχολογική απόρροια του τέλους του Κύκλου της Βιέννης, τον οδηγεί σε σανατόριο. Στα 29 του -στο Πρίνστον- εμπνέει τον Άλαν Τιούρινγκ, ο οποίος επινοεί τους υπολογιστές.

▪ Ο Θεός υπάρχει

Η απόδειξη της ύπαρξης του Θεού από τον Kurt Godel σε ένα φύλλο χαρτί.

Απόδειξη

Axiom 1. (Dichotomy) A property is positive if and only if its negation is negative.
Axiom 2. (Closure) A property is positive if it necessarily contains a positive property.
Theorem 1. A positive property is logically consistent (i.e., possibly it has some instance.)
Definition. Something is God-like if and only if it possesses all positive properties.
Axiom 3. Being God-like is a positive property.
Axiom 4. Being a positive property is (logical, hence) necessary.
Definition. A property P is the essence of x if and only if x has P and P is necessarily minimal.
Theorem 2. If x is God-like, then being God-like is the essence of x.
Definition. NE(x) means x necessarily exists if it has an essential property.
Axiom 5. Being NE is God-like.
Theorem 3. Necessarily there is some x such that x is God-like. (qed)

Η απόδειξη με σύμβολα:

▪ Θεωρητικά, ναι

"Κύριε Γκαίντελ ,έχω φάει την ζωή μου προσπαθώντας να αποδείξω την εικασία του Γκολντμπάχ", του είπε χαμηλόφωνα αλλά με μεγάλη ένταση, " και τώρα μου λέτε ότι μπορεί να είναι μη αποδείξιμη;" Ο Γκαιντελ είχε κιτρινίσει παραπάνω από τη φυσική χλωμάδα. "Θεωρητικά ,ναι-"

Απόστολος Δοξιάδης - "Ο θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ"