Κύκλοι Φιλιών: Η Γεωμετρία που Φιλά με Ακρίβεια

Υπάρχουν δύο κύκλοι που εφάπτονται (ένας εσωτερικά και ένας εξωτερικά) σε τρεις αμοιβαία εφαπτόμενους κύκλους: αυτοί είναι οι κύκλοι του Soddy, τους οποίους ποιητικά ονόμασε «κύκλους φιλιού». 

Αυτοί οι κύκλοι δεν είναι μόνο γεωμετρικά υπέροχοι, αλλά και μαθηματικά μαγικοί, αφού συνδέονται με μια εκπληκτική εξίσωση που αποδίδεται στον René Descartes.

Η Εξίσωση του Descartes

Σάρωση για να αποθηκεύσετε ή να κοινοποιήσετε την ανάρτηση

Ρενέ Ντεκάρτ: Η Γέννηση της Αναλυτικής Γεωμετρίας

Σαν σήμερα, στις 31 Μαρτίου 1596, γεννήθηκε στο La Haye en Touraine της Γαλλίας ο Ρενέ Ντεκάρτ, ένας από τους σημαντικότερους φιλοσόφους και μαθηματικούς του 17ου αιώνα. Η σκέψη και το έργο του επηρέασαν βαθιά τον κόσμο της φιλοσοφίας, των μαθηματικών και των φυσικών επιστημών, και τον καθιέρωσαν ως τον "πατέρα της σύγχρονης φιλοσοφίας".

Στην πιο διάσημη φιλοσοφική του δουλειά, "Διαλογισμοί για την πρώτη φιλοσοφία" (1641), ο Ντεκάρτ εισήγαγε τη μέθοδο της ριζικής αμφιβολίας, αμφισβητώντας τις θεμελιώδεις πεποιθήσεις και αξιώματα για να αναζητήσει μια αδιαμφισβήτητη βάση για τη γνώση.

Λάιμπνιτς για τον Ντεκάρτ: Ένας Έπαινος με Επιφυλάξεις✍️

Ο Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς, ένας από τους μεγαλύτερους φιλοσόφους και μαθηματικούς της ιστορίας, είχε ανάμεικτα συναισθήματα για τον Ρενέ Ντεκάρτ.

Αναγνώριζε την ιδιοφυΐα του αλλά του καταλόγιζε ελλείψεις που, κατά τη γνώμη του, περιόρισαν την επιστημονική και φιλοσοφική του κληρονομιά.

Στο έργο του Philosophical Papers and Letters (1956), διαβάζουμε τα εξής:

«Όσο για τον Ντεκάρτ, τούτο… δεν είναι το κατάλληλο μέρος για να επαινέσουμε έναν άνθρωπο του οποίου η ιδιοφυΐα ξεπερνά κάθε έπαινο.

René Descartes: Οι Κανόνες για την Κατεύθυνση του Νου

Ο René Descartes (1596-1650), ο θεμελιωτής της νεότερης φιλοσοφίας και ένας από τους σπουδαιότερους μαθηματικούς της εποχής του, αφιέρωσε μεγάλο μέρος της σκέψης του στη διαμόρφωση μιας μεθόδου που θα επέτρεπε στον ανθρώπινο νου να κατακτήσει τη γνώση με βεβαιότητα. 

Ένα από τα λιγότερο γνωστά αλλά εξαιρετικά σημαντικά έργα του, οι "Κανόνες για την Κατεύθυνση του Νου" (Regulae ad directionem ingenii), αποτελεί μια ημιτελή πραγματεία που γράφτηκε μεταξύ 1628 και 1629 αλλά παρέμεινε ανέκδοτη μέχρι το 1701.

Οι άγνωστοι x,y,z

Η πρακτική της χρήσης των γραμμάτων $x,y$ και $z$ για την αναπαράσταση άγνωστων ποσοτήτων σε μαθηματικές εξισώσεις μπορεί να αποδοθεί στον Γάλλο μαθηματικό Ρενέ Ντεκάρτ. 

Ο Descartes εισήγαγε αυτόν τον συμβολισμό στο έργο του "La Géométrie", το οποίο δημοσιεύθηκε το $1637$.

René Descartes: Cogito, ergo sum | Wikipedia audio article

A Brief History of René Descartes

Ρενέ Ντεκάρτ (1596 - 1650): "Κατακτήστε τον εαυτό σας και όχι τον κόσμο".

René Descartes: «It is not enough to have a good mind, the main thing is to use it well»

Χαρτονόμισμα με τον René Descartes (Banque de France)

Rene DESCARTES | The father of analytical geometry

The Graph of an Equation

In 1637 the French mathematician René Descartes revolutionized the study of mathematics by joining its two major fields—algebra and geometry. 

With Descartes’s coordinate plane, geometric concepts could be formulated analytically and algebraic concepts could be viewed graphically. The power of this approach was such that within a century of its introduction, much of calculus had been developed.

From book «Calculus of a Single Variable».

Ωραίο εξώφυλλο !

Volume 105 - Issue 563 - July 2021

René Descartes, ο Επιστήμονας

Cogito ergo sum . Σκέφτομαι, άρα υπάρχω. Είναι η πιο διάσημη φράση και λογικό επιχείρημα, που πηγάζει από το γόνιμο μυαλό του René Descartes. Όταν σκεφτόμαστε τον Descartes, σκεφτόμαστε τον Descartes τον φιλόσοφο, και με καλό λόγο. 

Το έργο του Διαλογισμοί στην Πρώτη Φιλοσοφία είναι ένα πρώιμο αριστούργημα της μεταφυσικής. Ο Ντεκάρτ βυθίζεται σε έναν κόσμο μεθοδικής αμφιβολίας. "Πώς μπορώ να ξέρω ότι όλα όσα αντιλαμβάνομαι δεν είναι απλώς η εξαπάτηση ενός παντοδύναμου, κακού δαίμονα;" ρωτάει. Το μυαλό βασίζεται στον εγκέφαλο ή υπάρχουν ανεξάρτητα;

Το folium του Descartes

Το folium του Descartes είναι μια καμπύλη που προτάθηκε και μελετήθηκε για πρώτη φορά από τον René Descartes το $1638$.

Η εξίσωση του φυλλώματος του Descartes σε καρτεσιανές συντεταγμένες είναι

${\chi }^2+{\psi }^2-3\alpha \chi \psi =0$.

Στις πολικές συντεταγμένες, η εξίσωση του φυλλώματος του Descartes δίνεται από

$r={\displaystyle \frac{3\alpha \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \theta }{\eta {\mu }^3\theta +\sigma \upsilon {\nu }^3\theta }}$.    

Δείτε επίσης: 

A mistake in the Folium of Descartes

Μαθηματικοί στα χαρτονομίσματα: René Descartes

▪ Συνομιλία με άριστους

Το να διαβάζεις τα καλά βιβλία είναι σαν να συνδιαλέγεσαι με τους άριστους των περασμένων αιώνων.

René Descartes

▪ Πολύ ψηλά

Όποτε με προσβάλει κάποιος, προσπαθώ να ανυψώσω την ψυχή μου τόσο ψηλά, ώστε η προσβολή να μην τη φτάνει.

René Descartes

▪ Ύπαρξη του Θεού

Ο Descartes παρέχει τρία επιχειρήματα υπέρ της ύπαρξης του Θεού. Το πρώτο επιχείρημα, το οποίο έχει χαρακτηριστεί ιδεολογικό, βασίζεται στην σαφή και διακριτή ιδέα που έχουμε για τον Θεό ως τέλειο ον. Η ιδέα αυτή δεν μπορεί να προέρχεται από εμάς, ισχυρίζεται ο Descartes, εφόσον εμείς είμαστε πεπερασμένα και ατελή όντα· προέρχεται επομένως από τον Θεό, άρα ο Θεός υπάρχει. Στην ίδια πεποίθηση για την σχέση αιτίου-αποτελέσματος βασίζεται και το δεύτερο επιχείρημα του Descartes για την ύπαρξη του Θεού, το οποίο συμβατικά ονομάζεται κοσμολογικό. Το επιχείρημα αυτό έχει ως εξής: έχω αποδείξει την ύπαρξή μου· ωστόσο το αίτιο της ύπαρξής μου δεν θα μπορούσε να ήταν ο ίδιος μου ο εαυτός, εφόσον τότε «δεν θα αμφέβαλλα, δεν θα επιθυμούσα και δεν θα μου έλειπε τίποτα, διότι θα χορηγούσα στον εαυτό μου όλες τις τελειότητες των οποίων υπάρχει μέσα μου κάποια ιδέα, και έτσι θα ήμουν εγώ ο ίδιος Θεός»· επομένως το αίτιο της ύπαρξής μου είναι ο Θεός, άρα ο Θεός υπάρχει.

Καρτέσιος καλεί Ευκλείδη

Το ορθογώνιο στο $A$ τρίγωνο ${\displaystyle ABC}$, έχει κορυφές $A(0,3)4\kappa \alpha \iota$C(6,0)$\kappa \alpha \iota \delta \iota \chi o\tau ό\mu o$AD$.{\rm O}\kappa ύ\kappa \lambda o\varsigma \delta \iota \alpha \mu έ\tau \rho o\upsilon$AD$\tau έ\mu \nu \epsilon \iota \tau \iota \varsigma$AC,AB$\sigma \tau \alpha$E,Z$ αντίστοιχα. 

1) Βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων $B,D,E,Z$. 

2) Δείξτε ότι οι $BE,CZ$ τέμνονται επί του $y{y}^{\prime }$.

Πηγή: mathematica (KARKAR)