Διοφαντική εξίσωση

Ακέραιες λύσεις

Να λυθεί η εξίσωση

$x^3 + 1 = y^2$

στο σύνολο των ακεραίων αριθμών. (Βρείτε τουλάχιστον $3$ διαφορετικές ρίζες).

That’s the beauty of math

In $2019$, mathematicians finally solved one of the hardest math problems—one that had stumped them for decades. It’s called a Diophantine Equation, and it’s sometimes known as the “summing of three cubes”: 

Find $x, y$, and $z$ such that 

$x³+y³+z³=k$ 

for each $k$ from one to $100$.

On the surface, it seems easy. Can you think of the integers for $x, y$, and $z$ so that $x³+y³+z³=8$? Sure. One answer is $x = 1, y = -1$, and $z = 2$. But what about the integers for $x, y$, and $z$ so that x³+y³+z³=42?

Άρρητη και τρεις άγνωστοι

Nα λυθεί η εξίσωση

$$\sqrt{z-y^2-6x-26}+x^2+6y+z-8=0$$

An Introduction to Diophantine Equations (pdf)

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Πιο κοντινός στο 1000

Να βρεθεί ο πιο κοντινός στο $1000$ ακέραιος, που διαιρείται ακριβώς με το $13$ ενώ αν του προσθέσουμε $5$ διαιρείται ακριβώς με $17$.

▪Διοφαντικές εξισώσεις (Ι)

Nα λυθούν οι διοφαντικές εξισώσεις:

i) $x^2=1+y+y^2+y^3+y^4$, στο $Ν$.

ii)  $x^2+x=y+y^2+y^3+y^4$, στο $Ζ$.

iii)  $x^6+3x^3+1=y^4$, στο $Ζ$.

iv)  $x^8+2x^6+2x^4+2x^2+1=y^2$, στο $Ζ$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Οκτώ διοφαντικές

Να λυθούν οι παρακάτω διοφαντικές εξισώσεις:
i) $5^x+3^y=8z-2$
ii) $2^x=3+13y$
iii) $x^2-xy+2x-3y=11$
iv) $2x^3-x^2y+x^2+14x-7y+40=0$
v) $(x-2)^4=(y+3)^5$
vi) $\sqrt{x}=1+\sqrt{y}$
vii) $2xy+3y^2=24$
viii) $x^{2}y^{2}+x^{2}y+xy^2+xy=xyz-1$.
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

▪ Ζεύγη $(x,y)$

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη $(x,y)$ των ακεραίων λύσεων της εξίσωσης: 

$x^6 +3x^3+1=y^4$.

▪ Ακέραιες λύσεις

Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης:

$y^2 = x^3 − 432$.

▪ Διοφαντική εξίσωση

Να βρεθούν οι μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί που ικανοποιούν την ισότητα:

$x^4 + (x+1)^4 = y^2 + (y+1)^2.$

 

▪ Το 10ο Πρόβλημα του Hilbert

Το 10ο Πρόβλημα του Hilbert, το δέκατο στη σειρά από τα 23 προβλήματα που έθεσε ο David Hilbert το 1900 ως οδηγό για τους μαθηματικούς του 20ού αιώνα ζητούσε:

«Να βρεθεί διαδικασία (δηλ. "αλγόριθμος") η οποία σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων να αποφαίνεται κατά πόσο μία πολυωνυμική (διοφαντική) εξίσωση (με ακεραίους συντελεστές και με πολλές μεταβλητές) έχει ή δεν έχει ακέραιες λύσεις».

Το πρόβλημα λύθηκε το 1970 από τον Yuri Matijasevich με αρνητικό τρόπο:

«Τέτοια διαδικασία δεν υπάρχει». Η απόδειξη χρησιμοποιεί εργαλεία Μαθηματικής Λογικής και Θεωρίας Αριθμών.
Δείτε και εδώ.

Το έργο του Διοφάντου του Αλεξανδρέως

▪ 4ου και 6ου βαθμού

Αν η εξίσωση $$x^4 − x^3 + x + 1 = 0$$ έχει ρίζες τους αριθμούς $α, β, γ, δ$, να αποδειχθεί ότι o αριθμός $1/α + 1/β$ είναι ρίζα της εξίσωσης $$x^6 + 3x^5 + 3x^4 + x^3 − 5x^2 − 5x − 2 = 0.$$

▪ Διοφαντικό σύστημα (ΙΙ)

Να βρεθούν οι έξι διαφορετικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοί A, B, C και X, Y, Z που ικανοποιούν τις παρακάτω ισότητες:

                                     A+B+C=X+Y+Z

και
                        A^3+B^3+C^3=X^3+Y^3+Z^3
Απάντηση

▪ Διοφαντικό σύστημα

Να βρεθούν οι έξι διαφορετικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοί $A, B, C$ και $X, Y, Z$ που ικανοποιούν τις παρακάτω ισότητες $$A+B+C=X+Y+Z$$ $$A^2+B^2+C^2=X^2+Y^2+Z^2.$$

▪ Geometric theorems, Diophantine equations, Arithmetic functions

Κάντε κλικ εδώ, για να το κατεβάσετε.

▪ Τα "Αριθμητικά" του Διόφαντου

Ο Διόφαντος ο Αλεξανδρεύς ήταν Έλληνας μαθηματικός του τρίτου αιώνα (περίπου 210 – 290), ο οποίος έζησε στην Αλεξάνδρεια της ρωμαϊκής Αιγύπτου. Έχει αποκληθεί «πατέρας της άλγεβρας» εξαιτίας του εμβληματικού έργου του «Αριθμητικά», όπου περιέχονται αλγεβρικά προβλήματα τα οποία λύνονται με εξισώσεις και συστήματα πρώτου και δευτέρου βαθμού.

Diophanti Alexandrini, Rerum Arithmeticarum, Basileae, MDLXXV (Basel, 1575)

▪ Εισαγωγή στις Διοφαντικές Εξισώσεις

Titu Andrescu - Dorin Andrica

Κάντε κλικ εδώ, για να διαβάσετε το βιβλίο.

▪ Ακόμη μία

Μία λύση της εξίσωσης 

x² = 2y⁴ - 1 

είναι το ζεύγος (1, 1). Να βρεθεί μία άλλη ακέραια λύση της εξίσωσης.