Προτάσεις Μαθηματικής Λογικής: Συνθήκες και Κριτήρια

Ποια από τις παρακάτω προτάσεις πρέπει να ισχύει, δεδομένου ότι η πρόταση $P$ είναι αληθής όταν το $\beta$ είναι μεγαλύτερο ή ίσο του $7$;

Α. Αν $\beta \ge 7$, τότε η $P$ είναι αληθής.

Β. Αν $\beta \ge 7$, τότε η $P$ είναι ψευδής.

Γ. Αν $\beta <7$, τότε η $P$ είναι αληθής.

Δ. Αν $\beta <7$, τότε η $P$ είναι ψευδής.

Ε. Καμία από τις παραπάνω.

Το Παράδοξο του Δικαστηρίου: Όταν η Λογική και το Δίκαιο Συγκρούονται

Το Παράδοξο του Δικαστηρίου είναι ένα κλασικό παράδειγμα λογικής και νομικής αντιπαράθεσης, που αναδεικνύει την έννοια της αυτοαναφοράς και τα παράδοξα που μπορεί να προκύψουν από αυτήν.

Ας το αναλύσουμε βήμα-βήμα:

Η Συμφωνία

Ο σοφιστής Πρωταγόρας συμφώνησε να διδάξει νομική στον μαθητή του, Εύαθλο, υπό τον όρο ότι η πληρωμή του θα γινόταν μόνο εφόσον ο Εύαθλος κέρδιζε την πρώτη του δικαστική υπόθεση.

Το Παράδοξο της Επιλογής: Ποιος Αριθμός Πρέπει να Αποβληθεί;

Ο George R. Sell από το Πανεπιστήμιο του Marquette περιγράφει ένα παράδοξο που αφορά ένα σύνολο αριθμών και τη διαδικασία αποκλεισμού ενός αριθμού βάσει συγκεκριμένων κριτηρίων.

Αρχικά, δίνεται το σύνολο $\{2,3,4,6,8\}$ και τίθεται το ερώτημα: Ποιος αριθμός θα ήταν ο μόνος περιττός αν αποβληθεί; Αν αφαιρέσουμε το $3$, τότε πράγματι είναι ο μοναδικός περιττός αριθμός του συνόλου.

Ας εξετάσουμε τώρα το διευρυμένο σύνολο $\{2,3,4,6,8,9,13\}$. Σύμφωνα με την ανάλυση του προβλήματος: 

Το Λογικό Αίνιγμα του Lewis Carroll: Ποιος Φροντίζει το Κατάστημα;

Το $1894$, ο Lewis Carroll δημοσίευσε ένα αίνιγμα που, όπως έγραψε, παρουσιάζει μια αρκετά μεγάλη δυσκολία. 

Ας υποθέσουμε ότι ο Άλεν, ο Μπράουν και ο Καρ διατηρούν ένα κατάστημα.

Οι υποθέσεις είναι οι εξής:

• Τουλάχιστον ένας από αυτούς πρέπει να είναι πάντα παρών για να φροντίζει το μαγαζί.
• Όποτε ο Άλεν φεύγει, παίρνει μαζί του τον Μπράουν.

ΒΙΒΛΙΟ: Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences (pdf)

Click on the image.

Παιχνίδι Λογικής: Συνδυάστε τις Σωστές Απαντήσεις

Για καθεμία από τις ακόλουθες πέντε ερωτήσεις, επιλέξτε μία από τις απαντήσεις ($A,B,C$ ή $D$) έτσι ώστε και οι πέντε προτάσεις να είναι αληθείς ταυτόχρονα.

1. Η πρώτη ερώτηση που έχει απάντηση $C$ είναι η εξής:
   (Α) $2$    (Β) $3$    (Γ) $4$    (Δ) $5$

2. Οι μόνοι δύο συνεχόμενοι αριθμοί ερωτήσεων που έχουν την ίδια απάντηση είναι:

Απόφαση δικαστή

Από τα πρακτικά του δικαστηρίου προκύπτουν τα ακόλουθα στοιχεία:

1) Εάν ο ${\rm A}$ είναι αθώος, τότε και ο ${\rm B}$ και ο $\Gamma$ είναι ένοχοι,

2) Είτε ο ${\rm B}$ είτε ο $\Gamma$ δεν είναι ένοχος,

3) Είτε ο ${\rm A}$ είναι αθώος είτε ο ${\rm B}$ είναι ένοχος.

Σύμφωνα με αυτές τις πληροφορίες, ποιος είναι ένοχος και ποιος είναι αθώος;

Centre International de Rencontres Mathématiques (CIRM) | Logic and Foundations (111 video, playlist)

Start Learning Logic 1 | Logical Statements, Negations and Conjunction

ΒΙΒΛΙΟ: First-Order Logic (pdf)

Κάντε κλικ εδώ.

Topoi : The Categorial Analysis of Logic (pdf)

Downloadable as pdf from Project Euclid.

Akihiro Kanamori – Gödel vis-à-vis Russell: Logic and Set Theory

P ⇒ Q is logically equivalent to ¬P ∨ Q

What is Logical Paradox?

A paradox is a statement that, despite apparently sound reasoning from true premises, leads to a self-contradictory or a logically unacceptable conclusion. As an example we can use the egg and chicken paradox.The paradoxes concerning the notion of a set are called logical paradoxes.

Paradoxes have been in Mathematics since a long time. The earliest one, which I know is “Parallel Postulate by Euclid”. For two thousand years, many attempts were made to prove the parallel postulate using Euclid’s first four postulates.

Αυτοαναφορική λογική

Το τεστ αυτοαναφορικής λογικής:

1) Πόσες ερωτήσεις σε αυτό το τεστ έχουν την απάντηση "α"; 

α) $0$      β) $1$      γ) $2$      δ) $3$      ε) $4$

2) Πόσες ερωτήσεις σε αυτό το τεστ έχουν την απάντηση "β"; 

α) $0$      β) $1$      γ) $2$      δ) $3$      ε) $4$

3) Πόσες ερωτήσεις σε αυτό το τεστ έχουν την απάντηση «γ»; 

α) $0$      β) $1$      γ) $2$      δ) $3$      ε) $4$

4) Πόσες ερωτήσεις σε αυτό το τεστ έχουν την απάντηση «δ»; 

α) $0$      β) $1$      γ) $2$      δ) $3$      ε) $4$

5) Πόσες ερωτήσεις σε αυτό το τεστ έχουν απάντηση "ε"; 

α) $0$      β) $1$      γ) $2$      δ) $3$      ε) $4$

Υπάρχει μόνο ένας τρόπος να απαντήσετε σε καθεμία από αυτές τις $5$ ερωτήσεις χωρίς να αντικρούσετε τον εαυτό σας. 

Μπορείτε να τον βρείτε;

Logic and set theory around the world

Here is a list of research groups and departments (and some isolated logics specialists in other departments) in the foundations of mathematics and computer science (logic, set theory, model theory, theoretical computer science, proof theory, programming languages).

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Διάλεξη του Ν. Λυγερού με θέμα: "Μαθηματική σκέψη και λογική"

Διάλεξη του Ν. Λυγερού με θέμα: "Μαθηματική σκέψη και λογική". Αλεξανδρούπολη ΠΤΔΕ, 15/12/14.

Μία στις Έξι

Μόνο μία από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής. Ποια και γιατί;
${\rm A}.$ Όλες οι επόμενες
${\rm B}.$  Καμία από τις επόμενες
$\Gamma .$  Μία από τις αποπάνω
$\Delta .$ Όλες οι αποπάνω
${\rm E}.$  Καμία από τις αποπάνω
${\rm Z}.$  Καμία από τις αποπάνω

Mαγεία ή Μαθηματικά;

"Υπάρχουν 10 είδη ανθρώπων. Αυτοί που καταλαβαίνουν το δυαδικό σύστημα, κι αυτοί που δεν το καταλαβαίνουν" 

Prof. Mach Xor

Ο καθηγητής ${\rm X}$ δοκιμάζει τις ικανότητες των μαθητών του, Βαγγέλη και Γιάννη. Βάζει στο τραπέζι μια συνηθισμένη σκακιέρα $(8\times 8)$, και τους λέει: Ο Γιάννης θα πάει στο διπλανό δωμάτιο. Ο Βαγγέλης θα μείνει εδώ μαζί μου. Θα βάλω σε κάποια τετραγωνάκια (όσα και όποια θέλω) από ένα νταμάκι. Μετά θα επιλέξω ένα τετραγωνάκι (όποιο θέλω! Mε νταμάκι ή αδειανό) και θα το δείξω στον Βαγγέλη.

Διφορούμενη Λογική

"These are my principles, and if you don't like them...well, I have others!"

 Groucho Marx

Κάποιες φορές, η Λογική αντιμετωπίζει προβλήματα "συμβάσεων" και "παραδοχών" . Τότε, γίνεται διφορούμενη και επιδέχεται ερμηνείες... Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Στην επαρχία Διφορούμενων της Λογικοχώρας υπάρχουν τρεις κωμοπόλεις. Η Αληθούπολη, η Ψευτούπολη και η Εναλλαξούπολη. Όσοι ζούνε στην Αληθούπολη λένε πάντα αλήθεια. Όσοι ζούνε στην Ψευτούπολη λένε πάντα ψέματα, και όσοι ζούνε στην Εναλλαξούπολη εναλλάσσουν πάντα τις δηλώσεις τους. Ένα ψέμα ακολουθείται πάντα από μια αλήθεια και τούμπαλιν.