Απόφαση δικαστή

Από τα πρακτικά του δικαστηρίου προκύπτουν τα ακόλουθα στοιχεία:

1) Εάν ο $Α$ είναι αθώος, τότε και ο $Β$ και ο $Γ$ είναι ένοχοι,

2) Είτε ο $Β$ είτε ο $Γ$ δεν είναι ένοχος,

3) Είτε ο $Α$ είναι αθώος είτε ο $Β$ είναι ένοχος.

Σύμφωνα με αυτές τις πληροφορίες, ποιος είναι ένοχος και ποιος είναι αθώος;

Centre International de Rencontres Mathématiques (CIRM) | Logic and Foundations (111 video, playlist)

Start Learning Logic 1 | Logical Statements, Negations and Conjunction

ΒΙΒΛΙΟ: First-Order Logic (pdf)

Κάντε κλικ εδώ.

Topoi : The Categorial Analysis of Logic (pdf)

Downloadable as pdf from Project Euclid.

Akihiro Kanamori – Gödel vis-à-vis Russell: Logic and Set Theory

P ⇒ Q is logically equivalent to ¬P ∨ Q

What is Logical Paradox?

A paradox is a statement that, despite apparently sound reasoning from true premises, leads to a self-contradictory or a logically unacceptable conclusion. As an example we can use the egg and chicken paradox.The paradoxes concerning the notion of a set are called logical paradoxes.

Paradoxes have been in Mathematics since a long time. The earliest one, which I know is “Parallel Postulate by Euclid”. For two thousand years, many attempts were made to prove the parallel postulate using Euclid’s first four postulates.

Αυτοαναφορική λογική

Το τεστ αυτοαναφορικής λογικής:

1) Πόσες ερωτήσεις σε αυτό το τεστ έχουν την απάντηση "α"; 

α) $0$      β) $1$      γ) $2$      δ) $3$      ε) $4$

2) Πόσες ερωτήσεις σε αυτό το τεστ έχουν την απάντηση "β"; 

α) $0$      β) $1$      γ) $2$      δ) $3$      ε) $4$

3) Πόσες ερωτήσεις σε αυτό το τεστ έχουν την απάντηση «γ»; 

α) $0$      β) $1$      γ) $2$      δ) $3$      ε) $4$

4) Πόσες ερωτήσεις σε αυτό το τεστ έχουν την απάντηση «δ»; 

α) $0$      β) $1$      γ) $2$      δ) $3$      ε) $4$

5) Πόσες ερωτήσεις σε αυτό το τεστ έχουν απάντηση "ε"; 

α) $0$      β) $1$      γ) $2$      δ) $3$      ε) $4$

Υπάρχει μόνο ένας τρόπος να απαντήσετε σε καθεμία από αυτές τις $5$ ερωτήσεις χωρίς να αντικρούσετε τον εαυτό σας. 

Μπορείτε να τον βρείτε;

Logic and set theory around the world

Here is a list of research groups and departments (and some isolated logics specialists in other departments) in the foundations of mathematics and computer science (logic, set theory, model theory, theoretical computer science, proof theory, programming languages).

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Διάλεξη του Ν. Λυγερού με θέμα: "Μαθηματική σκέψη και λογική"

Διάλεξη του Ν. Λυγερού με θέμα: "Μαθηματική σκέψη και λογική". Αλεξανδρούπολη ΠΤΔΕ, 15/12/14.

Μία στις Έξι

Μόνο μία από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής. Ποια και γιατί;
$Α.$ Όλες οι επόμενες
$Β.$  Καμία από τις επόμενες
$Γ.$  Μία από τις αποπάνω
$Δ.$ Όλες οι αποπάνω
$Ε.$  Καμία από τις αποπάνω
$Ζ.$  Καμία από τις αποπάνω

Mαγεία ή Μαθηματικά;

"Υπάρχουν 10 είδη ανθρώπων. Αυτοί που καταλαβαίνουν το δυαδικό σύστημα, κι αυτοί που δεν το καταλαβαίνουν" 

Prof. Mach Xor

Ο καθηγητής $Χ$ δοκιμάζει τις ικανότητες των μαθητών του, Βαγγέλη και Γιάννη. Βάζει στο τραπέζι μια συνηθισμένη σκακιέρα $(8 \times 8)$, και τους λέει: Ο Γιάννης θα πάει στο διπλανό δωμάτιο. Ο Βαγγέλης θα μείνει εδώ μαζί μου. Θα βάλω σε κάποια τετραγωνάκια (όσα και όποια θέλω) από ένα νταμάκι. Μετά θα επιλέξω ένα τετραγωνάκι (όποιο θέλω! Mε νταμάκι ή αδειανό) και θα το δείξω στον Βαγγέλη.

Διφορούμενη Λογική

"These are my principles, and if you don't like them...well, I have others!"

 Groucho Marx

Κάποιες φορές, η Λογική αντιμετωπίζει προβλήματα "συμβάσεων" και "παραδοχών" . Τότε, γίνεται διφορούμενη και επιδέχεται ερμηνείες... Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Στην επαρχία Διφορούμενων της Λογικοχώρας υπάρχουν τρεις κωμοπόλεις. Η Αληθούπολη, η Ψευτούπολη και η Εναλλαξούπολη. Όσοι ζούνε στην Αληθούπολη λένε πάντα αλήθεια. Όσοι ζούνε στην Ψευτούπολη λένε πάντα ψέματα, και όσοι ζούνε στην Εναλλαξούπολη εναλλάσσουν πάντα τις δηλώσεις τους. Ένα ψέμα ακολουθείται πάντα από μια αλήθεια και τούμπαλιν.

Αγία Λογική: Οι επιστήμονες πληροφορικής "αποδεικνύουν" ότι υπάρχει Θεός

Ο Αυστριακός μαθηματικός Kurt Gödel κράτησε το μυστικό του για την ύπαρξη του Θεού για δεκαετίες. Τώρα δύο επιστήμονες αναφέρουν ότι έχουν αποδείξει την ύπαρξη του Θεού με μαθηματικό τρόπο χρησιμοποιώντας υπολογιστές. Οι δύο επιστήμονες τυποποίησαν το θεώρημα του μαθηματικού Kurt Gödel περί υπάρξεως του Θεού ωστόσο αυτή η οπτική γωνία τίθεται κάπως υπό αμφισβήτηση. Το πραγματικό επίτευγμα είναι το παράδειγμα που δίνουν για το πώς οι υπολογιστές και η προηγμένη τεχνολογία μπορεί να απλοποιήσουν και να προωθήσουν την επιστημονική ανακάλυψη.

Όταν ο Gödel πέθανε το 1978, άφησε ως κληρονομιά μια ελκυστική θεωρία βασισμένη σε αρχές της λογικής με την οποία αποδείκνυε την ύπαρξη ενός ανωτέρου όντος.

Tριγωνισμός

Ένα πολύ ωραίο πρόβλημα λογικής και απλής αριθμητικής. Το μόνο σκακιστικό προσόν που απαιτείται, είναι να ξέρει κάποιος πώς κινούνται τα κομμάτια.

Στη θέση του διαγράμματος ο Μαύρος έχει μόλις παίξει την κίνησή του. Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός κινήσεων που μπορεί να έχουν παιχτεί στην παρτίδα;

Υπενθυμίζω ότι ως "κίνηση" στο σκάκι εννοούμε την διπλή κίνηση. Μια κίνηση του Λευκού και η απάντηση του Μαύρου είναι 1 κίνηση,κ.λ.π. Τα Λευκά ξεκινούν πάντα πρώτα. Η σκακιέρα είναι τοποθετημένη "κανονικά". Κάτω, είναι η έδρα του λευκού.

Υπάρχει αληθινή;

Ακολουθούν 6 προτάσεις/δηλώσεις. Πόσες και ποιες από αυτές είναι αληθείς;

1. Ακριβώς μία από αυτές τις δηλώσεις είναι ψευδής.

2. Ακριβώς δύο από αυτές τις δηλώσεις είναι ψευδείς.

3. Ακριβώς τρεις από αυτές τις δηλώσεις είναι ψευδείς.

4. Ακριβώς τέσσερις από αυτές τις δηλώσεις είναι ψευδείς.

5. Ακριβώς πέντε από αυτές τις δηλώσεις είναι ψευδείς.

6. Ακριβώς έξι από αυτές τις δηλώσεις είναι ψευδείς.

▪Προγραμματιστές

"Ad absurdum"

Aρχαίο λατινικό ιστολόγιο Μαθηματικών
O Γιώργος κοιτάζει τη Μαρία. Η Μαρία κοιτάζει το Θύμιο. Ο Γιώργος είναι προγραμματιστής.

Ο Θύμιος δεν είναι προγραμματιστής. Υπάρχει κάποιος προγραμματιστής που κοιτάζει κάποιον που δεν είναι προγραμματιστής;

▪ Πρόβλημα Λογικής "για παιδιά"

"Όποιος γνωρίζει, πράττει. Όποιος καταλαβαίνει, διδάσκει"

Αριστοτέλης

Το παρακάτω πρόβλημα Λογικής, το βρήκα σε ένα γερμανικό βιβλίο με προβλήματα "για παιδιά". Κάνει και για μεγάλους όμως.

-Ο Γιαννάκης έχει περισσότερα από 20 βιβλία, λέει ο Πέτρος.

-Όχι. Έχει λιγότερα από 20 βιβλία, λέει η Μαιρούλα.

-Ο Γιαννάκης έχει τουλάχιστον ένα βιβλίο, λέει ο Κωστάκης.

Αν μόνο μία από τις τρεις δηλώσεις είναι αληθινή, είσαι σίγουρος για το πόσα βιβλία έχει ο Γιαννάκης;

▪ O σοφός σύμβουλος

O Mέγας και πανίσχυρος αλλά και αιμοσταγής Αυτοκράτορας Εμπεράι Χαν καλεί τους 4 συμβούλους του και τους θέτει το ερώτημα:

Yπάρχει ένας άνθρωπος ανάμεσα στα εκατομμύρια των υπηκόων μου που θέλει να μου τραβήξει τα μουστάκια!

Δεν είναι τρελός!

Πώς πρέπει να του συμπεριφερθώ;

Ο σύμβουλος Α λέει: Nα τον κλείσεις στο βαθύ μπουντρούμι και να βασανιστεί μέχρι θανάτου.

Ο σύμβουλος Β λέει: Να τον κρεμάσουμε από το ψηλό τείχος του παλατιού για παραδειγματισμό.

Ο σύμβουλος Γ λέει: Nα του δώσεις την ευκαιρία να απολογηθεί και να εξηγήσει το λόγο.

Ο σύμβουλος Δ λέει: Nα του προσφέρεις τα καλύτερα γλυκίσματα!

Ποιος έδωσε τη σωστή συμβουλή;