True or False

Σύνολα οκτώ αριθμών

Να βρεθούν όλα τα σύνολα οκτώ θετικών ακεραίων των οποίων το άθροισμα ισούται με το γινόμενό τους. 

Για παράδειγμα, ένα τέτοιο σύνολο είναι το $\{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 8\}$.

$p + r + t=?$

Έστω $p, r$ και $t$ είναι πρώτοι αριθμοί διαφορετικοί μεταξύ τους,

- τα ακέραια πολλαπλάσια του $p$ σχηματίζουν το σύνολο $A$, 

- τα ακέραια πολλαπλάσια του $r$ σχηματίζουν το σύνολο $B$,

- τα ακέραια πολλαπλάσια του$t$ σχηματίζουν το σύνολο $C$.

Είναι γνωστό ότι δύο από τους αριθμούς $220, 245, 330$ και $350$ είναι στοιχεία του συνόλου με μπλε χρώμα και οι άλλοι δύο είναι στοιχεία του συνόλου με κίτρινο χρώμα.

Κατά συνέπεια, ποιο είναι το άθροισμα $p + r + t$;

Α) $10$      Β) $14$      Γ) $15$      Δ) $21$      E) $23$

$N\subseteq Z \subseteq Q \subseteq R$

Διάταξη συνόλων.

Operations on Sets

Όλος ο κόσμος των αριθμών !

THEOREM OF THE DAY: De Morgan’s Laws

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Πιατέλα σερβιρίσματος με διάγραμμα Venn

De Morgan's Law

Σύνολα αριθμών

Οι φυσικοί αριθμοί από το $1$ έως το $100$ αντιπροσωπεύονται από το καθολικό σύνολο $Ε$. Στο $Ε$ υπάρχουν τρία σύνολα $A, B$ και $C$ στα οποία υπάρχουν:

• Πολλαπλάσια του $2$ στο σύνολο $A$,

• Διψήφιοι αριθμοί που είναι πολλαπλάσιοι του $3$ στο σύνολο $B$,

• Αριθμοί μικρότεροι του $50$ που είναι πολλαπλάσιοι του $5$ στο σύνολο $C$.

Ποιο από τα παρακάτω δεν μπορεί να είναι αριθμός επιλεγμένος από τις κόκκινες περιοχές;

Α) $60$      Β) $55$      Γ) $40$      Δ) $45$      Ε) $30$

Το τρίτο σύνολο

Σύνολο Cantor

Θυμηθείτε ότι το σύνολο Cantor λαμβάνεται παίρνοντας το μοναδιαίο διάστημα $[0,1]$ αφαιρώντας το "μεσαίο τρίτο" (δηλαδή το διάστημα $(1/3, 2/3))$, μετά τα δύο "μεσαία τρίτα" των υπολοίπων διαστημάτων (δηλαδή τα διαστήματα $(1/9, 2/9)$ και $(7/9, 8/9))$, μετά τα τέσσερα «μεσαία τρίτα», κ.λπ., κ.λπ., επ’ άπειρον, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Να βρεθεί η μέση απόσταση μεταξύ δύο σημείων στο σύνολο Cantor.

Αρχιμήδεια Ιδιότητα

Το σύνολο των φυσικών αριθμών $N$ δεν είναι άνω φραγμένο.

Απόδειξη

Έστω ότι είναι. Εφόσον είναι μη κενό τότε θα έχει ένα ελάχιστο άνω φράγμα, το $b$. Το $b − 1$ δεν θα είναι άνω φράγμα του $N$, επομένως υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του N, έστω $n_0$ τέτοιο ώστε $n_0 > b − 1$ ή αλλιώς $n_0 + 1 > b$. 

Εφόσον όμως το $n_0 ∈ N$ τότε και $n_0 + 1 ∈ N$, το οποίο έρχεται σε αντίθεση με την αρχική υπόθεση.

Τι είναι το Άπειρο και ποια η διαφορά με το Απειροστό;

Η έννοια του απείρου

Το Άπειρο είναι μία έννοια με ιδιαίτερη γοητεία, που προβλημάτισε τον άνθρωπο εδώ και χιλιάδες χρόνια. Είναι μια «οντότητα» που έχει δημιουργήσει πολλά παράδοξα και έχει πυροδοτήσει πολλές συζητήσεις.

Ο μεγάλος προσωκρατικός φιλόσοφος Αναξίμανδρος ήταν ο πρώτος που αναφέρθηκε στο άπειρο, λέγοντας ότι αυτό είναι μια οντότητα απροσδιόριστη, σταθερή και αμετάβλητη, η αρχή του Κόσμου και η κατάληξή του.

Γραφική παράσταση $A\times B$

Δίνονται τα σύνολα 

$Α= \{χ \in Ζ: -3<χ \leq 1 \}$

$Β= \{χ \in R: -1 \leq χ < 1 \}$

Κατά συνέπεια, η γραφική παράσταση του $A\times B$ είναι:

Πράξεις με σύνολα

$\overline{A \cup B}= \overline{A} \cap \overline{B}$

Αν $A$ και $B$  υποσύνολα του δειγματικού χώρου $U$, τότε 

Απόδειξη

Έχουμε διαδοχικά:

 $\overline{A \cup B} = U −(A ∪B) = {x : (x ∈ U)∧(x ∉ A ∪B)}$

$= {x : (x ∈ U)∧ ∼ (x ∈ A ∪B)}$

$= {x : (x ∈ U)∧ ∼ ((x ∈ A)∨(x ∈ B))}$

$= {x : (x ∈ U)∧(∼ (x ∈ A)∧ ∼ (x ∈ B))}$

$= {x : (x ∈ U)∧(x ∉ A)∧(x ∉ B)}$

$= {x : (x ∈ U)∧(x ∈ U)∧(x ∉ A)∧(x ∉ B)}$

$= {x : ((x ∈ U)∧(x ∉ A))∧((x ∈ U)∧(x ∉ B))}$

$= {x : (x ∈ U)∧(x ∉ A)}∩{x : (x ∈ U)∧(x ∉ B)}$

$= (U − A)∩(U −B)$

$=  \overline{A} \cap  \overline{B}$. ο.ε.δ.

Επιλογή υποσυνόλου

Με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε ένα υποσύνολο του συνόλου 

 $\big\{1, 2, 3, . . ., 11\big\}$ 

που δεν περιέχει τρεις διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς;

Λόγος $\dfrac{P_1}{P_2}$

Έστω το σύνολο

$A_1$ = {$log_{2k-1}(2k + 1)$ | $k$ ακέραιος $2 \leq k \leq 1093$}

και το σύνολο

$A_2$ ={$log_{2k+1}(2k- 1)$ | $k$ ακέραιος $2 \leq k \leq 364$}.

Ορίζουμε ως $P_1$ το γινόμενο όλων των στοιχείων του συνόλου $A_1$ και ως $P_2$ το γινόμενο όλων των στοιχείων του συνόλου $A_2$.

Να βρεθεί ο λόγος $\dfrac{P_1}{P_2}$.

Μικρότεροι του 10000

Έστω το σύνολο 

$S$ = {$47x + 54y$ | $x, y$ είναι μη αρνητικοί ακέραιοι}. 

Μεταξύ των θετικών ακεραίων των μικρότερων από το $10000$, πόσοι από αυτούς δεν περιλαμβάνονται στο σύνολο $S$;