Ανεστραμμένη Τάξη στις Ανισώσεις: Μαθαίνουμε Αντίστροφα, Κατανοούμε Καλύτερα!

Η ανεστραμμένη τάξη (flipped classroom) είναι ένα σύγχρονο παιδαγωγικό μοντέλο όπου η παραδοσιακή διαδικασία διδασκαλίας αναστρέφεται.

Αντί οι μαθητές να μαθαίνουν τη θεωρία μέσα στην τάξη και να κάνουν ασκήσεις στο σπίτι, πρώτα μελετούν το νέο υλικό μόνοι τους (π.χ., μέσω βίντεο, online διαλέξεων ή σημειώσεων) και στη συνέχεια, μέσα στην τάξη, εστιάζουν στην εφαρμογή της γνώσης μέσω συζητήσεων, ασκήσεων, και συνεργατικών δραστηριοτήτων.

Βασικά χαρακτηριστικά της ανεστραμμένης τάξης:

[40] - Algebraic Inequalities from and for Contests

Αν 

$K=a+b$

$L=\sqrt{a^2{\cos }^2\alpha +b^2{\sin }^2\alpha }+\sqrt{a^2{\sin }^2\alpha +b^2{\cos }^2\alpha }$

$M=\sqrt{2(a^2+b^2)}$ 

δείξτε ότι $$K\le L\le M$$ για όλους τους $a,b\ge 0$ και όλες τις γωνίες $\alpha$.

Ένα μεγάλο εκθετικό ερώτημα

 

ΒΙΒΛΙΟ: Solving Problems in Algebra and Trigonometry (pdf)

Click on the image.

Πύργος Εκθετών 127

 

[61] - Algebraic Systems from and for Contests

[60] - Algebraic Systems from and for Contests

 

Η Δύναμη των Εκθετών: Βρίσκοντας το r

 

Επτά Συμμετρικά Συστήματα

Να λυθούν τα συστήματα:

$$1.\{\begin{array}{l}x+2y+z=14\\ 2x+y+z=12\\ x+y+2z=18\end{array}$$ $$2.\{\begin{array}{l}x+y=7\\ y+z=-2\\ z+x=9\end{array}$$

$$3.\{\begin{array}{l}xy=6\\ yz=-2\\ zx=10\end{array}$$ $$4.\{\begin{array}{l}(x+1)(y+1)=24\\ (y+1)(z+1)=30\\ (z+1)(x+1)=20\end{array}$$

[21] - Equations for and from Math Contests

 

Μαθηματικά για Όλους: Για Μικρούς Μαθητές και Μεγάλους Αναγνώστες [25]

Μαθηματικά για μικρούς μαθητές ή για ενήλικες που θέλουν να φρεσκάρουν τις αναμνήσεις τους.

 

Τηλεσκοπικό Γινόμενο Λογαρίθμων

Το γινόμενο 

$\prod _{k=4}^{63}{\displaystyle \frac{{\log }_k(5^{k^2-1})}{{\log }_{k+1}(5^{k^2-4})}}=$

$={\displaystyle \frac{{\log }_4(5^{15})}{{\log }_5(5^{12})}}\cdot {\displaystyle \frac{{\log }_5(5^{24})}{{\log }_6(5^{21})}}\cdot {\displaystyle \frac{{\log }_6(5^{35})}{{\log }_7(5^{32})}}\cdots {\displaystyle \frac{{\log }_{63}(5^{3968})}{{\log }_{64}(5^{3965})}}$

είσαι ίσο με ${\displaystyle \frac{m}{n}},$ όπου $m$ και $n$ είναι μεταξύ τους πρώτοι. Να βρεθεί το άθροισμα $m+n.$

AIME 2025

Η Τιμή της tan⁡19∘

Είναι η εφαπτομή $\tan ({19}^{\circ })$ ρητός αριθμός;

Όροι αριθμητικής προόδου

Αν $p^2-qr$, $q^2-rp$, και $r^2-pq$ είναι όροι αριθμητικής προόδου και $p+q+r\ne 0$, τότε να αποδειχθεί ότι και οι αριθμοί $p,q,r$ αποτελούν όρους αριθμητικής προόδου.

[58] - Algebraic Systems from and for Contests

 

Απλοποίηση Πολυπλοκότητας

Να απλοποιηθεί το κλάσμα:

[20] - Equations for and from Math Contests

Nα λυθεί η εξίσωση: $$x^2+\frac{1}{x}+7(x+1)=8\sqrt{2(x^2+1)}.$$

Τιμή Αθροίσματος Μεγάλων Δυνάμεων

 

Τιμή Διαφοράς Τετραγώνων

Υπολογίστε την τιμή της παράστασης $x^2-y^2$ από το σύστημα: $$\{\begin{array}{l}ax+by={\displaystyle \frac{a+b}{2}}\\ bx+ay=\sqrt{ab}\end{array}$$

Η Δυναμική της Συμμετρίας στην Ανισότητα του Schur

Η Ανισότητα του Schur

Η ανισότητα του Schur δηλώνει ότι για όλους τους μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς $x$, $y$, $z$, και για $t>0$, ισχύει: $$x^t(x-y)(x-z)+y^t(y-z)(y-x)+z^t(z-x)(z-y)\ge 0$$ με ισότητα, αν και μόνο αν $x=y=z$ ή αν δύο από αυτά είναι ίσα και το άλλο μηδέν. Όταν $t=1$, παίρνουμε την ειδική περίπτωση: $$x^3+y^3+z^3+3xyz\ge xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)$$

 

Απόδειξη

Εφόσον η ανισότητα είναι συμμετρική ως προς $x$, $y$, $z$, μπορούμε να υποθέσουμε, χωρίς απώλεια γενικότητας, ότι $x\ge y\ge z$. Τότε, η ανισότητα: $$(x-y)[x^t(x-z)-y^t(y-z)]+z^t(x-z)(y-z)\ge 0$$ ισχύει, καθώς κάθε όρος στην αριστερή πλευρά της ανισότητας είναι μη αρνητικός. Αυτό οδηγεί στην αρχική ανισότητα του Schur.