[65] - Algebraic Systems for and from Contests

Κλασματική και εκθετική

Να λυθεί η εξίσωση:

 

Το Λήμμα του Titu

Το Λήμμα του Titu (ή Ανισότητα του Titu) είναι μια άμεση εφαρμογή της ανισότητας Cauchy-Schwarz και δηλώνει:

Για θετικούς πραγματικούς αριθμούς $a_1,a_2,\dots ,a_n$ και $b_1,b_2,\dots ,b_n$ με $b_i>0$, ισχύει: $$\sum _{i=1}^n\frac{a_i^2}{b_i}\ge \frac{{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)}^2}{\sum _{i=1}^n{b}_i}.$$

Η ανισότητα προκύπτει από την Cauchy-Schwarz για τις ακολουθίες $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ και $(\sqrt{b_1},\sqrt{b_2},\dots ,\sqrt{b_n})$: $${\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\sqrt{b_i}\right)}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{a}_i^2\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^n{b}_i\right).$$ Διαιρώντας και στα δύο μέλη με $\sum b_i$, προκύπτει η ανισότητα του Titu. Η ισότητα ισχύει, αν και μόνο αν, υπάρχει σταθερά $k$ τέτοια ώστε: $$\frac{a_1}{\sqrt{b_1}}=\frac{a_2}{\sqrt{b_2}}=\cdots =\frac{a_n}{\sqrt{b_n}}.$$

Ισότητες και Ανισότητες στο Τρίγωνο [14-19]

14. Σε κάθε τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ να αποδειχθεί: $${\displaystyle \frac{A{\alpha }^4}{\pi -A}}+{\displaystyle \frac{B{\beta }^4}{\pi -B}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }{\gamma }^4}{\pi -\mathrm{\Gamma }}}\ge 8E$$ 15. Σε κάθε τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ να αποδειχθεί: $${\displaystyle \frac{{\alpha }^4}{{\beta }^8({\gamma }^4+{\alpha }^4)}}+{\displaystyle \frac{{\beta }^4}{{\beta }^8({\alpha }^4+{\beta }^4)}}+{\displaystyle \frac{{\gamma }^4}{{\alpha }^8({\beta }^4+{\gamma }^4)}}\ge {\displaystyle \frac{1}{2R^2}}$$

 

16. Σε κάθε τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ να αποδειχθεί: $${\displaystyle \frac{{\alpha }^5}{2\alpha +\beta +\gamma }}+{\displaystyle \frac{(\alpha +\beta ){\beta }^4}{{\gamma }^4}}+{\displaystyle \frac{{\gamma }^4}{{\alpha }^8({\beta }^4+{\gamma }^4)}}\ge 8E^2$$ 17. Σε κάθε τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ να αποδειχθεί: $${\displaystyle \frac{\kappa {\alpha }^2}{\lambda +\mu }}+{\displaystyle \frac{\lambda {\beta }^2}{\mu +\kappa }}+\frac{\mu {\gamma }^2}{\kappa +\lambda }\ge 2E\sqrt{4-{\displaystyle \frac{2\rho }{R}}}\ge 2E\sqrt{3}$$

Απόδειξη Ιδιότητας των Ριζών Τριωνύμου

Η εξίσωση $a{x}^2+bx-a=0$ έχει ρίζες $x_1$ και $x_2$. Να αποδείξετε ότι $${\displaystyle \frac{x_1^2+1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{x_2^2+1}{x_2}}=0(a\ne 0).$$

Διαγνωστικό Τεστ Άλγεβρας για τον Λογισμό (Ian Stewart)

1. Υπολογίστε κάθε παράσταση χωρίς τη χρήση υπολογιστή:

(α) $(-3{)}^4$

(β) $-3^4$

(γ) $3^{-4}$

(δ) ${\displaystyle \frac{5^{23}}{5^{21}}}$

(ε) ${\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{-2}$

(στ) ${16}^{-3/4}$

2. Απλοποιήστε κάθε παράσταση. Γράψτε την απάντησή σας χωρίς αρνητικούς εκθέτες.

(α) $\sqrt{200}-\sqrt{32}$

(β) $(3a{b}^2)(4a{b}^2{)}^2$

(γ) ${\left({\displaystyle \frac{3x^{3/2}{y}^3}{x^2{y}^{-1/2}}}\right)}^{-2}$

Κατανομή ριζών σε διαστήματα

Να διερευνήσετε πώς κατανέμονται οι ρίζες της εξίσωσης $$(x^2-x\tan v{)}^2\cdot x^2-\frac{1}{4{\cos }^{6}v}=0$$ στα διαστήματα $(-\mathrm{\infty },0)$, $(0,\tan v)$ και $(\tan v,\mathrm{\infty })$, όταν $v$ είναι οξεία γωνία.

Υπερπαράσταση ζητεί απλότητα

Να απλοποιηθεί η παράσταση: $$b^2:[a-a^2:\{a+b^2:(a-b^2:a)\}]$$

ή καλύτερα έτσι:

$${\displaystyle \frac{b^2}{\left[{\displaystyle \frac{a-a^2}{\left\{{\displaystyle \frac{a+b^2}{\left({\displaystyle \frac{a-b^2}{a}}\right)}}\right\}}}\right]}}$$

[64] - Algebraic Systems from and for Contests

 

[42] - Algebraic Inequalities from and for Contests

Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι: $${\displaystyle \frac{a\sqrt{a}}{2a+b}+\frac{b\sqrt{b}}{2b+c}+\frac{c\sqrt{c}}{2c+a}\le \frac{(a+b+c)\sqrt{a+b+c}}{3\sqrt{3}\sqrt[3]{abc}}.}$$

Υπολογισμός Κλασματικής Έκφρασης

Η εξίσωση $${\displaystyle \frac{1}{6+x}}+{\displaystyle \frac{1}{3+x}}+{\displaystyle \frac{1}{2+x}}=1$$ έχει δύο ρίζες $x\ne 0$. Υπολογίστε την τιμή της έκφρασης: $${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{(6+x{)}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{(3+x{)}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{(2+x{)}^2}}}{{\displaystyle \frac{1}{6(6+x{)}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{3(3+x{)}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{2(2+x{)}^2}}}}$$

[63] - Algebraic Systems from and for Contests

[41] - Algebraic Inequalities from and for Contests

Δείξτε ότι για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x>0$ και $x\ne 1$, ισχύει: $${\displaystyle \frac{1-\sqrt[3]{x}}{1-x}}\le {\displaystyle \frac{\sqrt[3]{1+x}}{1+x}}.$$

Ποιος εφηύρε την Άλγεβρα;

Η άλγεβρα δεν είναι εφεύρεση ενός μόνο ανθρώπου ή πολιτισμού, αλλά αποτέλεσμα μιας μακράς εξελικτικής πορείας που ξεκίνησε από την αρχαιότητα και διαμορφώθηκε από τις συνεισφορές πολλών λαών. 

Από τη Βαβυλώνα και την Αίγυπτο έως την Ελλάδα, τον ισλαμικό κόσμο και τη νεότερη Ευρώπη, η άλγεβρα αναπτύχθηκε ως εργαλείο επίλυσης προβλημάτων, αφήνοντας ανεξίτηλο αποτύπωμα στην επιστήμη και την τεχνολογία.

---

Οι Ρίζες της Άλγεβρας στην Αρχαιότητα

[62] - Algebraic Systems from and for Contests

 

Ημίτονα και Ορίζουσα

Να αποδειχθεί ότι $$\left|\begin{array}{ccc}\sin (x+y)& \sin (2x+y)& \sin (3x+y)\\ \sin (4x+y)& \sin (5x+y)& \sin (6x+y)\\ \sin (7x+y)& \sin (8x+y)& \sin (9x+y)\end{array}\right|=0.$$

Ανισότητα στη μοναδιαία σφαίρα

Αποδείξτε ότι αν μια τριάδα μη αρνητικών αριθμών $x$, $y$, $z$ ικανοποιεί την εξίσωση της μοναδιαίας σφαίρας: 

$x^2+y^2+z^2=1$

τότε αληθεύει η ανισότητα 

${\displaystyle \frac{x}{1-x^2}}+{\displaystyle \frac{y}{1-y^2}}+{\displaystyle \frac{z}{1-z^2}}\ge {\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}$ 

V. Matizen

Σύστημα με φρούτα

Nα λυθεί:

Ανεστραμμένη Τάξη στις Ανισώσεις: Μαθαίνουμε Αντίστροφα, Κατανοούμε Καλύτερα!

Η ανεστραμμένη τάξη (flipped classroom) είναι ένα σύγχρονο παιδαγωγικό μοντέλο όπου η παραδοσιακή διαδικασία διδασκαλίας αναστρέφεται.

Αντί οι μαθητές να μαθαίνουν τη θεωρία μέσα στην τάξη και να κάνουν ασκήσεις στο σπίτι, πρώτα μελετούν το νέο υλικό μόνοι τους (π.χ., μέσω βίντεο, online διαλέξεων ή σημειώσεων) και στη συνέχεια, μέσα στην τάξη, εστιάζουν στην εφαρμογή της γνώσης μέσω συζητήσεων, ασκήσεων, και συνεργατικών δραστηριοτήτων.

Βασικά χαρακτηριστικά της ανεστραμμένης τάξης:

[40] - Algebraic Inequalities from and for Contests

Αν 

• $K=a+b$
• $L=\sqrt{a^2{\cos }^2\alpha +b^2{\sin }^2\alpha }+\sqrt{a^2{\sin }^2\alpha +b^2{\cos }^2\alpha }$
• $M=\sqrt{2(a^2+b^2)}$ 

δείξτε ότι $$K\le L\le M$$ για όλους τους $a,b\ge 0$ και όλες τις γωνίες $\alpha$.