Συστημικές υπερδυνάμεις

Να λυθεί το σύστημα:

@matematyczny-swiat

$a+b+c+d=?$

A-Start Math Tournament 2016

[14] - Algebraic Equations for Contests

Άρρητη παράσταση

Να υπολογιστεί:

Το πρόβλημα των ίσων καταθέσεων

ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Καταθέτουμε σε μια τράπεζα στην αρχή κάθε χρόνου $α$ ευρώ με ανατοκισμό και επιτόκιο $ε\%$. Τι ποσό θα πάρουμε ύστερα από $ν$ χρόνια;

(Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό ως πρόβλημα των ίσων καταθέσεων).

ΛΥΣΗ

Η $1$η κατάθεση θα ανατοκιστεί για $ν$ χρόνια και επομένως, σύμφωνα με τον τύπο του ανατοκισμού, θα γίνει $α(1+τ)^ν$, όπου $τ=\dfrac{ε}{100}.$ 

Η $2$η κατάθεση θα ανατοκιστεί να $ν-1$ χρόνια και επομένως θα γίνει $α(1+τ)^{ν-1}$ κτλ. και η $v$-η κατάθεση θα τοκιστεί για $1$ χρόνο και θα γίνει $α(1 + τ)$. 

Συνεπώς ύστερα από $ν$ χρόνια θα πάρουμε το ποσό

[45] - Algebraic Systems for Contests

Το πρόβλημα ανατοκισμού

ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο α ευρώ με ετήσιο επιτόκιο $ε%$. Με τη συμπλήρωση ενός χρόνου οι τόκοι προστίθενται στο κεφάλαιο και το ποσό που προκύπτει είναι το νέο κεφάλαιο που τοκίζεται με το ίδιο επιτόκιο για τον επόμενο χρόνο. 

Αν η διαδικασία αυτή επαναληφθεί για $ν$ χρόνια, να βρεθεί πόσα χρήματα θα εισπράξουμε στο τέλος του $ν$-ου χρόνου.

(Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό ως πρόβλημα ανατοκισμού).

ΛΥΣΗ

Στο τέλος του $1$ου χρόνου το κεφάλαιο $α$ θα δώσει τόκο $\dfrac{ε}{100}\cdot α$ και μαζί με τον τόκο θα γίνει

[31] - Algebraic Inequalities for Contests

[44] - Algebraic Systems for Contests

$Α^Β=?$

Δυναμικό και σύνθετο κλάσμα

Να απλοποιηθεί το σύνθετο κλάσμα:

Άγνωστος άλφα

Να λυθεί η εξίσωση:

Δεν υπάρχουν !

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν πολυώνυμα \( P(x) \) και \( Q(x) \), με \( Q(x) \neq 0 \), που να ικανοποιούν την εξίσωση: \[ \frac{P(x)}{Q(x)} = \sqrt{x^{2018} + 2017} \] για κάθε πραγματικό \( x \).

[43] - Algebraic Systems for Contests

 

[42] - Algebraic Systems for Contests

Ανισότητες και τα διαστήματα που συνδέονται με αυτές

Μία ωραία συλλογιστική !

Aν 

$a ^3 – b ^3 – c ^3 = 3 abc $

$a ^2 = 2( b + c )$ 

να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί $a,b,c$.

Λύση

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να λυθεί το σύστημα, αλλά ο Raymond Huck από το Marietta College βρήκε έναν εντυπωσιακά απλό τρόπο. 

[41] - Algebraic Systems for Contests

 

Ο Τρόπος που Διαβάζουμε Μαθηματικά: Γιατί το –1² = –1 Προκαλεί Σύγχυση;

Στα μαθηματικά, οι κανόνες και οι συμβάσεις αποτελούν θεμελιώδες μέρος της κατανόησης και της επικοινωνίας. Ωστόσο, ορισμένες συμβάσεις, όπως το ότι $−1^2=−1$, φαίνονται παράδοξες ή ακόμη και αντίθετες με την κοινή λογική. 

Πώς φτάνουμε να κατανοήσουμε αυτές τις συμβάσεις, και τι μας διδάσκουν για τη σχέση ανάμεσα στη γλώσσα και τα μαθηματικά;

Η Συμβατικότητα της Μαθηματικής Σημειογραφίας

Όταν βλέπουμε την έκφραση $-1^2$, η μαθηματική σύμβαση απαιτεί να διαβάζουμε την ύψωση σε δύναμη πριν από την εφαρμογή του αρνητικού προσήμου.

Τιμή παράστασης