Η γεωμετρία των τεσσάρων + 1 κύκλων

Τέσσερις ίσοι κύκλοι εφάπτονται ανά δύο μεταξύ τους και ταυτόχρονα εφάπτονται εσωτερικά σε έναν μεγαλύτερο κύκλο.

Να βρεθεί ο λόγος της ακτίνας του μεγάλου κύκλου προς την ακτίνα των μικρότερων κύκλων;

Το Θεώρημα Sangaku για την Τριγωνοποίηση Εγγεγραμμένων Πολυγώνων

Παλαιό Ιαπωνικό Θεώρημα (Roger Johnson, Advanced Euclidean Geometry, 1929)

Έστω ένα κυρτό πολύγωνο με nnn πλευρές, εγγεγραμμένο σε κύκλο. Μπορούμε να το διαμερίσουμε σε τρίγωνα με διαφορετικούς τρόπους, επιλέγοντας διαφορετικές διαγωνίους.

Όποιον τρόπο και αν επιλέξουμε, αν σχεδιάσουμε τους εγγεγραμμένους κύκλους των τριγώνων που προκύπτουν, το άθροισμα των ακτίνων τους παραμένει σταθερό. 

Δηλαδή, είναι ανεξάρτητο από τη συγκεκριμένη διαμέριση του πολυγώνου σε τρίγωνα.

Sangaku με ίσους κύκλους

Το σημείο $D$ στην πλευρά $BC$ του $\Delta ABC$ είναι τέτοιο ώστε οι περιγγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $ACD$ και $ABD$ να έχουν ίσες ακτίνες. 

Να βρείτε το μήκος της $AD$, συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου.

Pappus' Sangaku

Οι κύκλοι $C_1(r)$ και $C_2(r)$ εφάπτονται στο ${\rm O}$ στον κύκλο $O(2r)$ και επίσης εφάπτονται στο $O(2r)$, ενώ ο $C_1(r)$ εφάπτεται στο ${\rm T}$. 

Ο $O_1(r_1)$ εφάπτεται εσωτερικά στο $O(2r)$ και εξωτερικά τόσο στον $C_1(r)$ όσο και στον $C_2(r)$, ο $O_2(r_2)$ εφάπτεται εξωτερικά στον $O_1(r_1)$ και στον $C_1(r)$ και εσωτερικά στο $O(2r)$ κ.ο.κ.

Βρείτε το $r_n$.

Ένα sangaku του 1893

Το ορθογώνιο που αποκόπτεται από ένα ορθογώνιο τρίγωνο αφήνει στο εσωτερικό του τρία ορθογώνια τρίγωνα με ακτίνες εγγεγραμμένων κύκλων $r_1,r_2,r_3$, σε αύξουσα σειρά. 

Δείξτε ότι όταν το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι μέγιστο, τότε ισχύει η σχέση $$r_1^2\cdot r_2^2=r_3^2.$$

Triangles, Squares and Areas from Temple Geometry

Πέντε τετράγωνα είναι διατεταγμένα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. 

Δείξτε ότι το εμβαδόν του τριγώνου $KMN$ ισούται με το εμβαδόν του τετραγώνου $BEKH$.

Solution

Sangaku με Versines

Έστω $MP$ και $NQ$ οι μεσοκάθετοι των $AB$ και $AC$ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι:

 $4·MP·NQ=A{I}^2$.

Sangaku, 1825

Sangaku από το Περού

Να αποδειχθεί ότι:  $${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}={\displaystyle \frac{1}{m}}+{\displaystyle \frac{1}{n}}.$$

Sangaku Journal of Mathematics

Sangaku Journal of Mathematics (SJM) is an open-access electronic journal devoted to geometry problems in the Wasan tradition. Wasan refers to traditional Japanese mathematics of the Edo period.

Click on the image.

Κύκλοι και τρίγωνο

Ένα ισοσκελές τρίγωνο με βάση τη διάμετρο του μεγάλου πράσινου κύκλου εφάπτεται στο εσωτερικό του κύκλου. Ο κόκκινος κύκλος διέρχεται από μια κορυφή του τριγώνου και εγγράφεται στον πράσινο κύκλο,  όπως φαίνεται στο σχήμα.

Επιπλέον, υπάρχει ένας μπλε κύκλος στο εσωτερικό του πράσινου κύκλου, που εφάπτεται στον κόκκινο κύκλο και στο τρίγωνο. 

Δείξτε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που διέρχεται από το κέντρο του μπλε κύκλου και το κοινό σημείο του κόκκινου κύκλου και του τριγώνου είναι κάθετο στη διάμετρο του πράσινου κύκλου.

Έλλειψη σε ορθογώνιο τρίγωνο

Μια έλλειψη είναι εγγεγραμμένη σε ορθογώνιο τρίγωνο και ο μεγάλος άξονάς της είναι παράλληλος με την υποτείνουσα. 

Δύο εφαπτόμενοι κύκλοι της ίδιας ακτίνας είναι εγγεγραμμένοι στην έλλειψη. Ένας τρίτος κύκλος, ίδιας ακτίνας με τους δύο πρώτους, εφάπτεται τόσο στην έλλειψη όσο και στις άλλες δύο πλευρές του τριγώνου.

Να εκφραστεί η κοινή ακτίνα των τριών κύκλων ως προς τις πλευρές του τριγώνου.

Sangaku από Takasaka – Geisha Fan

Αυτό το πρόβλημα Sangaku παρουσιάζεται από τον Clifford A. Pickover στο βιβλίο του. Οφείλεται στον νεαρό (11 ετών) Kinjiro Takasaka (1873).

Ο λόγος των διαμέτρων των δύο μικρών κύκλων: κόκκινο (κάτω) και πράσινο (πάνω):

Εγγραφή τετραγώνου

Θεωρούμε δύο εφαπτομένους κύκλους και μια εφαπτομένη κοινή σε αυτούς τους δύο κύκλους. Αντί να εγγράψουμε έναν κύκλο στη μικρή περιοχή που οριοθετείται μεταξύ των κύκλων και της 

εφαπτομένης προτείνουμε να εγγράψουμε... ένα τετράγωνο, έτσι ώστε μια κορυφή να είναι σε επαφή με την εφαπτομένη και δύο άλλες με τους δύο κύκλους.

Να εκφραστεί η πλευρά του τετραγώνου συναρτήσει των ακτίνων των δύο κύκλων.

Sangaku Problems: Σχέσεις ακτίνων [3]

Να αποδειχθεί ότι:

$r=\sqrt{r_1{r}_2}+\sqrt{r_2{r}_3}+\sqrt{r_3{r}_1}$.

 

Σταθερό άθροισμα

Σε κάθε πολύγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο, όποιος κι αν είναι ο τρόπος τριγωνοποίησής του (δηλαδή ο χωρισμός του σε μη επικαλυπτόμενα τρίγωνα που έχουν ως κορυφές τις κορυφές του πολυγώνου), το άθροισμα των ακτίνων των κύκλων που εγγράφονται σε αυτά τα τρίγωνα είναι σταθερό.

Sangaku Problems: Σχέσεις ακτίνων [2]

Να αποδειχθεί ότι:

 ${\displaystyle \frac{1}{r_3}}={\displaystyle \frac{1}{r_1}}+{\displaystyle \frac{1}{r_2}}$.

Sangaku Problems: Σχέσεις ακτίνων [1]

Να αποδειχθεί ότι: 

$AB=2\sqrt{rR}$.

Εμβαδά με χρώματα [60]

Οι ακτίνες των πέντε κύκλων στο εσωτερικό του τετραγώνου έχουν μήκος $1$.Να βρεθεί το εμβαδόν του τετραγώνου. 

Sangaku Journal of Mathematics - Volumes 2017 - 2023

Volume 7 (2023)

Hiroshi Okumura, A rare sangaku problem involving three congruent circles, pp.1-8.

Hiroshi Okumura, Problems 2023-1, pp.9-12.

Paris Pamfilos, Note on a sangaku like construction of X(55), pp. 13-15.

Vishwesh Ravi Shrimali, Solution for Problems 2 and 3 of Problems 2023-1, pp. 16-19.

Kousik Sett, Solution for Problems 2 and 3 of Problems 2023-1 by Vishwesh Ravi Shrimali (ERRATA), p. 20.

Ercole Suppa and Marian Cucoanes, Solution of Problems 2023-1-6, pp. 21-28.

Hiroshi Okumura and Kousik Sett, The arbelos in Wasan geometry: the Aida arbelos and Problem 2023-1-5, pp. 29-31.

Hiroshi Okumura, A configuration arising from Problem 2023-1-1, pp. 32-34.

Volume 6 (2022)

Hiroshi Okumura, A note on a generalization of a five circle problem, pp.1-2.

Hiroshi Okumura, A note on a generalization of a five circle problem: Part 2, pp.3-5.

Πολύχρωμα ορθογώνια

Στο παρακάτω σχήμα έχουμε ένα κανονικό πεντάγωνο πλευράς $4$ και έξι ίσα ίσα ορθογώνια τρίγωνα γύρω από αυτό.

Να βρεθεί το μήκος της υποτείνουσας των ορθογωνίων τριγώνων.