Τετραγωνισμός του κύκλου

Τα εμβαδά αυτού του τετραγώνου και αυτού του κύκλου είναι και τα δύο ίσα με $π$. Το $1882$ αποδείχθηκε ότι το σχήμα αυτό δεν μπορεί να κατασκευαστεί σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων με κανόνα και διαβήτη.

@Cliff Pickover

Διπλασιασμός του κύβου (Δήλιο πρόβλημα)

Έστω ένας κύβος $C$ και $x$ το μήκος της ακμής του. Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε ότι το πρόβλημα είναι ισοδυναμο με την εύρεση ευθύγραμμων τμημάτων μήκους $p$ και $q$ έτσι ώστε  

  $\dfrac{x}{p}=  \dfrac{p}{q}=  \dfrac{q}{2x}$

από όπου παίρνουμε

$ 2x^3=p^3$ 

και έτσι: 

$\dfrac{p}{x}=\sqrt[3]{2} $

Επομένως, για να λυθεί το πρόβλημα πρέπει να κατασκευαστεί ακμή ίση με $\sqrt[3]{2}$, που δεν είναι δυνατόν να γίνει με κανόνα και διαβήτη.

Unsolved problems: P vs NP

Click on the image.

Unsolved problems: Hodge Conjecture

Click on the image.

Unsolved problems: Navier-Stokes Equation

Click on the image.

Unsolved problems: Riemann Hypothesis

Click on the image.

Unsolved problems: Yang-Mills & The Mass Gap

Click on the image.

Unsolved problems: Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture

Click on the image.

The Hardest Math Problem

Puzzle 

What math problem has taken the longest to be solved? It could be one that’s solved now, or one that’s still unsolved.

Let’s start by looking at one candidate question. Can you square the circle with compass and straightedge? After this question became popular among mathematicians, it took at least 2295 years to answer it!

Three Famous Problems from Ancient Greek Mathematics

Διπλασιασμός του κύβου με κανόνα και διαβήτη (πριν από 90 χρόνια)

Του Μιχάλη Λάμπρου, καθηγητή Πανεπιστημίου Κρήτης

Κάθε Κυριακή η εφημερίδα Καθημερινή έχει μία μικρή στήλη που την ονομάζει ΦΙΛΙΣΤΩΡ στην οποία αναπαράγει δύο-τρία γεγονότα τα οποία συνέβησαν πριν από 90 χρόνια, όπως τα κατέγραψε ο τότε δημοσιογραφικός τύπος. 

Πάντα η αναπαραγωγή αυτή είναι επιλεγμένη με οξυδέρκεια από τους συντάκτες του ΦΙΛΙΣΤΟΡΑ, και συχνά βλέπει κανείς πόσο έχει αλλάξει η οπτική από τότε μέχρι σήμερα. Το σημερινό φύλο της Καθημερινής (λόγω της αργίας των Θεοφανίων κυκλοφόρησε μία

Τετραγωνισμός του κύκλου – Η λύση του Δεινόστρατου

Στην μεγάλη επιτομή του Πάππου, η οποία πρέπει να γράφτηκε στην εποχή του αυτοκράτορα Διοκλητιανού (284-305 μ.Χ.),αναφέρεται ότι ο Δεινόστρατος, ο αδελφός του Μεναίχμου και ο Νικομήδης χρησιμοποίησαν για τον τετραγωνισμό του κύκλου μια καμπύλη, η οποία για τον λόγο αυτό ονομάστηκε τετραγωνίζουσα.

Τα Τρία Άλυτα Προβλήματα της Αρχαιότητας

1. Ο τετραγωνισμός του κύκλου, να κατασκευαστεί με χάρακα και διαβήτη τετράγωνο εμβαδού ίσο με το εμβαδόν δοθέντος κύκλου.

2. Ο διπλασιασμός του κύβου, να κατασκευαστεί με χάρακα και διαβήτη κύβος όγκου διπλάσιου του όγκου δοθέντος κύκλου.

3. Η τριχοτόμηση γωνίας, να χωριστεί με χάρακα και διαβήτη δοθείσα γωνία σε τρία ίσα μέρη.

Το «πρόβλημα 3n+1», ή εικασία του Collatz λύθηκε μετά από 86 χρόνια

Διατυπώθηκε από τον Lothar Collatz το $1937$ και τώρα ο μαθηματικός Gerhard Opferτου Πανεπιστημίου του Αμβούργου – που υπήρξε μαθητής του Collatz – ισχυρίζεται ότι έχει αποδείξει την εικασία.

No One Has Been Able To Solve This Mathematical Problem For A Century

Ramsey’s theorem has left mathematicians staring at a blank sheet of paper for decades. Since the 1930s, few have managed to make progress in solving this problem, but now researchers Jacques Verstraete and Sam Mattheus of the University of California at San Diego have finally found the answer.

The problem was also called: r(4,t). I’ll try to explain it briefly. In mathematical jargon, a graph is a series of points and the lines between them.

Η ανάσταση του 13ου προβλήματος του Hilbert

Στις αρχές του 20ου αιώνα, ο μεγάλος μαθηματικός David Hilbert κατέγραψε 23 άλυτα μέχρι τότε προβλήματα θεωρώντας, πως η επίλυσή τους θα διαμόρφωνε το μέλλον του πεδίου των μαθηματικών. Το 13ο πρόβλημα είναι σχετικό με την επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων έβδομου βαθμού.

Οι μαθηματικοί διαθέτουν ήδη σύντομες και αποτελεσματικές συνταγές για την επίλυση εξισώσεων δευτέρου, τρίτου και τέταρτου βαθμού. Οι τύποι επίλυσής τους – όπως ο γνωστός τύπος για τις ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης

  $x_{1,2}= \dfrac{-b \pm  \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$ 

περιλαμβάνουν αλγεβρικές πράξεις και ριζικά (π.χ. τετραγωνικές ρίζες).

Ένα μαθηματικό πρόβλημα αξίας ενός εκατομμυρίου δολαρίων

Η υπόθεση Ρίμαν είναι το πιο διαβόητο πρόβλημα μαθηματικών που παραμένει ακόμα άλυτο. Πρόκειται για μια εικασία που προτάθηκε από τον Bernhard Riemann το 1859 και αποτελεί μέχρι σήμερα το «Άγιο Δισκοπότηρο» των μαθηματικών.

Η διατύπωση της υπόθεσης Ρίμαν είναι η εξής: 

«Όλες οι μη τετριμένες ρίζες της συνάρτησης $ζ$ έχουν πραγματικό μέρος ίσο με $\dfrac{1}{2}$», όπου η συνάρτηση $ζ$ του Riemann ορίζεται από την εξίσωση:

Fermat's Last Theorem - The Theorem and Its Proof: An Exploration of Issues and Ideas [1993]

Fermat's Last Theorem July 28, 1993, Robert Osserman, Lenore Blum, Karl Rubin, Ken Ribet, John Conway, and Lee Dembart. Musical interludes by Morris Bobrow; songs by Tom Lehrer; and moderated by San Francisco Examiner publisher Will Hearst. 

"Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ" - Συνέντευξη του Andrew Wiles στο NOVA TV

ΕΚΦΩΝΗΤΗΣ: Απόψε, στη NOVA. Νίκησε το αδύνατο.

ANDREW WILES: Ξαφνικά, εντελώς απροσδόκητα, είχα αυτή την απίστευτη αποκάλυψη.

PETER SARNAK: Ήμουν έκπληκτος, ενθουσιασμένος, ταραγμένος.

ΕΚΦΩΝΗΤΗΣ: Πώς έλυσε αυτός ο άνθρωπος ένα αίνιγμα που συγκλόνισε τα μεγαλύτερα μυαλά για αιώνες;

ANDREW WILES: Πίστευα ότι έλυσα το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά.

ΕΚΦΩΝΗΤΗΣ: Η Απόδειξη.

ANDREW WILES: Ίσως θα μπορούσα να περιγράψω καλύτερα την εμπειρία μου από την ενασχόληση με τα μαθηματικά όσον αφορά την είσοδο σε μια σκοτεινή έπαυλη. Μπαίνει κανείς στο πρώτο δωμάτιο, και είναι σκοτεινό, εντελώς σκοτεινό.

Αυτό είναι το μαθηματικό πρόβλημα που χρειάστηκε σχεδόν 100 χρόνια για να λυθεί

Σε κάποιο σημείο της ζωής μας όλοι έχουμε βρεθεί στην κατάσταση που κοιτάμε ένα τεστ μαθηματικών το οποίο φαντάζει αδύνατο να λυθεί. Τι θα γινόταν αν η εύρεση της λύσης ενός προβλήματος διαρκούσε σχεδόν έναν αιώνα;

Για τους μαθηματικούς που ασχολούνται με το Θεώρημα Ramsey, αυτό συμβαίνει σε μεγάλο βαθμό. Στην πραγματικότητα, μικρή πρόοδος είχε σημειωθεί στην επίλυση προβλημάτων Ramsey από τη δεκαετία του 1930.