Millennial Questions: Η επίλυση αυτών των προβλημάτων θα σας κάνει πλουσιότερους κατά 1 εκατομμύριο δολάρια

Από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα, τα μαθηματικά προβλήματα που προσφέρουν χρηματικά έπαθλα έχουν προκαλέσει το ενδιαφέρον μαθηματικών σε όλο τον κόσμο. 

Το 2000, το Ινστιτούτο Clay αναγνώρισε επτά από τα μεγαλύτερα άλυτα μαθηματικά προβλήματα ως "Ερωτήσεις της Χιλιετίας" και προσέφερε 11 εκατομμύριο δολάρια για την αυστηρή και αποδεδειγμένη λύση καθενός από αυτά.

Αυτά τα προβλήματα είναι τα εξής:

• Yang-Mills και Mass Gap: Παραμένει άλυτο.

Το Άλυτο Πρόβλημα Κάλυψης του Lebesgue

Το Άλυτο Πρόβλημα Κάλυψης του Lebesgue είναι ένα διάσημο ερώτημα της διακριτής γεωμετρίας που τέθηκε το $1914$ από τον Henri Lebesgue και παραμένει άλυτο μέχρι σήμερα. Το πρόβλημα ασχολείται με την εύρεση της ελάχιστης περιοχής (εμβαδού) που μπορεί να καλύψει κάθε επίπεδο κυρτό σύνολο με διάμετρο ίση με $1$. 

Διατύπωση του Προβλήματος 

Ποια είναι η ελάχιστη δυνατή περιοχή ενός σχήματος που μπορεί να καλύψει κάθε κυρτό επίπεδο σύνολο με διάμετρο $1$; 

Ένα ισόπλευρο τρίγωνο διαμέτρου 1 δεν χωράει μέσα σε κύκλο διαμέτρου 1

Σημαντικά Στοιχεία:

Διάμετρος: Η διάμετρος ενός συνόλου \( S \) είναι η μέγιστη απόσταση μεταξύ δύο σημείων του \( S \). Κυρτά Σύνολα: Ορίζεται ως οποιοδήποτε σύνολο στο επίπεδο όπου η ευθεία γραμμή που ενώνει δύο οποιαδήποτε σημεία του ανήκει ολόκληρη στο σύνολο. 

Ο Τετραγωνισμός του Κύκλου το 1964: Μύθοι, Ελπίδες και Επιστημονική Γνώση

Το άρθρο από την εφημερίδα του $1964$ αναδεικνύει πολλά στοιχεία σχετικά με την εποχή και την αντίληψη της κοινωνίας για τα μαθηματικά. Εκείνη την περίοδο, η επιστήμη είχε ήδη προχωρήσει αρκετά ώστε να γνωρίζει ότι ο τετραγωνισμός του κύκλου είναι αδύνατος λόγω της υπερβατικότητας του αριθμού $π$, όπως αποδείχθηκε το 1882 από τον Lindemann. 

Εφημερίδα ΤΑΧΥΔΡΟΜΟΣ 14/11/1964

Ωστόσο, οι μαθηματικές γνώσεις δεν ήταν ευρέως διαδεδομένες, και οι μη ειδικοί συχνά συνέχιζαν να αναζητούν λύσεις σε κλασικά "άλυτα" προβλήματα.

Η υπόθεση του συνεχούς

Στα μαθηματικά, η υπόθεση του συνεχούς είναι μια υπόθεση σχετικά με τα πιθανά μεγέθη των απείρων σύνολων. Εκφράζει ότι: Δεν υπάρχει σύνολο του οποίου η πληθικότητα είναι αυστηρά ανάμεσα στις πληθικότητες του συνόλου των ακεραίων αριθμών και του συνόλου των πραγματικών αριθμών.

Η υπόθεση του συνεχούς αναπτύχθηκε από τον Γκέοργκ Κάντορ το 1878, και η εξακρίβωση για το αν είναι αληθής ή ψευδής είναι το πρώτο από τα 23 προβλήματα του Χίλμπερτ, που παρουσιάστηκαν το 1900.

Το 10ο πρόβλημα του Hilbert

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Τετραγωνισμός του κύκλου

Τα εμβαδά αυτού του τετραγώνου και αυτού του κύκλου είναι και τα δύο ίσα με $π$. Το $1882$ αποδείχθηκε ότι το σχήμα αυτό δεν μπορεί να κατασκευαστεί σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων με κανόνα και διαβήτη.

@Cliff Pickover

Διπλασιασμός του κύβου (Δήλιο πρόβλημα)

Έστω ένας κύβος $C$ και $x$ το μήκος της ακμής του. Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε ότι το πρόβλημα είναι ισοδυναμο με την εύρεση ευθύγραμμων τμημάτων μήκους $p$ και $q$ έτσι ώστε  

  $\dfrac{x}{p}=  \dfrac{p}{q}=  \dfrac{q}{2x}$

από όπου παίρνουμε

$ 2x^3=p^3$ 

και έτσι: 

$\dfrac{p}{x}=\sqrt[3]{2} $

Επομένως, για να λυθεί το πρόβλημα πρέπει να κατασκευαστεί ακμή ίση με $\sqrt[3]{2}$, που δεν είναι δυνατόν να γίνει με κανόνα και διαβήτη.

Unsolved problems: P vs NP

Click on the image.

Unsolved problems: Hodge Conjecture

Click on the image.

Unsolved problems: Navier-Stokes Equation

Click on the image.

Unsolved problems: Riemann Hypothesis

Click on the image.

Unsolved problems: Yang-Mills & The Mass Gap

Click on the image.

Unsolved problems: Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture

Click on the image.

The Hardest Math Problem

Puzzle 

What math problem has taken the longest to be solved? It could be one that’s solved now, or one that’s still unsolved.

Let’s start by looking at one candidate question. Can you square the circle with compass and straightedge? After this question became popular among mathematicians, it took at least 2295 years to answer it!

Three Famous Problems from Ancient Greek Mathematics

Διπλασιασμός του κύβου με κανόνα και διαβήτη (πριν από 90 χρόνια)

Του Μιχάλη Λάμπρου, καθηγητή Πανεπιστημίου Κρήτης

Κάθε Κυριακή η εφημερίδα Καθημερινή έχει μία μικρή στήλη που την ονομάζει ΦΙΛΙΣΤΩΡ στην οποία αναπαράγει δύο-τρία γεγονότα τα οποία συνέβησαν πριν από 90 χρόνια, όπως τα κατέγραψε ο τότε δημοσιογραφικός τύπος. 

Πάντα η αναπαραγωγή αυτή είναι επιλεγμένη με οξυδέρκεια από τους συντάκτες του ΦΙΛΙΣΤΟΡΑ, και συχνά βλέπει κανείς πόσο έχει αλλάξει η οπτική από τότε μέχρι σήμερα. Το σημερινό φύλο της Καθημερινής (λόγω της αργίας των Θεοφανίων κυκλοφόρησε μία

Τετραγωνισμός του κύκλου – Η λύση του Δεινόστρατου

Στην μεγάλη επιτομή του Πάππου, η οποία πρέπει να γράφτηκε στην εποχή του αυτοκράτορα Διοκλητιανού (284-305 μ.Χ.),αναφέρεται ότι ο Δεινόστρατος, ο αδελφός του Μεναίχμου και ο Νικομήδης χρησιμοποίησαν για τον τετραγωνισμό του κύκλου μια καμπύλη, η οποία για τον λόγο αυτό ονομάστηκε τετραγωνίζουσα.

Τα Τρία Άλυτα Προβλήματα της Αρχαιότητας

1. Ο τετραγωνισμός του κύκλου, να κατασκευαστεί με χάρακα και διαβήτη τετράγωνο εμβαδού ίσο με το εμβαδόν δοθέντος κύκλου.

2. Ο διπλασιασμός του κύβου, να κατασκευαστεί με χάρακα και διαβήτη κύβος όγκου διπλάσιου του όγκου δοθέντος κύκλου.

3. Η τριχοτόμηση γωνίας, να χωριστεί με χάρακα και διαβήτη δοθείσα γωνία σε τρία ίσα μέρη.

Το «πρόβλημα 3n+1», ή εικασία του Collatz λύθηκε μετά από 86 χρόνια

Διατυπώθηκε από τον Lothar Collatz το $1937$ και τώρα ο μαθηματικός Gerhard Opferτου Πανεπιστημίου του Αμβούργου – που υπήρξε μαθητής του Collatz – ισχυρίζεται ότι έχει αποδείξει την εικασία.

No One Has Been Able To Solve This Mathematical Problem For A Century

Ramsey’s theorem has left mathematicians staring at a blank sheet of paper for decades. Since the 1930s, few have managed to make progress in solving this problem, but now researchers Jacques Verstraete and Sam Mattheus of the University of California at San Diego have finally found the answer.

The problem was also called: r(4,t). I’ll try to explain it briefly. In mathematical jargon, a graph is a series of points and the lines between them.