Κινέζα Μαθηματικός Επιλύει το «Διάσημο» Πρόβλημα της Γεωμετρίας

Η Wang Hong, επίκουρη καθηγήτρια στο Courant Institute of Mathematical Sciences του Πανεπιστημίου της Νέας Υόρκης, πέτυχε ένα σημαντικό επίτευγμα στη γεωμετρική θεωρία μέτρου, αποδεικνύοντας την περίφημη εικασία Kakeya στις τρεις διαστάσεις.

Τι είναι η εικασία Kakeya;

Το 1917, ο Ιάπωνας μαθηματικός Sōichi Kakeya έθεσε ένα θεμελιώδες ερώτημα: Ποια είναι η μικρότερη δυνατή περιοχή που απαιτείται για να περιστραφεί μία άπειρα λεπτή βελόνα προς όλες τις κατευθύνσεις;

Πώς να Κάνεις τον Καναπέ να Περάσει από τον Διάδρομο; Το Άλυτο Μαθηματικό Πρόβλημα!

Όταν μετακομίζουμε σε ένα νέο σπίτι, ένα από τα μεγαλύτερα προβλήματα είναι η μεταφορά των επίπλων στους εσωτερικούς χώρους. Συχνά, τα έπιπλα που ταιριάζουν στο παλιό μας σπίτι δεν χωρούν εύκολα στους διαδρόμους του νέου. 

Αυτό το πρόβλημα ενέπνευσε τον Αυστρο-Καναδό μαθηματικό Leo Moser (1921-1970), ο οποίος σκέφτηκε ένα πολύ ενδιαφέρον μαθηματικό πρόβλημα, το «πρόβλημα του κινούμενου καναπέ».

Διοφαντικές Εξισώσεις: Το Μυστήριο των Ακέραιων Λύσεων

Στην Αρχαία Ελλάδα, ο Διόφαντος από την Αλεξάνδρεια, ένας από τους πρώτους μαθηματικούς που ασχολήθηκε με την άλγεβρα, παρουσίασε μια σειρά από μαθηματικά προβλήματα που προκάλεσαν γενιές μαθηματικών για σχεδόν $2.000$ χρόνια. 

Οι λεγόμενες «Διοφαντικές Εξισώσεις» είναι πολυωνυμικές εξισώσεις που αναζητούν ακέραιες λύσεις, καλύπτοντας από απλές εφαρμογές, όπως τα Πυθαγόρεια τρίγωνα, μέχρι πιο σύνθετες και ακανόνιστες μορφές, όπως οι κυβικές εξισώσεις.

Η Ομορφιά και η Πρόκληση του Προβλήματος

Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα Διοφαντικής εξίσωσης είναι η γνωστή μορφή:

P vs NP problem explained

Οι Simpsons και το Θεώρημα του Fermat: Ένα Μαθηματικό Κόλπο!

Στο επεισόδιο The Wizard of Evergreen Terrace των Simpsons (1998), υπάρχει μια φαινομενικά εκπληκτική μαθηματική στιγμή:

${3987}^{12}+{4365}^{12}={4472}^{12}$

Αν υπολογίσετε την εξίσωση σε μια αριθμομηχανή με οθόνη 10 ψηφίων, φαίνεται να λειτουργεί! Ωστόσο, αυτή η εξίσωση παραβιάζει το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat, το οποίο δηλώνει ότι:

$a^n+b^n=c^n$

δεν έχει λύση για ακέραιους αριθμούς $$a,b,c\$,$ όταν $n>2$. Ο Andrew Wiles απέδειξε αυτό το θεώρημα το 1994.

Μπορεί ο Τραμπ να τετραγωνίσει τον κύκλο της πολιτικής;

 

Η Ανακάλυψη του Απεριοδικού Πλακιδίου από τον Ντέιβιντ Σμιθ

Το $2022$, ο ερασιτέχνης μαθηματικός Ντέιβιντ Σμιθ έκανε μια εντυπωσιακή ανακάλυψη: ένα απεριοδικό πλακίδιο που μπορεί να καλύψει ένα άπειρο επίπεδο χωρίς να επαναλαμβάνεται περιοδικά. Αυτή η ανακάλυψη λύνει ένα ανοιχτό μαθηματικό πρόβλημα που είχε απασχολήσει τους ερευνητές για χρόνια, και αφορά τα λεγόμενα "Αϊνστάιν" πλακίδια (ή "μία πέτρα" στα γερμανικά).

Το πλακίδιο του Σμιθ, γνωστό ως "καπέλο", πρέπει να χρησιμοποιηθεί μαζί με το είδωλό του για να καλύψει το επίπεδο. Ωστόσο, η ομάδα του έκανε ένα ακόμη βήμα, ανακάλυψε το "φαντάσμα" — ένα άλλο απεριοδικό πλακίδιο που απαιτεί να χρησιμοποιείται αυστηρά χωρίς το είδωλό του, και με έναν συγκεκριμένο τρόπο.

Η ανακάλυψη αυτή ανοίγει νέους δρόμους στη γεωμετρία και τη μελέτη των ακατάπαυστων μοτίβων.

Η Ροή Ricci και η Απόδειξη της Εικασίας του Πουανκαρέ

Η ροή Ricci αποτελεί μια εγγενή γεωμετρική ροή που έχει ως στόχο την εξομάλυνση της μετρικής ενός χώρου. Αυτό σημαίνει ότι μέσω της ροής Ricci, μπορούμε να "εξομαλύνουμε" τις καμπυλότητες σε έναν χώρο, κάτι που έχει σημαντικές εφαρμογές στην τοπολογία και τη γεωμετρία.

Ένας από τους πιο γνωστούς χρήστες της ροής Ricci είναι ο Grigori Perelman. Το 2006, ο Perelman χρησιμοποίησε αυτή τη μέθοδο για να λύσει ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα της σύγχρονης μαθηματικής θεωρίας: την Εικασία του Πουανκαρέ.

Η Υπόθεση του Riemann: Ένα Από τα Μεγαλύτερα Μυστήρια της Μαθηματικής Θεωρίας

Η Υπόθεση του Riemann αποτελεί ένα από τα πιο διάσημα και σημαντικά άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών. Διατυπώθηκε από τον Bernhard Riemann, το $1859$, και παραμένει κεντρικό θέμα έρευνας και πρόκλησης για τους μαθηματικούς.

Η υπόθεση δηλώνει ότι όλα τα μη τετριμμένα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα του Riemann έχουν πραγματικό μέρος ίσο με ${\displaystyle \frac{1}{2}}$​. Η συνάρτηση αυτή, γνωστή ως $\zeta (s)$, είναι μια μιγαδική συνάρτηση που ορίζεται για όλους τους μιγαδικούς αριθμούς sss, εκτός από το $s=1$.

Millennial Questions: Η επίλυση αυτών των προβλημάτων θα σας κάνει πλουσιότερους κατά 1 εκατομμύριο δολάρια

Από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα, τα μαθηματικά προβλήματα που προσφέρουν χρηματικά έπαθλα έχουν προκαλέσει το ενδιαφέρον μαθηματικών σε όλο τον κόσμο. 

Το 2000, το Ινστιτούτο Clay αναγνώρισε επτά από τα μεγαλύτερα άλυτα μαθηματικά προβλήματα ως "Ερωτήσεις της Χιλιετίας" και προσέφερε 11 εκατομμύριο δολάρια για την αυστηρή και αποδεδειγμένη λύση καθενός από αυτά.

Αυτά τα προβλήματα είναι τα εξής:

• Yang-Mills και Mass Gap: Παραμένει άλυτο.

Το Άλυτο Πρόβλημα Κάλυψης του Lebesgue

Το Άλυτο Πρόβλημα Κάλυψης του Lebesgue είναι ένα διάσημο ερώτημα της διακριτής γεωμετρίας που τέθηκε το $1914$ από τον Henri Lebesgue και παραμένει άλυτο μέχρι σήμερα. Το πρόβλημα ασχολείται με την εύρεση της ελάχιστης περιοχής (εμβαδού) που μπορεί να καλύψει κάθε επίπεδο κυρτό σύνολο με διάμετρο ίση με $1$. 

Διατύπωση του Προβλήματος 

Ποια είναι η ελάχιστη δυνατή περιοχή ενός σχήματος που μπορεί να καλύψει κάθε κυρτό επίπεδο σύνολο με διάμετρο $1$; 

Ένα ισόπλευρο τρίγωνο διαμέτρου 1 δεν χωράει μέσα σε κύκλο διαμέτρου 1

Σημαντικά Στοιχεία:

Διάμετρος: Η διάμετρος ενός συνόλου $S$ είναι η μέγιστη απόσταση μεταξύ δύο σημείων του $S$. Κυρτά Σύνολα: Ορίζεται ως οποιοδήποτε σύνολο στο επίπεδο όπου η ευθεία γραμμή που ενώνει δύο οποιαδήποτε σημεία του ανήκει ολόκληρη στο σύνολο. 

Ο Τετραγωνισμός του Κύκλου το 1964: Μύθοι, Ελπίδες και Επιστημονική Γνώση

Το άρθρο από την εφημερίδα του $1964$ αναδεικνύει πολλά στοιχεία σχετικά με την εποχή και την αντίληψη της κοινωνίας για τα μαθηματικά. Εκείνη την περίοδο, η επιστήμη είχε ήδη προχωρήσει αρκετά ώστε να γνωρίζει ότι ο τετραγωνισμός του κύκλου είναι αδύνατος λόγω της υπερβατικότητας του αριθμού $\pi$, όπως αποδείχθηκε το 1882 από τον Lindemann. 

Εφημερίδα ΤΑΧΥΔΡΟΜΟΣ 14/11/1964

Ωστόσο, οι μαθηματικές γνώσεις δεν ήταν ευρέως διαδεδομένες, και οι μη ειδικοί συχνά συνέχιζαν να αναζητούν λύσεις σε κλασικά "άλυτα" προβλήματα.

Η υπόθεση του συνεχούς

Στα μαθηματικά, η υπόθεση του συνεχούς είναι μια υπόθεση σχετικά με τα πιθανά μεγέθη των απείρων σύνολων. Εκφράζει ότι: Δεν υπάρχει σύνολο του οποίου η πληθικότητα είναι αυστηρά ανάμεσα στις πληθικότητες του συνόλου των ακεραίων αριθμών και του συνόλου των πραγματικών αριθμών.

Η υπόθεση του συνεχούς αναπτύχθηκε από τον Γκέοργκ Κάντορ το 1878, και η εξακρίβωση για το αν είναι αληθής ή ψευδής είναι το πρώτο από τα 23 προβλήματα του Χίλμπερτ, που παρουσιάστηκαν το 1900.

Το 10ο πρόβλημα του Hilbert

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Τετραγωνισμός του κύκλου

Τα εμβαδά αυτού του τετραγώνου και αυτού του κύκλου είναι και τα δύο ίσα με $\pi$. Το $1882$ αποδείχθηκε ότι το σχήμα αυτό δεν μπορεί να κατασκευαστεί σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων με κανόνα και διαβήτη.

@Cliff Pickover

Διπλασιασμός του κύβου (Δήλιο πρόβλημα)

Έστω ένας κύβος $C$ και $x$ το μήκος της ακμής του. Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε ότι το πρόβλημα είναι ισοδυναμο με την εύρεση ευθύγραμμων τμημάτων μήκους $p$\kappa \alpha \iota$q$ έτσι ώστε  

  ${\displaystyle \frac{x}{p}}={\displaystyle \frac{p}{q}}={\displaystyle \frac{q}{2x}}$

από όπου παίρνουμε

$2x^3=p^3$ 

και έτσι: 

${\displaystyle \frac{p}{x}}=\sqrt[3]{2}$

Επομένως, για να λυθεί το πρόβλημα πρέπει να κατασκευαστεί ακμή ίση με $\sqrt[3]{2}$, που δεν είναι δυνατόν να γίνει με κανόνα και διαβήτη.

Unsolved problems: P vs NP

Click on the image.

Unsolved problems: Hodge Conjecture

Click on the image.

Unsolved problems: Navier-Stokes Equation

Click on the image.

Unsolved problems: Riemann Hypothesis

Click on the image.