Πώς να Κάνεις τον Καναπέ να Περάσει από τον Διάδρομο; Το Άλυτο Μαθηματικό Πρόβλημα!

Όταν μετακομίζουμε σε ένα νέο σπίτι, ένα από τα μεγαλύτερα προβλήματα είναι η μεταφορά των επίπλων στους εσωτερικούς χώρους. Συχνά, τα έπιπλα που ταιριάζουν στο παλιό μας σπίτι δεν χωρούν εύκολα στους διαδρόμους του νέου. 

Αυτό το πρόβλημα ενέπνευσε τον Αυστρο-Καναδό μαθηματικό Leo Moser (1921-1970), ο οποίος σκέφτηκε ένα πολύ ενδιαφέρον μαθηματικό πρόβλημα, το «πρόβλημα του κινούμενου καναπέ».

Ο Moser διατύπωσε το πρόβλημα αυτό το $1966$. Το πρόβλημα ζητά να βρούμε το μεγαλύτερο δυνατό «έπιπλο» που μπορεί να περάσει μέσα από έναν δισδιάστατο διάδρομο, πλάτους $1$ μονάδας, που σχηματίζει γωνία $90$ μοιρών (σε σχήμα "$L$"). Το έπιπλο μπορεί να στρίψει και να περιστραφεί για να περάσει, αλλά δεν πρέπει να κολλήσει στα τοιχώματα. Παρά τις συνεχείς προσπάθειες, δεν έχει βρεθεί ακόμα οριστική λύση, κάτι που το καθιστά ένα από τα πιο ενδιαφέροντα άλυτα προβλήματα.

Φανταστείτε ότι προσπαθείτε να περάσετε ένα έπιπλο σε έναν στενό διάδρομο. Αν το «έπιπλο» είναι ένα τετράγωνο με πλευρά $1$, περνά εύκολα, αφού δεν χρειάζεται να στρίψει. Όμως, αν το έπιπλο είναι πιο μακρύ, όπως ένα ορθογώνιο με διαστάσεις $2\times 0,5$, το οποίο έχει το ίδιο εμβαδόν $1$, τότε δεν θα μπορεί να περάσει, επειδή το μήκος του είναι μεγαλύτερο από τον διάδρομο.

Η πρόκληση είναι να βρούμε το σχήμα με το μεγαλύτερο εμβαδόν που μπορεί να περάσει επιτυχώς μέσα από τον διάδρομο χωρίς να κολλήσει. Η καλύτερη λύση που έχει προταθεί μέχρι τώρα προέρχεται από τον μαθηματικό Joseph Gerver το $1992$, και το σχήμα του έχει εμβαδόν περίπου $2,2195$ τετραγωνικές μονάδες. Όμως, δεν είναι ακόμα σίγουρο αν αυτό είναι το μεγαλύτερο δυνατό σχήμα που μπορεί να περάσει.

Ο Moser αναρωτήθηκε: ποιο είναι το μεγαλύτερο εμβαδόν που μπορεί να περάσει από τον διάδρομο, και πώς αποδεικνύουμε την απάντηση με μαθηματικά; Αυτό το πρόβλημα εξακολουθεί να είναι ένα από τα πιο διάσημα άλυτα προβλήματα στη γεωμετρία.