Κλασματική και εκθετική

Να λυθεί η εξίσωση:

 

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ και Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ: Το βιβλίο του καθηγητή

Κάντε κλικ στην εικόνα.

📚 Σενάριο Μαθήματος: Η Μονοτονία μιας Συνάρτησης με Βάση τον Ορισμό

📅 Ημερομηνία: 9 Μαρτίου 2025

⏳ Διάρκεια: 50 λεπτά

🎯 Στόχος: Οι μαθητές να κατανοήσουν και να εφαρμόσουν τον ορισμό της μονοτονίας για τον έλεγχο συναρτήσεων.

---

1️⃣ Εισαγωγή (10 λεπτά)

👨‍🏫 Εκπαιδευτικός: "Καλημέρα παιδιά! 🌞 Φανταστείτε ότι ανεβαίνετε μια σκάλα. 🏃‍♂️⬆️ Κάθε βήμα σας πηγαίνει πιο ψηλά, σωστά; Αυτή η κίνηση μοιάζει με κάτι που θα δούμε σήμερα: τη μονοτονία μιας συνάρτησης. 🧩 Ποιος μπορεί να μου πει τι σημαίνει όταν λέμε ότι μια συνάρτηση είναι 'γνήσια αύξουσα';"

Ιδιότητες Λογαρίθμων με Emoji

 

Συνάρτηση ημίτονο: Μπορείς να το λύσεις αυτό;

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=sinx$

α) Να βρεθεί το $f({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)$ και στη συνέχεια να λυθεί η εξίσωση

$f(x)={\displaystyle \frac{12}{13}}$ 

στο διάστημα $x\in [{\displaystyle \frac{\pi }{2}},\pi ]$. 

β) Δείξτε την ισότητα 

$f(x)+f(2x)+f(3x)=2\cos 2x+1$.

γ) Nα λυθεί η εξίσωση 

$f(x)+f(2x)+f(3x)=0$. 

δ) Να λυθεί η ανίσωση 

${\displaystyle \frac{f(x)+f(2x)-f(3x)}{f(2x)}}<0$ 

για $x\in [{\displaystyle \frac{\pi }{4}},{\displaystyle \frac{5\pi }{4}}]$. 

Υπολογισμός του f(2)+f−1(2)

Στην παρακάτω εικόνα βλέπουμε το διάγραμμα της συνάρτησης $$f(x)={\log }_a(x-1).$$

Σύμφωνα με αυτό, να βρεθεί η τιμή του αθροίσματος $$f(2)+f^{-1}(2).$$

A) $3$        B) $6$        C) $7$        D) $9$        E) $10$

Δύο συν ένα τετράγωνα

Δύο τετράγωνα πλευρών $a$ και $b$, αντίστοιχα, εφάπτονται μεταξύ τους, όπως φαίνεται στο σχήμα. Τα δύο τετράγωνα είναι εγγεγραμμένα σε ένα μεγαλύτερο τετράγωνο. 

Να βρεθεί το μήκος της πλευράς του εξωτερικού τετραγώνου, συναρτήσει των $a$ και $b$;

Πηγή: mathematica

Το ημερήσιο διάβασμα του Γιάννη

Ο Γιάννης διάβασε τον περασμένο Νοέμβριο ένα πολυσέλιδο λογοτεχνικό βιβλίο. Κρατούσε σημειώσεις για το πόσες νέες σελίδες διάβαζε κάθε μέρα και μας έδωσε τα εξής στοιχεία για το μέσο όρο των νέων σελίδων που διάβαζε στα παρακάτω χρονικά διαστήματα:

• Από τις $1$ μέχρι και τις $20$ Νοεμβρίου ο μέσος όρος ήταν $304.
• Από τις $11$ μέχρι και τις $25$ Νοεμβρίου ο μέσος όρος ήταν $20$.
• Από τις $16$ μέχρι και τις $30$ Νοεμβρίου ο μέσος όρος ήταν $10$.

(α) Να προσδιορίσετε τον μέγιστο και τον ελάχιστο δυνατό αριθμό σελίδων του βιβλίου.

(β) Αν δίνεται επιπλέον ότι από τις $16$ μέχρι και τις 420${\rm N}o\epsilon \mu \beta \rho ίo\upsilon o\mu έ\sigma o\varsigma ό\rho o\varsigma \tau \omega \nu \nu έ\omega \nu \sigma \epsilon \lambda ί\delta \omega \nu \pi o\upsilon \delta \iota ά\beta \alpha \zeta \epsilon ή\tau \alpha \nu$20$, να βρείτε πόσες ακριβώς σελίδες είχε το βιβλίο.

Διαγωνισμός «Ευκλείδης», Β΄ Λυκείου 2020

Λόγος και τμήμα σε ισόπλευρο

Σημείο $D$ κινείται στην πλευρά $AC$ ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$ και έστω $E,F$ οι προβολές του στις $AB,BC$ αντίστοιχα. 

A) Να βρείτε το λόγο ${\displaystyle \frac{(BEF)}{(ABC)}}$, όταν μεγιστοποιείται το εμβαδόν του $BEF$. 

B) Αν $AE=3,FC=5$, να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος $BD$.

Πηγή: mathematica

Κανονικό Εξάγωνο και Κύκλοι Δύο Μεγεθών

Το παρακάτω σχήμα αποτελείται από τη σύνθεση ενός κανονικού εξαγώνου με πλευρά $2$ cm και έξι κύκλων δύο διαφορετικών μεγεθών.

 

Να βρεθεί το εμβαδόν της χρωματισμένης επιφάνειας.

Εμβαδά αστεριών

1. Να βρεθεί  το εμβαδόν της περιοχής σε σχήμα αστεριού που σχηματίζετσι στο εσωτερικό του τετραγώνου με πλευρά $a$, όπως φαίνεται στο σχήμα.

2. Να βρεθεί  το εμβαδόν της περιοχής σε σχήμα αστεριού που σχηματίζετσι στο εσωτερικό του κανιονικου εξαγώνου με πλευρά $a$, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Korea Math Olympiad Problem 2023

Να λυθεί η εξίσωση:

Επίλυση εκθετικής εξίσωσης με κυβικές ρίζες

Να λυθεί η εξίσωση:

Αν τέσσερα τότε και πέντε ομοκυκλικά

Σε τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma ,{\rm H}$ είναι το ορθόκεντρο, ${\rm I}$ είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου και ${\rm O}$ είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου. 

Να αποδειχθεί ότι: 

i) Αν τα σημεία ${\rm B},\Gamma$ και δύο από τα σημεία ${\rm H},{\rm I},{\rm O}$ αποτελούν τις κορυφές τετραπλεύρου εγγεγραμμένου σε κύκλο και το τρίτο από τα παραπάνω σημεία θα ανήκει στον κύκλο αυτό. 

ii) Είναι ${\displaystyle \mathrm{I}\mathrm{H}=\mathrm{I}\mathrm{O}}$. 

Στάθης Κούτρας

Θέλει κόλπο

 Του Γιάννη Τσομπανόπουλου  

Απλός λόγος

Στη διάμετρο $BC$ ημικυκλίου κινείται σημείο $D$ και η κάθετη στην $BC$ στο $D$ τέμνει το ημικύκλιο στο $A.$ 

Αν $M\kappa \alpha \iota N$ τα μέσα των $BD\kappa \alpha \iota DC$ , το δε ορθόκεντρο του $△AMN$ είναι το $H$, βρείτε το λόγο ${\displaystyle \frac{AH}{AD}}.$

Πηγή: mathematica

Διάστημα αλήθειας

Σύμφωνα με το παρακάτω διάγραμμα, ποια από τα παρακάτω διαστήματα ικανοποιούν την ανισότητα: $${\displaystyle \frac{(x+2)f(x)}{g(x)}}<0.$$

A) $(-4,-3)$

B) $(-3,-1)$

C) $(1,2)$

D) $(2,4)$

E) $(1,4)$

Συντρέχουσες ευθείες σε κυρτό πεντάγωνο

Δίνεται κυρτό πεντάγωνο $ABCDE$ με $\mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }D={90}^o$ και έστω $F$ το δεύτερο εκτός του $A$ κοινό σημείο των κύκλων $(O),(O^{\prime })$, των περιγεγραμμένων περί τα τρίγωνα $△ABC,△ADE$ αντιστοίχως. 

Εάν $C^{\prime },D^{\prime }$, είναι οι προβολές των $C,D$ επί των ευθειών $AE,AB$ αντιστοίχως, αποδείξτε ότι το σημείο $P\equiv C{C}^{\prime }\cap D{D}^{\prime }$, ανήκει στην ευθεία $AF$.

Πηγή: mathematica

Από το e στο π : Μια Μαθηματική Πρόκληση

Να λυθεί η εξίσωση:

Άθροισμα συντελεστών πολυωνύμου

Γνωρίζουμε ότι οι ρίζες ενός πολυωνύμου τετάρτου βαθμού, του οποίου ο συντελεστής του όρου με την υψηλότερη δύναμη είναι $1,$ είναι ακέραιοι αριθμοί. Παρακάτω δίνονται κάποια τμήματα του γραφήματος αυτού του πολυωνύμου, που δείχνουν τα σημεία 

τομής με τους άξονες στον ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. 

Σύμφωνα με αυτά, ποιο είναι το άθροισμα των συντελεστών αυτού του πολυωνύμου;

Α) $72$

Β) $80$

Γ) $84$

Δ) $92$

Ε) $96$