Isaac Newton: Ο Νους που Όρισε το Άπειρο

Ο Isaac Newton γεννήθηκε ανήμερα τα Χριστούγεννα του $1642$, τη ίδια χρονιά που πέθανε ο Γαλιλαίος. Όταν εισήχθη στο Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ το $1661$, δεν είχε ιδιαίτερες γνώσεις μαθηματικών.

Ωστόσο, μέσα σε μικρό χρονικό διάστημα κατάφερε να προοδεύσει εντυπωσιακά, μελετώντας μόνος του τα έργα του Ευκλείδη και του Ντεκάρτ, και παρακολουθώντας τα μαθήματα του Ισαάκ Μπάροου.Όταν το πανεπιστήμιο έκλεισε λόγω της πανώλης τα έτη $1665$ και $1666$, ο Νεύτωνας επέστρεψε στο πατρικό του για να στοχαστεί.

Απόδειξη ταυτότητας Euler χωρίς τριγωνομετρία

Υπολογισμός ορίου με Taylor

 

Slope of a Secant and Tangent Line: A Visual Introduction to Derivatives

In this app, a standard example for introducing the derivative is presented.

Click on the image.

Ανατομία του μετασχηματισμού Fourier

Fourier transform

Από τον Αρχιμήδη στον Leibniz: Η Ιστορία του Διαφορικού Λογισμού

Η έννοια του παραγώγου, που συνδέεται με τον ρυθμό μεταβολής και την εφαπτομένη γραμμή, έχει τις ρίζες της στην αρχαιότητα. Οι Έλληνες μαθηματικοί, όπως ο Ευκλείδης, ο Αρχιμήδης και ο Απολλώνιος της Περγάμου, έθεσαν τα πρώτα θεμέλια. 

Ο Αρχιμήδης (287–212 π.Χ.), ιδίως, ξεχώρισε με τη μέθοδο των αδιαίρετων, υπολογίζοντας εμβαδά καμπύλων επιφανειών, όπως η παραβολή, και όγκους στερεών, όπως η σφαίρα, με τρόπο που προϊδέαζε για τις αρχές του λογισμού. Παράλληλα, ο Απολλώνιος μελέτησε τις ιδιότητες των κωνικών τομών, πλησιάζοντας την έννοια της κλίσης.

Η Λεπτή Γραμμή μεταξύ 1 και Αοριστίας

Να βρεθεί η αλήθεια πίσω από τις μηδενικές δυνάμεις!

Ολοκλήρωμα minmax

@CalcInsights

Ο Λογισμός: Η Γλώσσα της Αλλαγής και της Εξήγησης του Σύμπαντος

Ο Αρχιμήδης προετοίμασε το έδαφος για τον λογισμό με έναν πρωτοποριακό τρόπο σκέψης, χρησιμοποιώντας μεθόδους που δεν είχαν ξαναεμφανιστεί μέχρι τότε. Από την άλλη, ο Richard Feynman υποστήριξε ότι ο λογισμός είναι η γλώσσα που χρησιμοποίησε ο Θεός για να δημιουργήσει το σύμπαν.

Με διαφορετικό τρόπο, και οι δύο εξέφρασαν την ίδια βαθιά αλήθεια. Ο λογισμός δεν είναι μόνο ένας τρόπος σκέψης, αλλά και ένας τρόπος να εξηγήσουμε φαινόμενα που δεν κατανοούμε πλήρως. Αν το σκεφτούμε βαθύτερα, θα δούμε ότι αυτά τα δύο είναι ουσιαστικά το ίδιο πράγμα. Άλλωστε, η γλώσσα είναι η προφορική έκφραση της σκέψης.

10η παράγωγος συνάρτησης

Ποια είναι η $10$η παράγωγος της παρακάτω συνάρτησης; $$f(x)=2^x\cdot e^x$$

Βελτιστοποίηση της Μέσης Τιμής μιας Συνάρτησης

Να βρεθεί η τιμή του $a$ που μεγιστοποιεί τη μέση τιμή της συνάρτησης $$f(x)=x^3-2x^2-x+2$$ στο διάστημα $[-1,a]$, για $-1\le a\le 2.$

Υπολογισμός της 75ης Παραγώγου

Να βρεθεί η $75$η παράγωγος της συνάρτησης $$𝑦=sin2𝑥$$

ΒΙΒΛΙΟ: "Problems in Mathematical Analysis" (pdf)

 

Click on the image.

Εύρεση της Συνάρτησης από την Παράγωγό της και Μια Αρχική Τιμή

Μια πραγματική συνάρτηση γράφεται ως $y=f(x)$. Έχουμε μία τέτοια συνάρτηση, για την οποία γνωρίζουμε ότι: $$f^{\prime }(x)=x^{2}y$$ καθώς και μία συγκεκριμένη τιμή της: $f(3)=7$

Να βρεθεί ο τύπος της συνάστησης $f(x)$, ως συνάρτηση του $x$.

Μια Ιδιαίτερη Μορφή Ορίου και Παραγώγου

ΒΙΒΛΙΟ: ADVANCED CALCULUS (pdf)

Click on the image.

Differentiation visualization (serie 2)

See here the Geogebra file.

Η Τρίτη Παράγωγος στην Υπηρεσία της Πολιτικής

Το φθινόπωρο του $1972$, ο πρόεδρος Ρίτσαρντ Νίξον έκανε μια δήλωση που έμελλε να μείνει στην ιστορία, λέγοντας ότι «ο ρυθμός αύξησης του πληθωρισμού μειωνόταν». 

Πρόκειται για μια αξιοσημείωτη στιγμή, καθώς πιθανώς ήταν η πρώτη φορά που ένας εν ενεργεία πρόεδρος χρησιμοποίησε μια έννοια της 3ης παραγώγου για να ενισχύσει το αφήγημά του και να αυξήσει τις πιθανότητες επανεκλογής. 

Μήκος συνεχούς καμπύλης σε διάστημα [a,b]

ΒΙΒΛΙΟ: Real Mathematical Analysis (pdf)

Click on the image.