Όριο στο άπειρο

Yankee Stadium

The center field fence in Yankee Stadium is $7$ feet high and $408$ feet from home plate. A baseball is hit at a point $3$ feet above the ground. It leaves the bat at an angle of $θ$ degrees with the horizontal at a speed of $100$ miles per hour. 

(a) Write a set of parametric equations that model the path of the baseball.  

(b) Use a graphing utility to graph the path of the baseball when $θ=15^ο$. Is the hit a home run? 

(c) Use the graphing utility to graph the path of the baseball when $θ=23^ο$. Is the hit a home run? 

(d) Find the minimum angle required for the hit to be a home run.

Runge–Kutta Method

Runge–Kutta methods

The hardest concept in Calculus?

Integral Calculus Marathon Livestream (video duration 10h)

Find f(x)

A Radical Approach to Real Analysis (Second Edition)

Click on the image.

Simpson's Rule & Numerical Integration

Calculus Lesson | Simpson's Rule

Houston Math Prep: Iterated Integrals (Introduction to Multiple Integrals)

$α=?$ και $y'=?$

ΒΙΒΛΙΟ: Elementary Calculus (pdf)

Click on the image.

Houston Math Prep: Finding Area Using Double Integrals (Rectangular & General Regions)

Houston Math Prep: Triple Integrals in Spherical Coordinates

Houston Math Prep: Double Integrals in Polar Coordinates

Limit of $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{sinx}{x} $: Detailed Explanation and Proof

Κάντε κλικ στην εικόνα.

72η παράγωγος

Να βρεθεί η $72$η παράγωγος της συνάρτησης $$𝑓(𝑥) = sin2𝑥.$$

Houston Math Prep: Finding Volume with Double Integrals (Rectangular Coordinates)

Houston Math Prep: Iterated Integrals (Introduction to Multiple Integrals)

Εψιλοντικός ορισμός του ορίου

ΟΡΙΣΜΟΣ  Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής  (α, x0)∪(x0, β).  Θα λέμε ότι η f έχει στο x0 όριο ℓ ϵ R, όταν για κάθε ε > 0  υπάρχει δ > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x ϵ (α, x0)∪(x0, β),  με 0 < |x − x0| < δ  να ισχύει: |f(x) −ℓ| < ε Αποδεικνύεται ότι, αν μια συνάρτηση $f$ έχει όριο στο $x_0$, τότε αυτό είναι μοναδικό και συμβολίζεται, όπως είδαμε, με $\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0} f(x)$. Στη συνέχεια, όταν γράφουμε$\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0} f(x)=l$, θα εννοούμε ότι υπάρχει το όριο της $f$ στο $x_0$ και είναι ίσο με $ℓ$. Συνέπεια του παραπάνω ορισμού είναι οι ακόλουθες ισοδυναμίες:                ● Αν μια συνάρτηση $f$ είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής $(x_0,β)$ και την ανισότητα $0 <|x − x_0|< δ$ την αντικαταστήσουμε με την $x_0 < x < x_0 + δ$, τότε έχουμε τον ορισμό του$\displaystyle \lim_{x \rightarrow x^+_0} f(x)$, ενώ αν η $f$ είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής $(α, x_0)$ και την ανισότητα $0 < |x − x_0|< δ$ την αντικαταστήσουμε με την $x_0 − δ < x < x_0$, τότε έχουμε τον ορισμό του$\displaystyle \lim_{x \rightarrow x^-_0} f(x)$. Αποδεικνύεται ότι :

Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (α, x0)∪(x0, β), τότε ισχύει η ισοδυναμία:

Από το σχολικό βιβλίο Μαθηματικά, της Γ Λυκείου.