[63] - Algebraic Systems from and for Contests

Ιδιότητες Λογαρίθμων με Emoji

 

Υπολογισμός του f(2)+f−1(2)

Στην παρακάτω εικόνα βλέπουμε το διάγραμμα της συνάρτησης $$f(x)={\log }_a(x-1).$$

Σύμφωνα με αυτό, να βρεθεί η τιμή του αθροίσματος $$f(2)+f^{-1}(2).$$

A) $3$        B) $6$        C) $7$        D) $9$        E) $10$

Ο φυσικός λογάριθμος μπορεί να εκφραστεί ως άπειρο γινόμενο

Ο φυσικός λογάριθμος μπορεί να εκφραστεί ως άπειρο γινόμενο με διάφορους τρόπους. Ένας από τους πιο γνωστούς τύπους είναι το άπειρο γινόμενο του Euler: $$\ln (2)=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n{)}^2}{(2n-1)(2n+1)}\right)$$

Ένα άλλο άπειρο γινόμενο για τον φυσικό λογάριθμο, που ισχύει για $0<x<2$, είναι: $$\ln (x)=2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{1}{2n-1}\right){\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^{2n-1}$$ Επιπλέον, χρησιμοποιώντας τον τύπο του Weierstrass, έχουμε: $$\ln (x)=(x-1)\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x-1}{n})e^{-(x-1)/n}$$ Αυτές οι εκφράσεις δείχνουν τη βαθιά σχέση του φυσικού λογαρίθμου με τη θεωρία αριθμών και τη μαθηματική ανάλυση.

Ο Λαπλάς για τους Λογαρίθμους: Ένα Θαυμαστό Εργαλείο για τον Αστρονόμο

Ο Πιέρ Σιμόν Λαπλάς πραγματικά εξύμνησε τους λογαρίθμους με αυτά τα λόγια. Στο έργο του «Exposition du Système du Monde» (1796), έγραψε:

«[…] un artifice admirable qui, réduisant à quelques jours le travail de plusieurs mois, double pour ainsi dire la vie de l’astronome, et le délivre des erreurs et des dégoûts inséparables des longs calculs».

Η ελληνική μετάφραση:

«Ένα θαυμαστό κατασκεύασμα το οποίο, μειώνοντας σε λίγες μέρες τον χρόνο δουλειάς πολλών μηνών, διπλασιάζει την ζωή του αστρονόμου και τον γλυτώνει από τα λάθη και την αηδία που είναι αχώριστα κομμάτια των μεγάλων υπολογισμών».

Συστημικές υπερδυνάμεις

Να λυθεί το σύστημα:

@matematyczny-swiat

Merry Christmas

What are logarithms? Using logarithms in the real world

Ορισμός και ιδιότητες λογαρίθμων

LNοκρατία

Να λυθεί η εξίσωση:

[2] - Algebraic Equations for Contests

qp=?

logx−logy=?

Max [log(xy)]2=?

Λογαριθμική εξίσωση πύργος

Να λυθεί η εξίσωση:

$\log x^{x^{x^{\dots }}}=\log 3$

Λύση

Λογαριθμίζουμε και τα δύο μέλη και έχουμς

$\log x^{x^{x^{\dots }}}=\log 3$

Γράφουμε τον εκθέτη του λογαρίθμου ως συντελεστή 

$x^{x^{x^{\dots }}}\cdot \log x=\log 3$

Ο πρώτος παράγοντας είναι ίδιος με την έκφραση που δίνεται στην ερώτηση και η τιμή του είναι $3$, οπότε έχουμε διαδοχικά

$3\cdot \log x=\log 3$

                               ${\displaystyle \frac{\log 3}{\log x}}=3$  (αλλαγή βάσης)

${\log }_{x}3=3$

$x^3=3$

$x=\sqrt[3]{3}$.

ln(−1)=π⋅i

Απόδειξη

Έχουμε διαδοχικά

$ln(-1)=\pi \cdot i$

$e^{ln(-1)}=e^{\pi i}$

$-1=e^{\pi i}$

$e^{\pi i}+1=0$

που είναι η ταυτότητα Euler.

[9] - Algebraic Systems for Contests

Λογαριθμικό χιούμορ

Υπολογισμός λογαρίθμων μιγαδικών αριθμών

Computing logarithms of complex numbers

log and cos

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη $(x,y)$ για τα οποία ισχύει:

$lo{g}_{3}x+lo{g}_{x}3\le 2cos\pi y$.