What are logarithms? Using logarithms in the real world

Ορισμός και ιδιότητες λογαρίθμων

LNοκρατία

Να λυθεί η εξίσωση:

[2] - Algebraic Equations for Contests

$\dfrac{q}{p}=?$

$logx-logy=?$

Max $[log(xy)]^2=?$

Λογαριθμική εξίσωση πύργος

Να λυθεί η εξίσωση:

\( \log{x^{x^{x^{\ldots}}}} = \log{3} \)

Λύση

Λογαριθμίζουμε και τα δύο μέλη και έχουμς

\( \log{x^{x^{x^{\ldots}}}} = \log{3} \)

Γράφουμε τον εκθέτη του λογαρίθμου ως συντελεστή 

\( x^{x^{x^{\ldots}}} \cdot \log{x} = \log{3} \)

Ο πρώτος παράγοντας είναι ίδιος με την έκφραση που δίνεται στην ερώτηση και η τιμή του είναι $3$, οπότε έχουμε διαδοχικά

\( 3 \cdot \log{x} = \log{3} \)

                               \( \dfrac{\log{3}}{\log{x}} = 3 \)  (αλλαγή βάσης)

\( \log_x{3} = 3 \)

\( x^3 = 3 \)

\( x = \sqrt[3]{3} \).

$ln(-1) = π \cdot i$

Απόδειξη

Έχουμε διαδοχικά

$ln(-1) = π  \cdot i$

$e^{ln(−1)}=e^{πi}$

$−1=e^{πi}$

$e^{πi}+1=0$

που είναι η ταυτότητα Euler.

[9] - Algebraic Systems for Contests

Λογαριθμικό χιούμορ

Υπολογισμός λογαρίθμων μιγαδικών αριθμών

Computing logarithms of complex numbers

log and cos

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη $(x,y)$ για τα οποία ισχύει:

$log_3 x +log_x 3 \leq 2cosπy$.

Τρία τελευταία ψηφία

Nα βρεθούν τα τρία τελευταία ψηφία του γινομένου των ριζών της εξίσωσης

$\sqrt{1995}x^{log_{1995}x}= x^2$.

Logarithms

$log_{10}10.000=?$

Λογαριθμικές πλευρές

Υπάρχει $x$ για το οποίο το παρακάτω τρίγωνο να είναι ορθογώνιο;

Λογάριθμοι από τον 17ο αιώνα

Η έννοια των λογαρίθμων εφευρέθηκε από τον John Napier, έναν Σκωτσέζο μαθηματικό, ο οποίος τους εισήγαγε το 1614. 

Ο Napier δημοσίευσε την ανακάλυψή του σε ένα βιβλίο με τίτλο Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Περιγραφή του Υπέροχου Κανόνα των Λογαρίθμων), το οποίο εξηγούσε πώς θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν οι λογάριθμοι στην απλοποίηση των υπολογισμών.

Η σημερινή έννοια των λογαρίθμων προέρχεται από τον Λέοναρντ Όιλερ, ο οποίος τους συνέδεσε με την εκθετική συνάρτηση τον 18ο αιώνα.

John Napier, University in Edinburgh

Complex Logarithm

$48xy\sqrt{z} =?$