Λογαριθμική εξίσωση πύργος

Να λυθεί η εξίσωση:

\( \log{x^{x^{x^{\ldots}}}} = \log{3} \)

Λύση

Λογαριθμίζουμε και τα δύο μέλη και έχουμς

\( \log{x^{x^{x^{\ldots}}}} = \log{3} \)

Γράφουμε τον εκθέτη του λογαρίθμου ως συντελεστή 

\( x^{x^{x^{\ldots}}} \cdot \log{x} = \log{3} \)

Ο πρώτος παράγοντας είναι ίδιος με την έκφραση που δίνεται στην ερώτηση και η τιμή του είναι $3$, οπότε έχουμε διαδοχικά

\( 3 \cdot \log{x} = \log{3} \)

                               \( \dfrac{\log{3}}{\log{x}} = 3 \)  (αλλαγή βάσης)

\( \log_x{3} = 3 \)

\( x^3 = 3 \)

\( x = \sqrt[3]{3} \).