2048 Fibonacci

Το παιχνίδι 2048 Fibonacci παίζεται ως εξής: Προσπαθούμε να δημιουργήσουμε όρους της ακολουθίας Fibonacci, προσθέτοντας δύο κατάλληλους όρους, μέχρι να φτάσουμε στον αριθμό $2584$, κερδίζοντας έτσι το παιχνίδι.

Κάντε κλικ στην εικόνα, για να παίξετε το παιχνίδι.

Όπως είναι γνωστό, η ακολουθία Fibonacci αποτελείται από τους αριθμούς 

$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... $

και κάθε όρος, ξεκινώντας από τον τρίτο, δημιουργείται προσθέτοντας το δύο αμέσως προηγούμενοι της ακολουθίας. Οι δύο πρώτοι όροι είναι $0$ και $1$.

Fibonacci's dog

Nature by Numbers

Ο ελέφαντας του Φιμπονάτσι

Ο Daniel Mentrard είναι καθηγητής Μαθηματικών, πολύ γνωστός (και αναγνωρισμένος) στον τομέα της δημιουργίας εφαρμογών Geobebra και Desmos .

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Δημιούργησε ένα applet με το όνομα Fobonacci's Elephant με τη χρυσή σπείρα να σχηματίζει τον κορμό και το οποίο έγινε αρκετά γνωστό. Εδώ, στο gif που έχετε πρόσβαση κάνοντας κλικ στην εικόνα, εμφανίζεται το κινούμενο σχέδιο που δημιουργήθηκε.

Ν-οστός όρος ακολουθίας Fibonacci

Δίνεται η ακολουθία Fibonacci $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...$ με αναδρομικό τύπο: $$F_{n+2} = F_n + F_{n+1}.$$

Nα αποδειχθεί ότι ο $n$-οστός όρος της $F_n$, δίνεται από τον τύπο

Fibonacci παντού

Το σπειροειδές μοτίβο Fibonacci εμφανίζεται παντού στη φύση, συμπεριλαμβανομένων λουλουδιών, κουκουνάρια, τυφώνες, ακόμη και γιγάντιους σπειροειδείς γαλαξίες στο διάστημα. Μια οπτική περίληψη.

The Fibonacci elephant

Click here.

FIBBOOONNNNN....

@Cliff Pickover

Τα Μαθηματικά της Ομορφιάς

Η Ακολουθία Φιμπονάτσι είναι μια ακολουθία αριθμών όπου κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων—δηλαδή $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…$ και ούτω καθεξής στο άπειρο. 

Η αναλογία ενός αριθμού προς τον επόμενο είναι περίπου $1,61803$, που ονομάζεται "φ" ή Χρυσή Αναλογία. Δεν είναι μια μαγική μαθηματική εξίσωση του σύμπαντος, αλλά σίγουρα αντανακλά φυσικά, αισθητικά όμορφα μοτίβα. 

Ράφια ... Fibonacci

Ακολουθία Fibonacci

Η ακολουθία Fibonacci εμφανίζεται στη φύση πιο συχνά από όσο θα περίμενε κανείς. η διακλάδωση των δέντρων, η διάταξη των φύλλων σε ένα στέλεχος, οι καρποί ενός ανανά, ακόμη και οι σπειροειδείς γαλαξίες όλα παρουσιάζουν μοτίβα Fibonacci.

The Fibonacci sequence and the golden ratio in music

Abstract: 

This paper presents an original composition based on Fibonacci numbers, to explore the inherent aesthetic appeal of the Fibonacci sequence. It also notes the use of the golden ratio in certain musical works by Debussy and in the proportions of violins created by Stradivarius.

Read more »

TEDEd: The Golden Ratio and Fibonacci in Music

Fibonacci's Soup

What is the Fibonacci Sequence – and why is it the secret to musical greatness?

Geniuses from Mozart to Leonardo da Vinci have used the Fibonacci Sequence. But what is it and why does it make great music?

The Fibonacci Sequence has been nicknamed ‘nature’s code’, ‘the divine proportion’, ‘the golden ratio’, ‘Fibonacci’s Spiral’ amongst others.

What exactly is the Fibonacci Sequence?

Simply put, it’s a series of numbers:

$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610…$

The next number in the sequence is found by adding up the two numbers before it. The ratio for this sequence is 1.618. This is what some people call ‘The Divine Proportion’ or ‘The Golden Ratio’.

Read more »

Cat + Cat + Cat

54η ημέρα του έτους ! Καλή και ευλογημένη ημέρα !

The amazing Fibonacci Elephant

By Daniel Mentrard

Πυθαγόρειες τριάδες και αριθμοί Φιμπονάτσι

Οι πυθαγόρειες τριάδες

Όταν άρχισε να εφαρμόζει το πυθαγόρειο θεώρημα, εντύπωση του έκανε η τριάδα «3, 4 ,5» ως μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου. Δοκίμασε και με την τριάδα 2, 3, 4 για να διαπιστώσει εύκολα ότι δεν μπορούσε να είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου. 

Το ίδιο έγινε και με την τριάδα 4, 5, 6. Αναρωτήθηκε «ποιες άλλες τριάδες φυσικών αριθμών θα μπορούσαν να είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου» και η πρώτη βέβαια επιλογή ήταν «όλα τα πολλαπλάσια των «3, 4 ,5» δηλαδή οι τριάδες «6, 8 ,10» «9, 12, 15» «15, 20 ,25» «18, 24, 30» και οι υπόλοιπες.

Ορθογώνιο τρίγωνο Fibonacci

Το άθροισμα των τετραγώνων των διαδοχικών αριθμών Fibonacci είναι ένας άλλος αριθμός Fibonacci:

$F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}$