Καλή και ευλογημένη ημέρα !

Σήμερα είναι η $89$η ημέρα του έτους.

 

@diegorattaggi

Οι αριθμοί Fibonacci κρύβονται πίσω από αυτό το πρόβλημα

Μπορείτε να βρείτε όλα τα ζεύγη ακεραίων αριθμών $a$ και $b$ ώστε το γινόμενο ababab να διαιρεί ακριβώς την έκφραση $a^2+b^2+1$;

🔍 Η πρόκληση:

Ζητείται να εντοπίσετε όλα τα ζεύγη θετικών ή αρνητικών ακεραίων αριθμών $(a,b)$ για τα οποία το γινόμενο $$ab\$$ διαιρεί ακριβώς το άθροισμα $a^2+b^2+1$, δηλαδή:

$ab\mid a^2+b^2+1$.

Binet's Formula

Έστω

$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ 

με $F_0=0$, $F_1=1$, η ακολουθία Fibonacci, τότε $$F_n=\frac{{\varphi }^n-(-\varphi {)}^{-n}}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}[{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n]$$ Όπου $\varphi ={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}=1.6180339875\dots$ είναι η χρυσή τομή.

Διαβάστε περισσότερα εδώ.

Ο μόνος πρώτος μέσος όρος Fibonacci !

Ο αριθμός "17" είναι ο μόνος πρώτος αριθμός που αποτελεί τον μέσο όρο δύο διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας Fibonacci.

Θεώρημα Zeckendorf

Θεώρημα

Κάθε θετικός ακέραιος μπορεί να αναπαρασταθεί μοναδικά ως το άθροισμα ενός ή περισσότερων διαφορετικών αριθμών Fibonacci, με τέτοιο τρόπο ώστε το άθροισμα να μην περιλαμβάνει δύο συνεχόμενους αριθμούς Fibonacci. 

Για παράδειγμα: $51=34+13+3+1$. 

Ανακαλύφθηκε το 1952 από τον Ολλανδό μαθηματικό Gerrit Lekkerkerker (και επισημάνθηκε 20 χρόνια αργότερα από τον Edouard Zeckendorf).

Η Χρυσή Σπείρα και η Ακολουθία Fibonacci στη Φύση και τα Μαθηματικά

Η ακολουθία Fibonacci $(1,1,2,3,5,8,13,21...)$ είναι μια μαθηματική ακολουθία όπου κάθε αριθμός προκύπτει ως άθροισμα των δύο προηγούμενων. Αυτή η φαινομενικά απλή ακολουθία εμφανίζεται συχνά στη φύση, την τέχνη, την αρχιτεκτονική και ακόμα και στη μουσική, προσφέροντας μια εκπληκτική σύνδεση μεταξύ μαθηματικών και του φυσικού κόσμου.

Στην εικόνα βλέπουμε πώς σχηματίζεται η Χρυσή Σπείρα, μια προσεγγιστική εκδοχή της λογαριθμικής σπείρας. Τα τετράγωνα που εμφανίζονται έχουν πλευρές με μήκη ίσα με αριθμούς της ακολουθίας Fibonacci. Σχεδιάζοντας τόξα που ενώνουν τις αντίστοιχες γωνίες, προκύπτει η εμβληματική σπείρα, η οποία χαρακτηρίζεται από την αρμονία και την αισθητική ισορροπία.

Fibonacci tree

Η Καπνοδόχος του Fibonacci στο Τούρκου της Φινλανδίας

Στο Τούρκου της Φινλανδίας, η καπνοδόχος του τοπικού σταθμού ηλεκτροπαραγωγής είναι κάτι παραπάνω από ένα απλό αρχιτεκτονικό στοιχείο. Είναι ένα έργο τέχνης που φέρει τους πρώτους δέκα αριθμούς της ακολουθίας Fibonacci, γραμμένους με λαμπερά γράμματα ύψους επτά πόδια!

Ο καλλιτέχνης Mario Merz, γνωστός για την εμμονή του με την ακολουθία αυτή για σχεδόν $30$ χρόνια, πρόσθεσε αυτούς τους αριθμούς το $1995$. Πριν από αυτό, είχε ήδη ενσωματώσει την ακολουθία σε άλλα έργα του, όπως σε ένα παρεκκλήσι στο Παρίσι και σε ένα κωδωνοστάσιο στο Τορίνο.

Τιμώντας τον Λεονάρντο Φιμπονάτσι για τα 850 χρόνια από τη γέννησή του

Η Ιταλία τίμησε τον σπουδαίο μαθηματικό Λεονάρντο Πιζάνο, γνωστό ως Φιμπονάτσι, με αυτό το επετειακό γραμματόσημο που εκδόθηκε το έτος $2020$, για τα $850$ χρόνια από τη γέννησή του το $1170$.

Η Ακολουθία του Φιμπονάτσι: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... 

Κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Αυτή η ακολουθία έχει εμπνεύσει όχι μόνο τα μαθηματικά αλλά και την τέχνη, τη φύση και την οικονομία.

Ο Χρυσός Λόγος (φ): 

1000-digit Fibonacci Number

Η ακολουθία Fibonacci ορίζεται από την αναδρομική σχέση:

$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$,

όπου $F_1=1$ και $F_2=1$.
Έτσι, οι πρώτοι $12$ όροι είναι:

Ο 12ος όρος $F_{12}$​, είναι ο πρώτος όρος που περιέχει τρία ψηφία.
Ποιος είναι ο δείκτης του πρώτου όρου στην ακολουθία Fibonacci που περιέχει $1000$ ψηφία;

2048 Fibonacci

Το παιχνίδι 2048 Fibonacci παίζεται ως εξής: Προσπαθούμε να δημιουργήσουμε όρους της ακολουθίας Fibonacci, προσθέτοντας δύο κατάλληλους όρους, μέχρι να φτάσουμε στον αριθμό $2584$, κερδίζοντας έτσι το παιχνίδι.

Κάντε κλικ στην εικόνα, για να παίξετε το παιχνίδι.

Όπως είναι γνωστό, η ακολουθία Fibonacci αποτελείται από τους αριθμούς 

$0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,...$

και κάθε όρος, ξεκινώντας από τον τρίτο, δημιουργείται προσθέτοντας το δύο αμέσως προηγούμενοι της ακολουθίας. Οι δύο πρώτοι όροι είναι $0$ και $1$.

Fibonacci's dog

Nature by Numbers

Ο ελέφαντας του Φιμπονάτσι

Ο Daniel Mentrard είναι καθηγητής Μαθηματικών, πολύ γνωστός (και αναγνωρισμένος) στον τομέα της δημιουργίας εφαρμογών Geobebra και Desmos .

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Δημιούργησε ένα applet με το όνομα Fobonacci's Elephant με τη χρυσή σπείρα να σχηματίζει τον κορμό και το οποίο έγινε αρκετά γνωστό. Εδώ, στο gif που έχετε πρόσβαση κάνοντας κλικ στην εικόνα, εμφανίζεται το κινούμενο σχέδιο που δημιουργήθηκε.

Ν-οστός όρος ακολουθίας Fibonacci

Δίνεται η ακολουθία Fibonacci $1,1,2,3,5,8,13,...$ με αναδρομικό τύπο: $$F_{n+2}=F_n+F_{n+1}.$$

Nα αποδειχθεί ότι ο $n$-οστός όρος της $F_n$, δίνεται από τον τύπο

Fibonacci παντού

Το σπειροειδές μοτίβο Fibonacci εμφανίζεται παντού στη φύση, συμπεριλαμβανομένων λουλουδιών, κουκουνάρια, τυφώνες, ακόμη και γιγάντιους σπειροειδείς γαλαξίες στο διάστημα. Μια οπτική περίληψη.

The Fibonacci elephant

Click here.

FIBBOOONNNNN....

@Cliff Pickover

Τα Μαθηματικά της Ομορφιάς

Η Ακολουθία Φιμπονάτσι είναι μια ακολουθία αριθμών όπου κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων—δηλαδή $0,1,1,2,3,5,8,13,21,34\dots$ και ούτω καθεξής στο άπειρο. 

Η αναλογία ενός αριθμού προς τον επόμενο είναι περίπου $1,61803$, που ονομάζεται "φ" ή Χρυσή Αναλογία. Δεν είναι μια μαγική μαθηματική εξίσωση του σύμπαντος, αλλά σίγουρα αντανακλά φυσικά, αισθητικά όμορφα μοτίβα. 

Ράφια ... Fibonacci