Ν-οστός όρος ακολουθίας Fibonacci

Δίνεται η ακολουθία Fibonacci $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...$ με αναδρομικό τύπο: $$F_{n+2} = F_n + F_{n+1}.$$

Nα αποδειχθεί ότι ο $n$-οστός όρος της $F_n$, δίνεται από τον τύπο

Fibonacci παντού

Το σπειροειδές μοτίβο Fibonacci εμφανίζεται παντού στη φύση, συμπεριλαμβανομένων λουλουδιών, κουκουνάρια, τυφώνες, ακόμη και γιγάντιους σπειροειδείς γαλαξίες στο διάστημα. Μια οπτική περίληψη.

The Fibonacci elephant

Click here.

FIBBOOONNNNN....

@Cliff Pickover

Τα Μαθηματικά της Ομορφιάς

Η Ακολουθία Φιμπονάτσι είναι μια ακολουθία αριθμών όπου κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων—δηλαδή $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…$ και ούτω καθεξής στο άπειρο. 

Η αναλογία ενός αριθμού προς τον επόμενο είναι περίπου $1,61803$, που ονομάζεται "φ" ή Χρυσή Αναλογία. Δεν είναι μια μαγική μαθηματική εξίσωση του σύμπαντος, αλλά σίγουρα αντανακλά φυσικά, αισθητικά όμορφα μοτίβα. 

Ράφια ... Fibonacci

Ακολουθία Fibonacci

Η ακολουθία Fibonacci εμφανίζεται στη φύση πιο συχνά από όσο θα περίμενε κανείς. η διακλάδωση των δέντρων, η διάταξη των φύλλων σε ένα στέλεχος, οι καρποί ενός ανανά, ακόμη και οι σπειροειδείς γαλαξίες όλα παρουσιάζουν μοτίβα Fibonacci.

The Fibonacci sequence and the golden ratio in music

Abstract: 

This paper presents an original composition based on Fibonacci numbers, to explore the inherent aesthetic appeal of the Fibonacci sequence. It also notes the use of the golden ratio in certain musical works by Debussy and in the proportions of violins created by Stradivarius.

Read more »

TEDEd: The Golden Ratio and Fibonacci in Music

Fibonacci's Soup

What is the Fibonacci Sequence – and why is it the secret to musical greatness?

Geniuses from Mozart to Leonardo da Vinci have used the Fibonacci Sequence. But what is it and why does it make great music?

The Fibonacci Sequence has been nicknamed ‘nature’s code’, ‘the divine proportion’, ‘the golden ratio’, ‘Fibonacci’s Spiral’ amongst others.

What exactly is the Fibonacci Sequence?

Simply put, it’s a series of numbers:

$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610…$

The next number in the sequence is found by adding up the two numbers before it. The ratio for this sequence is 1.618. This is what some people call ‘The Divine Proportion’ or ‘The Golden Ratio’.

Read more »

Cat + Cat + Cat

54η ημέρα του έτους ! Καλή και ευλογημένη ημέρα !

The amazing Fibonacci Elephant

By Daniel Mentrard

Πυθαγόρειες τριάδες και αριθμοί Φιμπονάτσι

Οι πυθαγόρειες τριάδες

Όταν άρχισε να εφαρμόζει το πυθαγόρειο θεώρημα, εντύπωση του έκανε η τριάδα «3, 4 ,5» ως μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου. Δοκίμασε και με την τριάδα 2, 3, 4 για να διαπιστώσει εύκολα ότι δεν μπορούσε να είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου. 

Το ίδιο έγινε και με την τριάδα 4, 5, 6. Αναρωτήθηκε «ποιες άλλες τριάδες φυσικών αριθμών θα μπορούσαν να είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου» και η πρώτη βέβαια επιλογή ήταν «όλα τα πολλαπλάσια των «3, 4 ,5» δηλαδή οι τριάδες «6, 8 ,10» «9, 12, 15» «15, 20 ,25» «18, 24, 30» και οι υπόλοιπες.

Ορθογώνιο τρίγωνο Fibonacci

Το άθροισμα των τετραγώνων των διαδοχικών αριθμών Fibonacci είναι ένας άλλος αριθμός Fibonacci:

$F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}$

Μαγική συμμετρία, μαθηματικά και κυνήγι στη φύση: Οταν οι μεγάπτερες φάλαινες σχηματίζουν την ακολουθία Φιμπονάτσι για να εγκλωβίσουν τα θηράματά τους [video]

Τα μαγευτικά πλάνα που τράβηξε ένας φωτογράφος στην Ανταρκτική ανέδειξαν σε όλη της την ομορφιά, μία εκπληκτική «εφαρμογή» της ακολουθίας Φιμπονάτσι στη φύση.

Η σπείρα ή ακολουθία Fibonacci, είναι ένα μοτίβο που εισήγαγε ο Ιταλός μαθηματικός Λεονάρντο της Πίζας και πέραν της μαθηματικής του ουσίας, έχει παρατηρηθεί σε διάφορες μορφές στη φύση: από τα κοχύλια σαλιγκαριών έως τις διατάξεις φύλλων στα δέντρα.

Κλάσμα με «άρωμα Fibonacci»

Οι αριθμοί

$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …$ 

είναι οι όροι της ακολουθίας που είναι γνωστή με το όνομα «ακολουθία Fibonacci».

Ο κάθε όρος της ακολουθίας, από τον τρίτο και μετά, είναι ίσος με το άθροισμα των δυο προηγούμενων:

$1=0+1$, $2=1+1$, $3=2+1$, $5=3+2$, κ.ο.κ.

Λεονάρντο της Πίζας ή Φιμπονάτσι

Πρόκειται για τον μεγαλύτερο ευρωπαίο μαθηματικό του μεσαίωνα (γεννήθηκε γύρω στο 1175), που μεγάλωσε και σπούδασε στην σημερινή αλγερινή πόλη Beja’ia κάτω από τους Μαυριτανούς. 

Αργότερα που ταξίδεψε εκτενώς γύρω από τις ακτές της Μεσογείου είχε συναντηθεί με πολλούς εμπόρους και έμαθε για τα αριθμητικά συστήματα τους. Σύντομα συνειδητοποίησε τα πολλά πλεονεκτήματα του «ινδοαραβικού» αριθμητικού συστήματος έναντι όλων των άλλων.

Ο Fibonacci και ο αριθμός $998999$

Το κλάσμα   $\dfrac{1}{998999}$ περιέχει έναν πλήθος από αριθμούς Fibonacci, $1, 1, 2, 3, 5, 8 . . . $, όπου κάθε διαδοχικός αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων 

Οι αριθμοί Φιμπονάτσι είναι υπογραμμισμένοι.