Το Παράδοξο του Κέικ

Μια τρύπα έκπληξη

Γιατί εμφανίζεται αυτό το κόκκινο κενό ορθογώνιο, όταν αναδιατάσσουμε τα σχήματα στα οποία αποσυντίθεται το τρίγωνο για να το ξαναχτίσουμε;

10 Brilliant paradoxes from the history of Physics and Mathematics

Zeno’s paradoxes: A series of paradoxes that challenge the notions of motion, space, and time. One of them is the dichotomy paradox, which states that in order to reach a destination, one must first reach the halfway point, then the halfway point of the remaining distance, and so on, implying that motion is impossible. 

Russell’s paradox: A paradox that arises from the naive set theory, which allows the construction of a set of all sets that do not contain themselves. The paradox is whether this set contains itself or not. If it does, then it does not belong to the set by definition. If it does not, then it belongs to the set by definition. 

Το Παράδοξο του Φέρμι: Πού Είναι Όλοι οι Εξωγήινοι;

Αναρωτηθήκατε ποτέ γιατί, παρά τις αμέτρητες δυνατότητες του σύμπαντος, δεν έχουμε ακόμα συναντήσει εξωγήινους πολιτισμούς; Το παράδοξο του Ενρίκο Φέρμι, με το χαρακτηριστικό ερώτημα "Πού είναι όλοι;", μας προκαλεί να σκεφτούμε πιθανές εξηγήσεις. 

Μερικές από αυτές περιλαμβάνουν τη σπανιότητα των πλανητών που μπορούν να υποστηρίξουν ζωή, τα εμπόδια που αντιμετωπίζουν οι πολιτισμοί, τις τεχνολογικές δυσκολίες στην επικοινωνία ή τα διαστρικά ταξίδια, καθώς και την πιθανότητα ότι οι πολιτισμοί επιλέγουν να μην έρθουν σε επαφή. 

Εσείς τι πιστεύετε;

Το Παράδοξο του Παππού: Ένα Διάσημο Πείραμα Σκέψης για το Ταξίδι στον Χρόνο

Το Παράδοξο του Παππού είναι ένα διάσημο πείραμα σκέψης στη φιλοσοφία του ταξιδιού στο χρόνο και της φυσικής, το οποίο εξετάζει τη δυνατότητα αντίφασης μέσω της αλλαγής γεγονότων στο παρελθόν. 

Η βασική ιδέα του παραδόξου διατυπώνεται ως εξής:

1. Διαμόρφωση σεναρίου: Φανταστείτε έναν ταξιδιώτη του χρόνου που επιστρέφει στο παρελθόν, σε μια εποχή πριν ο παππούς του αποκτήσει παιδιά.

Η Εξαίρεση που Αμφισβητεί τον Κανόνα: Ένα Παράδοξο Λογικής

Εάν κάθε κανόνας έχει μια εξαίρεση, τότε πρέπει να υπάρχει μια εξαίρεση στον κανόνα ότι κάθε κανόνας έχει μια εξαίρεση.

Απάντηση

Αυτός είναι ένας ενδιαφέρων λογικός προβληματισμός που συχνά αναφέρεται ως το "παράδοξο της εξαίρεσης". Αν δεχτούμε ότι κάθε κανόνας έχει μια εξαίρεση, τότε αυτό δημιουργεί μια αντίφαση όταν το εφαρμόζουμε στον ίδιο τον κανόνα:

Γιατί Όλοι Παρεξηγούν τη Λύση στο Παράδοξο των Τριών Κουτιών του Τζόζεφ Μπέρτραντ

Το Παράδοξο των Τριών Κουτιών είναι ένα από τα πιο χαρακτηριστικά παραδείγματα που αναδεικνύουν τη δύναμη της πιθανολογικής σκέψης. Παρουσιάστηκε για πρώτη φορά από τον Γάλλο μαθηματικό Joseph Louis François Bertrand (1822–1900) στο βιβλίο του Calcul des Probabilités το 1889.

Παρόμοιο με το πρόβλημα του Monty Hall, το παράδοξο περιλαμβάνει τρία πανομοιότυπα εξωτερικά κουτιά, καθένα από τα οποία περιέχει δύο συρτάρια:

• Το ένα κουτί (AA) περιέχει δύο χρυσά νομίσματα.
• Το δεύτερο (GG) περιέχει δύο ασημένια.
• Το τρίτο (AG) περιέχει ένα χρυσό και ένα ασημένιο.

Χμ, κάτι περίεργο συμβαίνει εδώ!

Παράδοξο Ehrenfest: Οι Περιφέρειες των Κύκλων Δεν Είναι Πάντα Ίσες!

Το Παράδοξο Ehrenfest αναδεικνύει όχι μόνο ενδιαφέροντες περιορισμούς της κλασικής γεωμετρίας, αλλά και την πολυσύνθετη σύνδεση μεταξύ φυσικής και μαθηματικών, ιδίως υπό το πρίσμα της Ειδικής Σχετικότητας. 

### Η Περιφέρεια των Κύκλων: Μια Διαχρονική Σταθερά 

Από την αρχαιότητα, η περιφέρεια ενός κύκλου εκφράζεται μέσω της σχέσης \( C = 2\pi r \), όπου \( r \) είναι η ακτίνα του κύκλου και \( \pi \) μια μαθηματική σταθερά. 

The Lottery Paradox: A Logical Contradiction

Tap the image and dive into the Lottery Paradox audio explanation.

Sorites Paradox

Δημοκρατία ή … δικτατορία; – Το παράδοξο του Arrow

 Του Δημήτρη Χριστοφίδη 

Οι βουλευτές μιας χώρας προσπαθούν να φτιάξουν ένα καινούργιο εκλογικό νόμο. Μετά από αρκετή ένταση και πάρα πολλές διαφωνίες αποφασίζουν να καλέσουν ένα μαθηματικό για να τους βοηθήσει στην δημιουργία μιας καινούργιας εκλογικής διαδικασίας.

1) Το πρώτο πράγμα που απαιτούν οι βουλευτές είναι να ληφθεί πρόνοια για οποιοδήποτε αριθμό υποψηφίων. Κάθε πολίτης θα δικαιούται να κατατάσσει τους εκάστοτε υποψηφίους με την σειρά προτίμησης του. Η εκλογική διαδικασία πρέπει να είναι τέτοια ώστε λαμβάνοντας υπόψη τις προτιμήσεις των ψηφοφόρων να βγάζει μια τελική σειρά κατάταξης όλων των υποψηφίων.

Surprise Quiz Paradox

Ένας δάσκαλος, σε μια τάξη όπου διδάσκει πέντε ημέρες την εβδομάδα, ανακοινώνει στους μαθητές του ότι θα γράψουν ένα αιφνιδιαστικό διαγώνιασμα την επόμενη εβδομάδα.

Λέει επίσης στους μαθητές ότι επειδή δεν γνωρίζουν πότε θα το γράζουν το διαγώνισμα θα πρέπει να μελετήσουν καλά το Σαββατοκύριακο. Οι μαθητές πηγαίνουν σπίτι και προσπαθούν να καταλάβουν ποια ημέρα θα γράψουν το διαγώνισμα.

Painter’s paradox

It can be shown that the volume of revolution formed by a piece of area can be finite even if the area is infinite! A painter needs infinite amount of paint to paint the surface of a solid with finite volume.

From the above diagram, the curve in red is given by

Το παράδοξο του Allais

Το παράδοξο του Allais είναι ένα πρόβλημα επιλογής που σχεδιάστηκε από τον Maurice Allais (1953) για να δείξει μια ασυνέπεια των πραγματικών παρατηρούμενων επιλογών με τις προβλέψεις της θεωρίας της αναμενόμενης χρησιμότητας. 

Το παράδοξο Allais καταδεικνύει ότι τα άτομα σπάνια παίρνουν ορθολογικές αποφάσεις με συνέπεια όταν απαιτείται να το κάνουν αμέσως. 

Το αξίωμα της ανεξαρτησίας της θεωρίας της αναμενόμενης χρησιμότητας, το οποίο απαιτεί ότι οι προτιμήσεις ενός ατόμου δεν πρέπει να αλλάζουν όταν αλλάζουν δύο λαχειοφόροι αγορές σε ίσες αναλογίες, αποδείχθηκε ότι παραβιάστηκε από το παράδοξο. 

Διαβάστε περισσότερα »

Η Σάλπιγγα του Γαβριήλ

Η Σάλπιγγα του Γαβριήλ, γνωστό και ως τρομπέτα του Τοριτσέλι, είναι ένα γεωμετρικό σχήμα που έχει την παράδοξη ιδιότητα να έχει άπειρη επιφάνεια αλλά πεπερασμένο όγκο. 

Σχηματίζεται περιστρέφοντας την καμπύλη της συνάρτησης $y=\dfrac {1}{x}$, γύρω από τον άξονα $x$ από $x = 1$ έως το άπειρο.

The paradox at the heart of mathematics: Gödel's Incompleteness Theorem

Marcus du Sautoy: Explore Gödel’s Incompleteness Theorem, a discovery which changed what we know about mathematical proofs and statements.

Το πλοίο του Θησέα

Το πλοίο του Θησέα είναι ένα πείραμα σκέψης που προτάθηκε από τον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο Πλούταρχο (1ος-2ος αιώνας μ.Χ.). Το πλοίο του Θησέα διατηρήθηκε από τους Αθηναίους ως μουσειακό αντικείμενο. 

Με την πάροδο του χρόνου, καθώς τα ξύλινα μέρη του φθείρονταν, αντικαταστάθηκαν σταδιακά με νέα κομμάτια ξύλου. Το παράδοξο θέτει το ερώτημα: αν κάθε μέρος του πλοίου αντικατασταθεί τελικά, εξακολουθεί να είναι το ίδιο πλοίο (πλοίο $Α$); 

The Barber Paradox

$0,99999999999999...=1$