The Lottery Paradox: A Logical Contradiction

Tap the image and dive into the Lottery Paradox audio explanation.

Sorites Paradox

Δημοκρατία ή … δικτατορία; – Το παράδοξο του Arrow

 Του Δημήτρη Χριστοφίδη 

Οι βουλευτές μιας χώρας προσπαθούν να φτιάξουν ένα καινούργιο εκλογικό νόμο. Μετά από αρκετή ένταση και πάρα πολλές διαφωνίες αποφασίζουν να καλέσουν ένα μαθηματικό για να τους βοηθήσει στην δημιουργία μιας καινούργιας εκλογικής διαδικασίας.

1) Το πρώτο πράγμα που απαιτούν οι βουλευτές είναι να ληφθεί πρόνοια για οποιοδήποτε αριθμό υποψηφίων. Κάθε πολίτης θα δικαιούται να κατατάσσει τους εκάστοτε υποψηφίους με την σειρά προτίμησης του. Η εκλογική διαδικασία πρέπει να είναι τέτοια ώστε λαμβάνοντας υπόψη τις προτιμήσεις των ψηφοφόρων να βγάζει μια τελική σειρά κατάταξης όλων των υποψηφίων.

Surprise Quiz Paradox

Ένας δάσκαλος, σε μια τάξη όπου διδάσκει πέντε ημέρες την εβδομάδα, ανακοινώνει στους μαθητές του ότι θα γράψουν ένα αιφνιδιαστικό διαγώνιασμα την επόμενη εβδομάδα.

Λέει επίσης στους μαθητές ότι επειδή δεν γνωρίζουν πότε θα το γράζουν το διαγώνισμα θα πρέπει να μελετήσουν καλά το Σαββατοκύριακο. Οι μαθητές πηγαίνουν σπίτι και προσπαθούν να καταλάβουν ποια ημέρα θα γράψουν το διαγώνισμα.

Painter’s paradox

It can be shown that the volume of revolution formed by a piece of area can be finite even if the area is infinite! A painter needs infinite amount of paint to paint the surface of a solid with finite volume.

From the above diagram, the curve in red is given by

Το παράδοξο του Allais

Το παράδοξο του Allais είναι ένα πρόβλημα επιλογής που σχεδιάστηκε από τον Maurice Allais (1953) για να δείξει μια ασυνέπεια των πραγματικών παρατηρούμενων επιλογών με τις προβλέψεις της θεωρίας της αναμενόμενης χρησιμότητας. 

Το παράδοξο Allais καταδεικνύει ότι τα άτομα σπάνια παίρνουν ορθολογικές αποφάσεις με συνέπεια όταν απαιτείται να το κάνουν αμέσως. 

Το αξίωμα της ανεξαρτησίας της θεωρίας της αναμενόμενης χρησιμότητας, το οποίο απαιτεί ότι οι προτιμήσεις ενός ατόμου δεν πρέπει να αλλάζουν όταν αλλάζουν δύο λαχειοφόροι αγορές σε ίσες αναλογίες, αποδείχθηκε ότι παραβιάστηκε από το παράδοξο. 

Διαβάστε περισσότερα »

Η Σάλπιγγα του Γαβριήλ

Η Σάλπιγγα του Γαβριήλ, γνωστό και ως τρομπέτα του Τοριτσέλι, είναι ένα γεωμετρικό σχήμα που έχει την παράδοξη ιδιότητα να έχει άπειρη επιφάνεια αλλά πεπερασμένο όγκο. 

Σχηματίζεται περιστρέφοντας την καμπύλη της συνάρτησης $y=\dfrac {1}{x}$, γύρω από τον άξονα $x$ από $x = 1$ έως το άπειρο.

The paradox at the heart of mathematics: Gödel's Incompleteness Theorem

Marcus du Sautoy: Explore Gödel’s Incompleteness Theorem, a discovery which changed what we know about mathematical proofs and statements.

Το πλοίο του Θησέα

Το πλοίο του Θησέα είναι ένα πείραμα σκέψης που προτάθηκε από τον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο Πλούταρχο (1ος-2ος αιώνας μ.Χ.). Το πλοίο του Θησέα διατηρήθηκε από τους Αθηναίους ως μουσειακό αντικείμενο. 

Με την πάροδο του χρόνου, καθώς τα ξύλινα μέρη του φθείρονταν, αντικαταστάθηκαν σταδιακά με νέα κομμάτια ξύλου. Το παράδοξο θέτει το ερώτημα: αν κάθε μέρος του πλοίου αντικατασταθεί τελικά, εξακολουθεί να είναι το ίδιο πλοίο (πλοίο $Α$); 

The Barber Paradox

$0,99999999999999...=1$

La Paradoja de la Pintura, el Cuerno INFINITO de Gabriel

Buttered Cat Paradox

Click on the image.

Το Παράδοξο των Τριών Κουτιών του Joseph Bertrand

Έχουμε τρία κουτιά των οποίων το περιεχόμενο είναι αρχικά άγνωστο και φαίνονται πανομοιότυπα μεταξύ τους από έξω. Κάθε ένα από τα κουτιά έχει δύο συρτάρια. Υπάρχει ένα χρυσό νόμισμα σε καθένα από τα δύο συρτάρια ενός κουτιού ($ΧΧ$).

Υπάρχει ένα ασημένιο νόμισμα και στα δύο συρτάρια του δεύτερου κουτιού ($ΑΑ$). Στο τρίτο κουτί, υπάρχει ασημένιο νόμισμα στο ένα συρτάρι και χρυσό στο άλλο συρτάρι ($ΑΧ$).

Τώρα ας επιλέξουμε ένα κουτί τυχαία. Αν ανοίξουμε τυχαία ένα από τα δύο συρτάρια και δούμε ότι υπάρχει ένα χρυσό νόμισμα σε αυτό, ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχει ένα χρυσό νόμισμα στο άλλο συρτάρι, με άλλα λόγια, ποια είναι η πιθανότητα να έχουμε επιλέξει το ζεύγος $ΑΑ$;

Το παράδοξο του χαμένου ευρώ

Τρεις ταξιδιώτες μπαίνουν σε ένα πανδοχείο για να περάσουν τη νύχτα. Ο ιδιοκτήτης τους ζητά συνολικά 30 € για διαμονή σε τρίκλινο δωμάτιο. Πληρώνουν ο καθένας $10$ €. 

Ο ιδιοκτήτης του ξενοδοχείου θυμάται τότε ότι ξέχασε την ειδική έκπτωση που έδωσε για εκείνη την εβδομάδα και αμέσως ανεβαίνει στο δωμάτιο και τους επιστρέφει $5$ €, αλλά επειδή δεν ξέρει πώς να διαιρέσει αυτά τα 5 € με το $3$, βάζει $2$ € στην τσέπη του και δίνει τα υπόλοιπα $3$ € σε κάθε άτομο τα μοιράζει δίνοντας τους $1$ € επιστροφή.

Το παράδοξο της ωραίας κοιμωμένης

Η ωραία κοιμωμένη δέχτηκε να συμμετάσχει στο παρακάτω πείραμα: Την Κυριακή θα πάρει μία δόση υπνωτικού και θα πέσει για ύπνο. Ενώ κοιμάται, ένας ερευνητής θα στρίψει ένα νόμισμα.

Αν το νόμισμα έρθει κορώνα, θα ξυπνήσει την κοιμωμένη τη Δευτέρα και θα της κάνει την ερώτηση: «ποια είναι η πιθανότητα το νόμισμα που έστριψα να έφερε Κορώνα;». Η κοιμωμένη θα δώσει την απάντησή της και το πείραμα θα τελειώσει.

Όλα τα άλογα έχουν το ίδιο χρώμα !

Το παράδοξο «Όλα τα άλογα έχουν το ίδιο χρώμα» είναι ένα ψευδοπαράδοξο που προκύπτει από εσφαλμένη χρήση της μαθηματικής επαγωγής. Δεν υπάρχει πραγματική αντίφαση, καθώς τα επιχειρήματα αυτά περιέχουν ένα κρίσιμο σφάλμα που τα καθιστά εσφαλμένα. 

Το συγκεκριμένο παράδειγμα πρωτοαναφέρθηκε από τον George Pólya σε ένα βιβλίο του $1954$ με διαφορετικούς όρους: «Είναι όλοι οι $n$ αριθμοί ίσοι;» ή «Όλα τα κορίτσια έχουν το ίδιο χρώμα ματιών», ως άσκηση στη μαθηματική επαγωγή. Έχει επίσης αναδιατυπωθεί ως «Όλες οι αγελάδες έχουν το ίδιο χρώμα».
Η εκδοχή του παραδόξου με τα «άλογα» παρουσιάστηκε το $1961$ σε ένα σατιρικό άρθρο του Joel E. Cohen.

Διαβάστε περισσότερα »

Γιατί συμβαίνει αυτό;

Παίρνουμε ένα τετράγωνο $8 \times 8$. Τεμαχίζουμε το τετράγωνο με τέτοιο τρόπο ώστε να πάρουμε δύο ορθογώνια τρίγωνα και δύο τραπέζια, όπως φαίνεται στο σχήμα παρακάτω.

Τα σχήματα αυτά τα ανατοποθετούμε με τέτοιο τρόπο, ώστε να σχηματίσουμε ένα ορθογώνιο:

Bertrand Russell’s Paradox Explained

The Ways of Paradox and Other Essays

I presented this as a lecture at the University of Akron, November 1961, and again at a Shop Club at Harvard. It was published under the title "Paradox" in Scientific American (Volume 206, 1962).

Frederic, protagonist of The Pirates of Penzance, has reached the age of 21 after passing only five birthdays. Several circumstances conspire to make this possible. Age is reckoned in elapsed time, whereas a birthday has to match the date of birth; and February 29 comes less frequently than once a year.

Read more »