Το Παράδοξο Ross-Littlewood

Έχεις ένα άδειο βάζο και μια άπειρη προμήθεια από μπάλες. Εκτελείς έναν ατελείωτο αριθμό βημάτων: πρώτα προσθέτεις δέκα μπάλες στο βάζο. Στη συνέχεια, αφαιρείς μία μπάλα από το βάζο. Επαναλαμβάνεις αυτό για πάντα. Πόσες μπάλες βρίσκονται στο βάζο όταν ολοκληρωθεί η διαδικασία; 

Το Παράδοξο Ρος-Λιτλγουντ είναι ένα μαθηματικό και φιλοσοφικό πρόβλημα που προκαλεί προβληματισμό λόγω της φύσης του απείρου. Ας το αναλύσουμε βήμα-βήμα για να δούμε τι συμβαίνει:

1. Σε κάθε βήμα, προσθέτεις $10$ μπάλες και αφαιρείς $1$, άρα καθαρά προσθέτεις $9$ μπάλες στο βάζο.
2. Εφόσον η διαδικασία επαναλαμβάνεται για πάντα, δηλαδή υπάρχει άπειρος αριθμός βημάτων, θα μπορούσε κανείς να υποθέσει ότι ο αριθμός των μπάλων στο βάζο τείνει στο άπειρο ($9$ μπάλες ανά βήμα επί άπειρα βήματα).

Ωστόσο, το παράδοξο προκύπτει όταν εξετάσουμε τη διαδικασία πιο προσεκτικά, δίνοντας αριθμούς στις μπάλες:

• Στο βήμα $1$, προσθέτεις τις μπάλες $1$ έως $10$ και αφαιρείς τη μπάλα $1$. Μένουν οι μπάλες $2-10$ ($9$ μπάλες).
• Στο βήμα $2$, προσθέτεις τις μπάλες $11$ έως $20$ και αφαιρείς τη μπάλα $2$. Μένουν οι μπάλες $3-20$ ($18$ μπάλες).
• Στο βήμα $3$, προσθέτεις τις μπάλες $21$ έως $30$ και αφαιρείς τη μπάλα $3$. Μένουν οι μπάλες $4-30$ ($27$ μπάλες).
• Και ούτω καθεξής.

Αν συνεχίσουμε αυτή τη διαδικασία επ’ άπειρον, παρατηρούμε ότι κάθε μπάλα με έναν συγκεκριμένο αριθμό ($1,2,3,$ κλπ.) θα αφαιρεθεί κάποια στιγμή:

• Η μπάλα $1$ αφαιρείται στο βήμα $1$.
• Η μπάλα $2$ αφαιρείται στο βήμα $2$.
• Η μπάλα $3$ αφαιρείται στο βήμα $3$.
• Και γενικά, η μπάλα $(n)$ αφαιρείται στο βήμα $(n)$.

Μετά από άπειρα βήματα, κάθε μπάλα που έχει προστεθεί στο βάζο (με έναν συγκεκριμένο αριθμό) έχει επίσης αφαιρεθεί σε κάποιο συγκεκριμένο βήμα. Επομένως, αν ρωτήσουμε "ποιες μπάλες μένουν στο βάζο;", δεν υπάρχει καμία συγκεκριμένη μπάλα που να παραμένει, καθώς όλες έχουν αφαιρεθεί.

Απάντηση: 

Το βάζο είναι άδειο όταν η διαδικασία "ολοκληρωθεί" (μετά από άπειρα βήματα). Παρόλο που προσθέτουμε συνεχώς μπάλες, η διαδικασία αφαίρεσης εξασφαλίζει ότι καμία δεν μένει στο τέλος. Αυτό είναι το παράδοξο: η διαίσθηση λέει ότι το βάζο θα έπρεπε να έχει άπειρες μπάλες, αλλά η λογική ανάλυση δείχνει ότι είναι άδειο.