Zsigmondy’s Theorem

 

Mathematical Excalibur, V.16/4

Προβολική Γεωμετρία: Το Θεώρημα του Poncelet

Το Θεώρημα του Πονσελέ (Poncelet's Porism) είναι ένα συναρπαστικό αποτέλεσμα της προβολικής γεωμετρίας, που πήρε το όνομά του από τον Γάλλο μαθηματικό Ζαν-Βικτόρ Πονσελέ. 

Αφορά την ύπαρξη πολυγώνων με σταθερό αριθμό πλευρών, τα οποία μπορούν να εγγραφούν σε μία κωνική τομή (όπως έλλειψη ή υπερβολή) και ταυτόχρονα να περιγραφούν γύρω από μία άλλη κωνική τομή.

Το θεώρημα διατυπώνεται ως εξής:

Το Θεώρημα των Τεσσάρων Τετραγώνων του Lagrange

Το Θεώρημα των Τεσσάρων Τετραγώνων του Lagrange δηλώνει ότι κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα τεσσάρων τετραγώνων. 

Συγκεκριμένα, για κάθε φυσικό αριθμό $n$, υπάρχουν ακέραιοι $a_1,a_2,a_3,a_4$ ώστε:$$n=a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2.$$

Το θεώρημα του Wilson

Έστω $p$ ένας πρώτος αριθμός, τότε $$(p-1)!\equiv -1(\mathrm{mod}p).$$

See three proofs of theorem here.

Το Κριτήριο Παρεμβολής (Squeeze Theorem) και η Χρήση του

Το Κριτήριο Παρεμβολής, γνωστό και ως Squeeze Theorem, αποτελεί ένα χρήσιμο εργαλείο για τον υπολογισμό ορίων συναρτήσεων σε περιπτώσεις όπου η άμεση αντικατάσταση αποτυγχάνει. 

Σε αυτό το άρθρο, θα εξηγήσουμε το θεώρημα μέσα από ένα απλό παράδειγμα και στη συνέχεια θα προχωρήσουμε στην απόδειξή του. Θα χρησιμοποιήσουμε το Κριτήριο Παρεμβολής για να υπολογίσουμε το όριο:$$\underset{x\to 0}{lim}x\sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$$

Το Θεώρημα του Viviani: Το Άθροισμα των Καθέτων σε Ένα Ισόπλευρο Τρίγωνο

Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, επιλέξτε ένα εσωτερικό σημείο $P$ και φέρτε τις κάθετες από το $P$ προς καθεμία από τις τρεις πλευρές. Το άθροισμα αυτών των αποστάσεων ισούται με το ύψος του τριγώνου. Αυτό είναι γνωστό ως το θεώρημα του Viviani.

Μια οπτική απόδειξη, που προτάθηκε από τον CMG Lee, έχει ως εξής: 

Από το σημείο $P$, χαράξτε τρεις ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου $ABC$. Αυτές οι ευθείες δημιουργούν τρία μικρότερα ισόπλευρα τρίγωνα. 

Από το Θεώρημα στη Θάλασσα: Το Πυθαγόρειο

Η γραφική πόλη Πυθαγόρειο, φωλιασμένη στο νότιο τμήμα του ελληνικού νησιού της Σάμου, φέρει περήφανα το όνομα του μεγάλου μαθηματικού και φιλοσόφου Πυθαγόρα, ο οποίος γεννήθηκε εδώ πριν από αιώνες.

Στο λιμάνι της πόλης δεσπόζει το επιβλητικό άγαλμα του Πυθαγόρα, ένας φόρος τιμής στον άνθρωπο που χάρισε στον κόσμο το διάσημο Πυθαγόρειο Θεώρημα. Πέρα από την ιστορική της σημασία, η πόλη ξεχωρίζει για τη γοητευτική αρχιτεκτονική της, τα γραφικά σοκάκια και τη μαγευτική θέα στο Αιγαίο.

Το Πυθαγόρειο αποτελεί έναν προορισμό όπου το παρελθόν, ο πολιτισμός και η φυσική ομορφιά συνυπάρχουν αρμονικά, προσφέροντας μια αξέχαστη εμπειρία στον επισκέπτη.

Αναγνώρισε το Θεώρημα !

Ποιο θεώρημα της Γεωμετρίας αναγνωρίζετε;

 

Ο Kurt Gödel και το Θεώρημα της Μη Πληρότητας: Υπάρχουν Ερωτήματα Χωρίς Απαντήσεις!

Πίστευες ότι τα μαθηματικά έχουν απαντήσεις για τα πάντα; Ο Kurt Gödel, ένας Αυστροαμερικανός μαθηματικός του 20ού αιώνα, μας έδειξε ότι ακόμα και σε αυτόν τον κόσμο της απόλυτης βεβαιότητας… υπάρχουν όρια! 

Με το Θεώρημα της Μη Πληρότητας, που δημοσιεύτηκε το 1931, ο Gödel απέδειξε ότι τα μαθηματικά δεν μπορούν ποτέ να είναι ταυτόχρονα πλήρη και συνεπή. 

Τι σημαίνει αυτό στην πιο απλή του μορφή;

THEOREM OF THE DAY: The Pythagorean Theorem

 Theorem 

Consider a triangle with angles $A,B$ and $C$ and opposite sides $a,b4and$c4, respectively. 

 

If $C={90}^{\circ }$, then 

$c^2=a^2+b^2$.

Click on the image.

Θεώρημα Zeckendorf

Θεώρημα

Κάθε θετικός ακέραιος μπορεί να αναπαρασταθεί μοναδικά ως το άθροισμα ενός ή περισσότερων διαφορετικών αριθμών Fibonacci, με τέτοιο τρόπο ώστε το άθροισμα να μην περιλαμβάνει δύο συνεχόμενους αριθμούς Fibonacci. 

Για παράδειγμα: $51=34+13+3+1$. 

Ανακαλύφθηκε το 1952 από τον Ολλανδό μαθηματικό Gerrit Lekkerkerker (και επισημάνθηκε 20 χρόνια αργότερα από τον Edouard Zeckendorf).

Θεώρημα ευθείας του Ντροζ-Φάρνι (Droz-Farny line theorem)

Στην ευκλείδεια γεωμετρία, το θεώρημα της ευθείας Ντροζ-Φάρνι περιγράφει μια ενδιαφέρουσα ιδιότητα που σχετίζεται με δύο κάθετες ευθείες που περνούν από το ορθοκέντρο ενός τριγώνου.

Ας θεωρήσουμε ένα τρίγωνο με κορυφές $A,B$ και $C$, και ορθοκέντρο $H$, δηλαδή το σημείο όπου τέμνονται τα τρία ύψη του τριγώνου. Σχεδιάζουμε δύο ευθείες $L_1$ και $L_2$, που είναι κάθετες μεταξύ τους και διέρχονται από το $H$.

Fermat's Little Theorem

Fermat's Little Theorem

Θεώρημα των τριών κύκλων του Monge

Θεώρημα

Για τρεις κύκλους στο επίπεδο, κανένας από τους οποίους δεν περιέχεται πλήρως μέσα σε κάποιον άλλο, τα σημεία τομής των ζευγών των εξωτερικών κοινών εφαπτόμενων βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Δηλαδή, αν σχεδιάσουμε τις δύο κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες για κάθε ζεύγος κύκλων, τότε τα σημεία τομής αυτών των εφαπτόμενων ανήκουν σε μια ευθεία.

Infinite Product of One Plus Reciprocals of Squares

 $$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{n^2})=(1+\frac{1}{1})\times (1+\frac{1}{4})\times (1+\frac{1}{9})\times \cdots$$ $$=\frac{\sinh \pi }{\pi }=\frac{e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }$$

$$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{n^2})=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^2+1}{n^2}$$ $$=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(n-i)(n+i)}{(n-0)(n-0)}\text{(Difference of Two Squares)}$$ $$=\frac{\mathrm{\Gamma }(1)\mathrm{\Gamma }(1)}{\mathrm{\Gamma }(1+i)\mathrm{\Gamma }(1-i)}\text{(Infinite Product Formula)}$$

Malfatti Circles

Malfatti Circles

Η Κλειστή Διαδρομή του Τρίγωνου: Η Ανακάλυψη του Γκέρχαρντ Τόμσεν

Σχεδιάστε ένα τρίγωνο και επιλέξτε ένα σημείο σε μία από τις πλευρές του. Από αυτό το σημείο, σχεδιάστε μια ακολουθία τμημάτων, όπου κάθε νέο τμήμα είναι παράλληλο σε μία από τις πλευρές του τριγώνου.

 

Όσο συνεχίζετε αυτή τη διαδικασία, θα διαπιστώσετε ότι η γραμμή που σχηματίζεται τελικά επιστρέφει στο αρχικό σημείο, σχηματίζοντας ένα κλειστό μονοπάτι.

Αυτό το κομψό γεωμετρικό αποτέλεσμα ανακαλύφθηκε από τον Γερμανό μαθηματικό Γκέρχαρντ Τόμσεν.

Θεώρημα Cayley-Hamilton

Το θεώρημα Cayley-Hamilton αναφέρει ότι κάθε τετραγωνικός πίνακας ικανοποιεί το χαρακτηριστικό του πολυώνυμο. 

Διατύπωση:

 Έστω $A$ ένας τετραγωνικός πίνακας τάξης $n\times n$ με χαρακτηριστικό πολυώνυμο $$p_A(\lambda )=\text{det}(\lambda I-A)={\lambda }^n+c_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +c_1\lambda +c_0$$ Τότε, αν αντικαταστήσουμε τον πίνακα $A$ αντί για την μεταβλητή $\lambda$, προκύπτει: $$p_A(A)=A^n+c_{n-1}{A}^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_{0}I=0$$ δηλαδή ο πίνακας μηδέν. 

THEOREM OF THE DAY: Euler’s Continued Fraction Correspondence

Click on the image. 

Hockey Stick Identity από το Τρίγωνο του Πασκάλ

Η ταυτότητα αυτή εκφράζεται μαθηματικά ως εξής: $$\sum _{i=0}^r(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+i}{i})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r+1}{r})$$ Αυτή η ταυτότητα λέει ότι το άθροισμα των διωνυμικών συντελεστών από ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})}$ έως ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r}{r})}$ είναι ίσο με τον διωνυμικό συντελεστή ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r+1}{r})}$. 

 

Το όνομα "Hockey Stick" προέρχεται από το σχήμα που δημιουργείται όταν απεικονίζεται αυτή η σχέση στο Τρίγωνο του Πασκάλ, το οποίο μοιάζει με το σχήμα ενός ραβδιού χόκεϊ.