Το Θεώρημα του Νικομάχου

Τι λέει το Θεώρημα του Νικομάχου;

Το θεώρημα του Νικομάχου αναφέρει ότι το άθροισμα των κύβων των πρώτων $n$ φυσικών αριθμών είναι ίσο με το τετράγωνο του αθροίσματός τους.

Μαθηματικά, εκφράζεται ως:

$$1^3+2^3+\cdots +n^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2$$

Παράδειγμα:

Για τους πρώτους 4 φυσικούς αριθμούς:

• Οι κύβοι τους είναι: $1^3,2^3,3^3,4^3$, δηλαδή $1,8,27,64$

• Το άθροισμα των κύβων είναι:

  $$1+8+27+64=100.$$

• Το άθροισμα των αριθμών είναι:

  $$1+2+3+4=10.$$

• Το τετράγωνο του αθροίσματος:

  $${10}^2=100.$$

Όπως βλέπουμε, το άθροισμα των κύβων $100$ είναι ίσο με το τετράγωνο του αθροίσματος $100$.

---

Ποιος ήταν ο Νικόμαχος;

Ο Νικόμαχος ο Γερασηνός ήταν αρχαίος Έλληνας μαθηματικός και φιλόσοφος (περ. 1ος-2ος αιώνας μ.Χ.), από την πόλη Γέρασα (σημερινή Ιορδανία). Ήταν Πυθαγόρειος, ενδιαφερόμενος κυρίως για τις αριθμητικές σχέσεις και τη φιλοσοφική σημασία των αριθμών.

Νικόμαχος από τα Γέρασα

Έγραψε την Αριθμητική Εισαγωγή, ένα από τα σημαντικότερα έργα για την Πυθαγόρεια θεωρία των αριθμών.

---

Η σημασία του Θεωρήματος του Νικομάχου

Το θεώρημα είναι εντυπωσιακό γιατί δείχνει μια όμορφη αριθμητική σχέση ανάμεσα στους κύβους και τα τετράγωνα.

• Αποκαλύπτει μια μαθηματική αρμονία που είχε αναγνωριστεί ήδη από την αρχαιότητα.

• Είναι ένα από τα πρώτα παραδείγματα αριθμητικών ταυτοτήτων που μελετήθηκαν από τους Πυθαγόρειους.

• Μας δείχνει πώς οι αρχαίοι Έλληνες αντιλαμβάνονταν τα μαθηματικά όχι μόνο ως εργαλείο υπολογισμού, αλλά και ως έκφραση τάξης και ομορφιάς στον κόσμο των αριθμών.

Εκτός από τα μαθηματικά, ο Νικόμαχος έγραψε έργα για τη μουσική και την αρμονία, περιλαμβάνοντας την αρχαιότερη σωζόμενη αναφορά στη θεοφάνεια του Πυθαγόρα.