Το Κριτήριο Παρεμβολής (Squeeze Theorem) και η Χρήση του

Το Κριτήριο Παρεμβολής, γνωστό και ως Squeeze Theorem, αποτελεί ένα χρήσιμο εργαλείο για τον υπολογισμό ορίων συναρτήσεων σε περιπτώσεις όπου η άμεση αντικατάσταση αποτυγχάνει. 

Σε αυτό το άρθρο, θα εξηγήσουμε το θεώρημα μέσα από ένα απλό παράδειγμα και στη συνέχεια θα προχωρήσουμε στην απόδειξή του. Θα χρησιμοποιήσουμε το Κριτήριο Παρεμβολής για να υπολογίσουμε το όριο:$$\underset{x\to 0}{lim}x\sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$$ Το πρόβλημα εδώ είναι ότι δεν μπορούμε να υπολογίσουμε άμεσα το όριο του $x\sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$ στο μηδέν, επειδή το ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ τείνει στο άπειρο, με αποτέλεσμα η συνάρτηση να ταλαντώνεται άπειρες φορές όσο το $x$ τείνει στο μηδέν. 

Χρήση του Θεωρήματος 

Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση ημιτόνου είναι πάντα περιορισμένη στο διάστημα $[-1,1]$ για κάθε $x$, δηλαδή: $$-1\le \sin \left(\frac{1}{x}\right)\le 1$$ Πολλαπλασιάζοντας όλα τα μέλη της ανισότητας με $x$ (που είναι πάντα μη αρνητικό για $x>0$), έχουμε: $$-x\le x\sin \left(\frac{1}{x}\right)\le x$$ Γνωρίζουμε ήδη ότι: $$\underset{x\to 0}{lim}(-x)=0\text{και}\underset{x\to 0}{lim}x=0$$ Επομένως, από το Κριτήριο Παρεμβολής, προκύπτει ότι: $$\underset{x\to 0}{lim}x\sin \left(\frac{1}{x}\right)=0$$ Η Διατύπωση του Θεωρήματος

Το Κριτήριο Παρεμβολής δηλώνει ότι αν υπάρχουν τρεις συναρτήσεις $f(x)$, $g(x)$, $h(x)$ τέτοιες ώστε: $$f(x)\le g(x)\le h(x)\text{για κάθε}x\text{στην περιοχή μελέτης},$$ και αν ισχύει: $$\underset{x\to a}{lim}f(x)=\underset{x\to a}{lim}h(x)=L,$$ τότε αναγκαστικά: $$\underset{x\to a}{lim}g(x)=L.$$ Αυτή η ιδιότητα είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για τον υπολογισμό ορίων συναρτήσεων που περιέχουν ταλαντούμενα μέλη, όπως το ημίτονο ή το συνημίτονο.