Γενίκευση

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο και μία τυχούσα χορδή $AT$ που τέμνει την πλευρά $BC$ στο $D$. 

 

Ένας άλλος κύκλος εφάπτεται στα τμήματα $BD,AD$ στα $E,N$ αντίστοιχα και εσωτερικά στον περίκυκλο του $ABC$ στο σημείο $Z$. Να δείξετε ότι $${\displaystyle CE\cdot AT=CT\cdot AN+AC\cdot NT.}$$

Πηγή: mathematica

[7] - Geometric problems from and for Μath Contests

Μέσα σε έναν μεγάλο κύκλο ακτίνας $R$, έχουν σχεδιαστεί δύο μικρότεροι κύκλοι με ακτίνες $r_1$ και $r_2$, οι οποίοι εφάπτονται μεταξύ τους και εσωτερικά του μεγάλου κύκλου. 

Τα σημεία στα οποία οι μικρότεροι κύκλοι εφάπτονται του μεγάλου κύκλου ορίζουν το ευθύγραμμο τμήμα $AB$, το οποίο διέρχεται από το κοινό σημείο επαφής τους. 

Να αποδείξετε ότι 

$r_1+r_2=R$

και να εξετάσετε αν ισχύει το αντίστροφο.

Γεωμετρική κατασκευή του άρρητου αριθμού 3

Ο μεγάλος έχει διάμετρο ίση με το άθροισμα των διαμέτρων των 9 μικρών λευκών κύκλων. Ο κόκκινος και ο μπλε κύκλος επικαλύπτουν το κέντρο του μεγάλου γκρι κύκλου. 

Η απόσταση των σημείων τομής των δύο κύκλων (κόκκινου και μπλε) είναι $\sqrt{3}$.

Υπολογισμός του Εμβαδού σε μία Κυκλική Διάταξη

Αν η ακτίνα καθενός από τους μικρότερους κύκλους είναι $1$ cm και η ακτίνα του μεγαλύτερου κύκλου είναι τετραγωνική ρίζα $2$, ποιο είναι το εμβαδόν της μπλε περιοχής;

Ζητούμενο άθροισμα

Ο κύκλος ${\omega }_1$ με ακτίνα $6$ και κέντρο το σημείο $A$ είναι εσωτερικά εφαπτόμενος στον κύκλο ${\omega }_2$ με ακτίνα $15$ στο σημείο $B$. 

Τα σημεία $C$ και $D$ βρίσκονται στον κύκλο ${\omega }_2$ έτσι ώστε το $\overline{BC}$ να είναι διάμετρος του κύκλου ${\omega }_2$ και $\overline{BC}\perp \overline{AD}$. 

Αναγνώρισε το Θεώρημα !

Ποιο θεώρημα της Γεωμετρίας αναγνωρίζετε;

 

Street Math Problems

 

Πρόβλημα τεσσάρων κύκλων

Τρεις ίσοι κύκλοι, καθένας ακτίνας $1$, σχεδιάζονται εφαπτόμενοι μεταξύ τους και σε έναν κύκλο ακτίνας $R$, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Να βρεθεί η ακτίνα $R$ του κύκλου.

Θεώρημα των τριών κύκλων του Monge

Θεώρημα

Για τρεις κύκλους στο επίπεδο, κανένας από τους οποίους δεν περιέχεται πλήρως μέσα σε κάποιον άλλο, τα σημεία τομής των ζευγών των εξωτερικών κοινών εφαπτόμενων βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Δηλαδή, αν σχεδιάσουμε τις δύο κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες για κάθε ζεύγος κύκλων, τότε τα σημεία τομής αυτών των εφαπτόμενων ανήκουν σε μια ευθεία.

Η γεωμετρία των τεσσάρων + 1 κύκλων

Τέσσερις ίσοι κύκλοι εφάπτονται ανά δύο μεταξύ τους και ταυτόχρονα εφάπτονται εσωτερικά σε έναν μεγαλύτερο κύκλο.

Να βρεθεί ο λόγος της ακτίνας του μεγάλου κύκλου προς την ακτίνα των μικρότερων κύκλων;

Malfatti Circles

Malfatti Circles

Μέγιστο εμβαδόν

Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει δύο πλευρές μήκους $1$. Ένας κύκλος εγγράφετι στο εσωτερικό του. 

Να βρεθεί το εμβαδόν του μεγαλύτερου δυνατού κύκλου.

Μεσοτοιχία

Έστω $I,O$ το έγκεντρο και το περίκεντρο αντίστοιχα τριγώνου $ABC$ και $E$ το σημείο όπου η διχοτόμος της γωνίας $\hat{A}$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο. 

Αν $I^{\prime }$ είναι το συμμετρικό του $I$ ως προς την $BC$ και η $E{I}^{\prime }$ τέμνει τον κύκλο στο $F$, να δείξετε ότι η $OI$ διέρχεται από το μέσο $M$ της $AF$.

Πηγή: mathematica

Κεντρικός Δίσκος ή Εξωτερικός Δακτύλιος;

Ποια από τις δύο χρωματισμένες περιοχές είναι μεγαλύτερη, ο κεντρικός δίσκος (κίτρινος) ή ο εξωτερικός δακτύλιος (πορτοκαλί); Παραδόξως, είναι ίσοι. Καθένας από τους ομόκεντρους κύκλους έχει ακτίνα $1$ μονάδα μεγαλύτερη από τον τελευταίο.

Άρα το εμβαδόν του κεντρικού δίσκου είναι $\pi \times 3^2$ τ.μ και το εμβαδόν του εξωτερικού δακτυλίου είναι 

$\pi \times 5^2–\pi \times 4^2=\pi \times 3^2$ τ.μ. 

Άρα οι δύο τομείς είναι ίδιοι.

Τέσσερις ίσοι κύκλοι

Τέσσερις ίσοι κύκλοι ακτίνας R διέρχονται από κοινό σημείο $K$, όπως φαίνεται στην εικόνα. 

Πόση είναι η περίμετρος του σχήματος;

Πηγή: mathematica

Τρεις κύκλοι μέσα σε κύκλο

Ποια είναι η ακτίνα του μικρότερου κύκλου που περιέχει τρεις κύκλους ακτίνας $1$; Τι γίνεται με $4,5$ ή περισσότερους κύκλους;

 

Πρόκληση Χωροταξίας με Τετράγωνα

Ποια είναι η ακτίνα του μεγαλύτερου κύκλου που χωράει μέσα στο μεγάλο τετράγωνο χωρίς να επικαλύπτει το μικρό τετράγωνο;

S1+S2+S3=S4

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

Sangaku με ίσους κύκλους

Το σημείο $D$ στην πλευρά $BC$ του $\Delta ABC$ είναι τέτοιο ώστε οι περιγγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $ACD$ και $ABD$ να έχουν ίσες ακτίνες. 

Να βρείτε το μήκος της $AD$, συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου.

Τετραχρωμία εμβαδών

Στο παρακάτω σχήμα, να αποδειχθεί ότι $$S_1+S_2=S_4-S_3.$$