Κύκλοι και τρίγωνο

Ένα ισοσκελές τρίγωνο με βάση τη διάμετρο του μεγάλου πράσινου κύκλου εφάπτεται στο εσωτερικό του κύκλου. Ο κόκκινος κύκλος διέρχεται από μια κορυφή του τριγώνου και εγγράφεται στον πράσινο κύκλο,  όπως φαίνεται στο σχήμα.

Επιπλέον, υπάρχει ένας μπλε κύκλος στο εσωτερικό του πράσινου κύκλου, που εφάπτεται στον κόκκινο κύκλο και στο τρίγωνο. 

Δείξτε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που διέρχεται από το κέντρο του μπλε κύκλου και το κοινό σημείο του κόκκινου κύκλου και του τριγώνου είναι κάθετο στη διάμετρο του πράσινου κύκλου.

Μπορεί ένας κύκλος να έχει άπειρη ακτίνα;

Ποια είναι η απάντησή σας;

Ακτίνα κύκλου

Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου.

Έλλειψη σε ορθογώνιο τρίγωνο

Μια έλλειψη είναι εγγεγραμμένη σε ορθογώνιο τρίγωνο και ο μεγάλος άξονάς της είναι παράλληλος με την υποτείνουσα. 

Δύο εφαπτόμενοι κύκλοι της ίδιας ακτίνας είναι εγγεγραμμένοι στην έλλειψη. Ένας τρίτος κύκλος, ίδιας ακτίνας με τους δύο πρώτους, εφάπτεται τόσο στην έλλειψη όσο και στις άλλες δύο πλευρές του τριγώνου.

Να εκφραστεί η κοινή ακτίνα των τριών κύκλων ως προς τις πλευρές του τριγώνου.

Ορθογώνιο τρίγωνο Sangaku

Δύο εφαπτόμενοι μεταξύ τους εφάπτονται και επί επιπέδου εδάφους στα σημεία $Α$ και $Β$. Να αποδειχθεί ότι τοτετράγωνο της απόστασης $ΑΒ$ είναι ίσο με το τετραπλάσιο του γινομένου των ακτίνων των κύκλων, δηλαδή

Πλευρά άλφα

Ένα ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $Q$ με κέντρο $O$ και ακτίνα $R = 50$. Ονομάζουμε $D$ το μέσο του τμήματος $AB$ και κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο $DEF$ του οποίου οι κορυφές βρίσκονται στον κύκλο $Q$. 

Το σημείο $H$ είναι το μέσο του τμήματος $EF$. Προσδιορίστε την πλευρά $α$ του τριγώνου $DEF$.

Χρωματιστά τετράγωνα

Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου, στο εσωτερικοό του οποίου είναι τοποθετημένα τέσσερα ίσα τετράγωνα πλευράς $2$, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Twin Circles of Archimedes

The arbelos (ancient Greek for "shoemaker's knife") is a geometric figure that was already explored by Archimedes from Syracuse. It is bounded by three semicircles and is shown here in green color. 

Click on the image.

An interesting property becomes visible if the common tangent of the two small semicircles is added (vertical line). In the two parts of the arbelos that are separated by this line, we draw the largest circles (violet) that still fit. Because these circles have the same radius, they are called the twin circles of Archimedes. 

$εφχ=?$

Στο παρακάτω σχήμα, ο κύκλος είναι μοναδιαίος και τα ορθογώνια είναι ίσα.

Να βρεθεί η $εφχ$.

Εσωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι

Δίδεται κύκλος κέντρου $O$, ευθεία που δεν διέρχεται από το $O$ και σημείο $S$ μέσα στον κύκλο διαφορετικό από το $O$.

Να κατασκευαστεί κύκλος, διερχόμενος από το $S$ και να εφάπτεται του δεδομένου κύκλου και της δεδομένης ευθείας. Διερεύνηση.

Πηγή: mathematica

Ακτίνα του μεγάλου

Το σχήμα δείχνει τέσσερις κύκλους. Ο μεγαλύτερος κύκλος τέμνει τους άλλους τρεις κύκλους, αλλά κανένας από τους μικρότερους κύκλους δεν τέμνεται. Οι ακτίνες των τριών μικρότερων κύκλων είναι $2, 2$ και $1$. 

Το άθροισμα των εμβαδών τριών μπλε περιοχών έξω από τον μεγαλύτερο κύκλο είναι το ίδιο με το εμβαδόνς της κίτρινης περιοχής που βρίσκεται μέσα στον μεγαλύτερο κύκλο αλλά όχι μέσα σε κανέναν από τους τρεις μικρότερους κύκλους.

Ποια είναι η ακτίνα του μεγαλύτερου κύκλου;

Για την επόμενη παραγγελία !

Μια πίτσα $18$ ιντσών έχει περισσότερη πίτσα από δύο πίτσες $12$ ιντσών.

@Cliff Pickover

Μάχη εμβαδών

Ποιο εμβαδόν είναι μεγαλύτερο, του κίτρινου κύκλου ή του κόκκινου τετραγώνου;

A Hyperbolic View of the Seven Circles Theorem

Cecil John Alvin Evelyn, or simply “Jack” to friends, was born in 1904 in the United Kingdom in the aristocratic Evelyn family. A true “gentleman of leisure”, he had hobbies rather than jobs. 

Among those hobbies was a genuine passion for elementary geometry. Jack and some friends, also gentlemen of leisure, often spent time in a cafe hand-plotting various lines and circles on large sheets of paper in pursuit of new configuration theorems. 

These plots, which today might be routine manipulations with modern geometry software, back then were acts of scientific inquiry. One result of these meetings was a self-published book “The Seven Circles Theorem and other new theorems”, [EMCT]. (He also co-authored several papers in number theory; see the bibliography in [Tyr].)

Read more »

Μήκος πλευράς

Οι δύο χρωματισμένες επιφάνειας είναι ισεμβαδικές. Να βρεθεί η πλευρά $x$ του τετραγώνου.

Γιατί διαιρούμε τον κύκλο σε $360º$ ?

Οι Βαβυλώνιοι διαιρούσαν τον κύκλο σε $360º$ επειδή ευθυγραμμίζονταν με το σεληνιακό ημερολόγιό τους, το οποίο είχε $12$ μήνες των $30$ ημερών ο καθένας. 

Το $360$ είναι επίσης ένας ιδιαίτερα σύνθετος αριθμός με πολλούς διαιρέτες, γεγονός που καθιστά εύκολη την υποδιαίρεση του κύκλου σε μικρότερα τμήματα.

Διαγώνιος τώρα !

Ένα ορθογώνιο $ODEC$ εγγράφεται σε τέταρτο κύκλο με κέντρο $Ο$, όπως φαίνεται στο σχήμα. 

Να βρεθεί (σε δευτερόλεπτα😊) το μήκος του διαγωνίου $CD$.

Μάρτιν Γκάρντνερ

Πράσινο : Κόκκινο

Στο παρακάτω σχήμα, το τετράγωνο το τετράγωνο έχει δύο κορυφές επί των δύο ίσων εφαπτόμενων κύκλων και η βάση βρ΄σικεται επί της κοινής εφαπτομένης των κύκλων αυτών.

Να βρεθεί ο λόγος των εμβαδών του τετραγώνου προς το άθροισμα των εμβαδών των δύο κόκκινων τριγώνων.

Ακτίνα συναρτήσει πλευρών

Ακτίνα του περιγγεγραμμένου κύκλου τετραπλεύρου, συναρτήσει των μηκών των πλευρών του.

$R=?$

Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου.