Ομόκεντροι κύκλοι

Βλέπουμε ένα μυστηριώδες σύνολο ομόκεντρων κυκλικών δακτυλίων στον νυχτερινό ουρανό. Κάθε δακτύλιος έχει το ίδιο πλάτος. 

Ποιο είναι μεγαλύτερο: 

α) το εμβαδόν του μωβ σκιασμένου (εξωτερικού) δακτυλίου ή 

β) το σύνολο των δακτυλίων με κυανή σκίαση;

@Cliff Pickover

Ακτίνες κύκλων

👉Αν προσθέσουμε τις περιφέρειές τους, έχουμε 

$10322 × π$

👉Αν προσθέσουμε τα εμβαδά τους, έχουμε 

$13946281 × π$. 

Ποια είναι η ακτίνα του κάθε κύκλου;

Τώρα είναι κατανοητό γιατί το εμβαδόν ενός κύκλου είναι $πr^2$ !

Αποδείξεις χωρίς λόγια.

Ακτίνα κύκλου

Στο παρακάτω σχήμα, το άθροισμα των εμβαδών των τεσσάρων τετραγώνων είναι $2$. 

Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου.

@Igor Tigerrr Geometerrr

Sangaku από το Περού

Να αποδειχθεί ότι:  $$\dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{m}+ \dfrac{1}{n}.$$

Ακτίνα κύκλου

Στο παρακάτω σχήμα, να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου.

Όριο σε Κύκλο

Να βρεθεί το όριο:

@Eduard Razvan Tomciuc

Διαχωρισμός κορώνας

Στο παρακάτω σχήμα που ορίζεται από δύο κύκλους ακτίνων $2$ και $14$ cm, σχεδιάζεται ένας άλλο ομόκεντρος, που χωρίζει την εν λόγω κορώνα σε δύο περιοχές ίσου εμβαδού.

Ποια είναι η ακτίνα του εν λόγω κύκλου;

Κύκλοι και τρίγωνο

Ένα ισοσκελές τρίγωνο με βάση τη διάμετρο του μεγάλου πράσινου κύκλου εφάπτεται στο εσωτερικό του κύκλου. Ο κόκκινος κύκλος διέρχεται από μια κορυφή του τριγώνου και εγγράφεται στον πράσινο κύκλο,  όπως φαίνεται στο σχήμα.

Επιπλέον, υπάρχει ένας μπλε κύκλος στο εσωτερικό του πράσινου κύκλου, που εφάπτεται στον κόκκινο κύκλο και στο τρίγωνο. 

Δείξτε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που διέρχεται από το κέντρο του μπλε κύκλου και το κοινό σημείο του κόκκινου κύκλου και του τριγώνου είναι κάθετο στη διάμετρο του πράσινου κύκλου.

Μπορεί ένας κύκλος να έχει άπειρη ακτίνα;

Ποια είναι η απάντησή σας;

Ακτίνα κύκλου

Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου.

Έλλειψη σε ορθογώνιο τρίγωνο

Μια έλλειψη είναι εγγεγραμμένη σε ορθογώνιο τρίγωνο και ο μεγάλος άξονάς της είναι παράλληλος με την υποτείνουσα. 

Δύο εφαπτόμενοι κύκλοι της ίδιας ακτίνας είναι εγγεγραμμένοι στην έλλειψη. Ένας τρίτος κύκλος, ίδιας ακτίνας με τους δύο πρώτους, εφάπτεται τόσο στην έλλειψη όσο και στις άλλες δύο πλευρές του τριγώνου.

Να εκφραστεί η κοινή ακτίνα των τριών κύκλων ως προς τις πλευρές του τριγώνου.

Ορθογώνιο τρίγωνο Sangaku

Δύο εφαπτόμενοι μεταξύ τους εφάπτονται και επί επιπέδου εδάφους στα σημεία $Α$ και $Β$. Να αποδειχθεί ότι τοτετράγωνο της απόστασης $ΑΒ$ είναι ίσο με το τετραπλάσιο του γινομένου των ακτίνων των κύκλων, δηλαδή

Πλευρά άλφα

Ένα ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $Q$ με κέντρο $O$ και ακτίνα $R = 50$. Ονομάζουμε $D$ το μέσο του τμήματος $AB$ και κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο $DEF$ του οποίου οι κορυφές βρίσκονται στον κύκλο $Q$. 

Το σημείο $H$ είναι το μέσο του τμήματος $EF$. Προσδιορίστε την πλευρά $α$ του τριγώνου $DEF$.

Χρωματιστά τετράγωνα

Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου, στο εσωτερικοό του οποίου είναι τοποθετημένα τέσσερα ίσα τετράγωνα πλευράς $2$, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Twin Circles of Archimedes

The arbelos (ancient Greek for "shoemaker's knife") is a geometric figure that was already explored by Archimedes from Syracuse. It is bounded by three semicircles and is shown here in green color. 

Click on the image.

An interesting property becomes visible if the common tangent of the two small semicircles is added (vertical line). In the two parts of the arbelos that are separated by this line, we draw the largest circles (violet) that still fit. Because these circles have the same radius, they are called the twin circles of Archimedes. 

$εφχ=?$

Στο παρακάτω σχήμα, ο κύκλος είναι μοναδιαίος και τα ορθογώνια είναι ίσα.

Να βρεθεί η $εφχ$.

Εσωτερικά εφαπτόμενοι κύκλοι

Δίδεται κύκλος κέντρου $O$, ευθεία που δεν διέρχεται από το $O$ και σημείο $S$ μέσα στον κύκλο διαφορετικό από το $O$.

Να κατασκευαστεί κύκλος, διερχόμενος από το $S$ και να εφάπτεται του δεδομένου κύκλου και της δεδομένης ευθείας. Διερεύνηση.

Πηγή: mathematica

Ακτίνα του μεγάλου

Το σχήμα δείχνει τέσσερις κύκλους. Ο μεγαλύτερος κύκλος τέμνει τους άλλους τρεις κύκλους, αλλά κανένας από τους μικρότερους κύκλους δεν τέμνεται. Οι ακτίνες των τριών μικρότερων κύκλων είναι $2, 2$ και $1$. 

Το άθροισμα των εμβαδών τριών μπλε περιοχών έξω από τον μεγαλύτερο κύκλο είναι το ίδιο με το εμβαδόνς της κίτρινης περιοχής που βρίσκεται μέσα στον μεγαλύτερο κύκλο αλλά όχι μέσα σε κανέναν από τους τρεις μικρότερους κύκλους.

Ποια είναι η ακτίνα του μεγαλύτερου κύκλου;

Για την επόμενη παραγγελία !

Μια πίτσα $18$ ιντσών έχει περισσότερη πίτσα από δύο πίτσες $12$ ιντσών.

@Cliff Pickover