A Hyperbolic View of the Seven Circles Theorem

Cecil John Alvin Evelyn, or simply “Jack” to friends, was born in 1904 in the United Kingdom in the aristocratic Evelyn family. A true “gentleman of leisure”, he had hobbies rather than jobs. 

Among those hobbies was a genuine passion for elementary geometry. Jack and some friends, also gentlemen of leisure, often spent time in a cafe hand-plotting various lines and circles on large sheets of paper in pursuit of new configuration theorems. 

These plots, which today might be routine manipulations with modern geometry software, back then were acts of scientific inquiry. One result of these meetings was a self-published book “The Seven Circles Theorem and other new theorems”, [EMCT]. (He also co-authored several papers in number theory; see the bibliography in [Tyr].)

Read more »

Μήκος πλευράς

Οι δύο χρωματισμένες επιφάνειας είναι ισεμβαδικές. Να βρεθεί η πλευρά $x$ του τετραγώνου.

Γιατί διαιρούμε τον κύκλο σε $360º$ ?

Οι Βαβυλώνιοι διαιρούσαν τον κύκλο σε $360º$ επειδή ευθυγραμμίζονταν με το σεληνιακό ημερολόγιό τους, το οποίο είχε $12$ μήνες των $30$ ημερών ο καθένας. 

Το $360$ είναι επίσης ένας ιδιαίτερα σύνθετος αριθμός με πολλούς διαιρέτες, γεγονός που καθιστά εύκολη την υποδιαίρεση του κύκλου σε μικρότερα τμήματα.

Διαγώνιος τώρα !

Ένα ορθογώνιο $ODEC$ εγγράφεται σε τέταρτο κύκλο με κέντρο $Ο$, όπως φαίνεται στο σχήμα. 

Να βρεθεί (σε δευτερόλεπτα😊) το μήκος του διαγωνίου $CD$.

Μάρτιν Γκάρντνερ

Πράσινο : Κόκκινο

Στο παρακάτω σχήμα, το τετράγωνο το τετράγωνο έχει δύο κορυφές επί των δύο ίσων εφαπτόμενων κύκλων και η βάση βρ΄σικεται επί της κοινής εφαπτομένης των κύκλων αυτών.

Να βρεθεί ο λόγος των εμβαδών του τετραγώνου προς το άθροισμα των εμβαδών των δύο κόκκινων τριγώνων.

Ακτίνα συναρτήσει πλευρών

Ακτίνα του περιγγεγραμμένου κύκλου τετραπλεύρου, συναρτήσει των μηκών των πλευρών του.

$R=?$

Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου.

Radius of the incribed circle

$\dfrac{(Red)}{(Green_{max})^2} =?$

@Eduard Razvan Tomciuc

$\dfrac{(Red)}{(Yellow)\times(Blue)} =?$

@Eduard Razvan Tomciuc

Mathematical Circles Library: Circles in a Box (pdf)

Click on the image.

Ισοσκελές μεταξύ των κύκλων και των εξωτερικών εφαπτομένων τους

Δεδομένων δύο εξωτερικών κύκλων, κατασκευάστε ένα ισοσκελές τρίγωνο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. 

Δείξτε ότι το ύψος του τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των ακτίνων των δύο κύκλων.

Κάντε κλικ εδώ.

Περιστρεφόμενοι κύκλοι !

10ος κύκλος

Στο παρακάτω σχήμα, η ακτίνα του πρώτου κύκλου είναι $1$. Να βρεθεί η ακτίνα του $10$ου κύκλου.

 

Μικρό ορθογώνιο

Στο παρακάτω σχήμα, έχουμε ένα κύκλο που είναι εγγεγραμμένος σε ένα τετράγωνο και ένα μικρό ορθογώνιο που σχεδιάζεται επί μιας κορυφής του στο τετράγωνο και μίας άλλης στον κύκλο, όπως φαίνεται στο σχήμα. 

Εάν αυτό το ορθογώνιο έχει διαστάσεις $6$ cm επί $12$ cm, ποια είναι η ακτίνα του κύκλου;

Σημεία της έλλειψης

Η γραφική παράσταση της εξίσωσης 

$(x +1)^2 +(y − 2)^2 = 100 $

είναι ένας κύκλος με κέντρο $(−1, 2)$ και ακτίνα $10$. Η γραφική παράσταση της εξίσωσης 

$10x^2 − 6xy +4x +y^2 = 621$

φαίνεται παρακάτω. 

Το σχήμα αυτής της καμπύλης είναι γνωστό ως έλλειψη.

Να βρείτε όλα τα διατεταγμένα ζεύγη $(x, y)$ μη αρνητικών ακεραίων $x$ και $y$ που ικανοποιούν την εξίσωση 

$10x^ 2 − 6xy +4x +y^ 2 = 621$.

Δια σταθερού σημείου

Δίδονται ένας, σταθερός κατά θέση και μέγεθος κύκλος $\Omega$, κι ένα σταθερό ευθύγραμμο τμήμα $AB$, κατά θέσει και μέγεθος. Σημείο $S$ διαγράφει τον κύκλο που τέμνει τις $SA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB$ στα $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$.

Έστω και η χορδή $CT//AB$. Δείξετε ότι η ευθεία $TD$ διέρχεται δια σταθερού σημείου.

Πηγή: mathematica

Πολικός Αστέρας

Στα άκρα μιας χορδής $AB$ του κύκλου $( O , R )$, φέρω τις εφαπτόμενες, οι οποίες τέμνονται στο P. Φέρω τμήμα $AC\perp BP$, το οποίο τέμνει τον κύκλο στο $S$. 

Φέρω επίσης $SD\perp AB , SE\perp AP$.

1) Να δειχθεί ότι: $SA{\cdot}SD = SB{\cdot}SE$.

2) Να δειχθεί ότι: $SD^{2} = SC{\cdot}SE$.

Πηγή: mathematica

Κίτρινος δακτύλιος

Στο παρακάτω σχήμα έχουμε:

α) $K$ είναι το κέντρο του τετραγώνου $ABCD$

β) Οι κορυφές $A$ και $C$ βρίσκονται στη μεγαλύτερη περιφέρεια του δακτυλίου

γ) Το εμβαδόν του τετραγώνου $ABCD$ είναι $80$ $cm^2$.

Nα βρεθεί το εμβαδόν του κίτρινου δακτυλίου.

$Ο_3Α\perpΑΒ$

Ο μεγάλος κύκλος $(Ο_1, Β)$ περιβάλλει δύο μικρότερους κύκλους με κέντρα $Ο_2$ και $Ο_3$ και ένα ισοσκελές τρίγωνο, του οποίου η βάση βρίσκεται επί της διαμέτρου του μεγάλου κύκλου. 

Όπως φαίνεται στο σχήμα, κάθε γεωμετρικό σχήμα εφάπτεται (και αγγίζει) στα άλλα τρία σχήματα. Τα σημεία $A, O_1, O_2$ και $B$ είναι συνευθειακά. Να δείξετε ότι το τμήμα $Ο_3Α$ είναι κάθετο στη διάμετρο $ΑΒ$.