Ζητούμενο άθροισμα

Ο κύκλος ${\omega }_1$ με ακτίνα $6$ και κέντρο το σημείο $A$ είναι εσωτερικά εφαπτόμενος στον κύκλο ${\omega }_2$ με ακτίνα $15$ στο σημείο $B$. 

Τα σημεία $C$ και $D$ βρίσκονται στον κύκλο ${\omega }_2$ έτσι ώστε το $\overline{BC}$ να είναι διάμετρος του κύκλου ${\omega }_2$ και $\overline{BC}\perp \overline{AD}$. 

Το ορθογώνιο $EFGH$ είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο ${\omega }_1$ έτσι ώστε $\overline{EF}\perp \overline{BC}$, το σημείο $C$ να είναι πιο κοντά στην ευθεία $\overline{GH}$ από ότι στην ευθεία $\overline{EF}$ και το σημείο $D$ να είναι πιο κοντά στην ευθεία $\overline{FG}$ από ότι στην ευθεία $\overline{EH}$, όπως φαίνεται στο σχήμα. 

Τα τρίγωνα $\mathrm{△}DGF$ και $\mathrm{△}CHG$ έχουν ίσα εμβαδά. Το εμβαδόν του ορθογωνίου $EFGH$ είναι ${\displaystyle \frac{m}{n}}$, όπου $m$ και $n$ είναι ακέραιοι θετικοί αριθμοί με το $gcd(m,n)=1$. 

Βρείτε το άθροισμα $m+n$.

AIME 2025