Ο Συμμετρικός Γρίφος των Ριζών

 

Αν $$x=\sqrt{y^2-\frac{1}{16}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{16}}$$ $$y=\sqrt{z^2-\frac{1}{25}}+\sqrt{x^2-\frac{1}{25}}$$ $$z=\sqrt{x^2-\frac{1}{36}}+\sqrt{y^2-\frac{1}{36}}$$ και το άθροισμα $x+y+z$ είναι της μορφής ${\displaystyle \frac{m}{\sqrt{n}}}$, όπου $m$, $n$ είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί και ο $n$ δεν διαιρείται από το τετράγωνο κανενός πρώτου αριθμού, τότε να βρείτε το άθροισμα $m+n$.

Σάρωση για να αποθηκεύσετε ή να κοινοποιήσετε την ανάρτηση

Συνάρτηση σε Μορφή Απόλυτων Τιμών

Έστω η συνάρτηση:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}-2x+1,& x\le -1\\ x+4,& -1<x\le 0\\ -2x+4,& 0<x\le 1\\ 2x,& x>1\end{array}$ 

Αυτή μπορεί να γραφτεί στη μορφή: 

$f(x)=A|x+1|+B|x|+C|x-1|+D$ 

για κάποιους πραγματικούς αριθμούς $A,B,C$ και $D$. 

Προσδιορίστε την τιμή της παράστασης 

$A^2+B^2+C^2+D^2$. 

(A) ${\displaystyle \frac{15}{4}}$ (B) ${\displaystyle \frac{65}{9}}$ (C) ${\displaystyle \frac{35}{4}}$ (D) ${\displaystyle \frac{79}{9}}$ (E) Κανένα από αυτά 

Περιοδικότητα ή Χάος; Τι Κρύβει η Ακολουθία;

Δίνεται ότι: 

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=211,\\ x_2=375,\\ x_3=420,\\ x_4=523,\text{και}\\ x_n=x_{n-1}-x_{n-2}+x_{n-3}-x_{n-4}\text{, όταν}n\ge 5,\end{array}$$ να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

 $x_{531}+x_{753}+x_{975}.$

Eμβαδόν κυρτού εξαγώνου

Δίνονται δύο κύκλοι ${\omega }_1$​ και ${\omega }_2$​, οι οποίοι είναι εξωτερικά εφαπτόμενοι, με κέντρα τα σημεία $O_1$​ και $O_2$​, αντίστοιχα. Ένας τρίτος κύκλος $\mathrm{\Omega }$ διέρχεται από τα σημεία $O_1$​ και $O_2$​, και τέμνει:

• τον κύκλο ${\omega }_2$ στα σημεία $A$ και $D$,
• τον κύκλο ${\omega }_1$​ στα σημεία $B$ και $C$.

Όλα τα σημεία $A,B,C,D,O_1,O_2$​ βρίσκονται πάνω στον κύκλο $\mathrm{\Omega }$, και σχηματίζουν το κυρτό εξάγωνο $AB{O}_{1}CD{O}_2$​.

Εάν ισχύουν:

• $AB=2$,
• $CD=16$,
• $O_1{O}_2=15$,

τότε να βρείτε το εμβαδόν του κυρτού εξαγώνου $AB{O}_{1}CD{O}_2$​.

AIME 2022

🧠 Ακολουθίες Τετραγώνων και Μια Άγνωστη Παράσταση

Αν $$\begin{array}{r}{x}_1+4x_2+9x_3+16x_4+25x_5+36x_6+49x_7=1\\ 4x_1+9x_2+16x_3+25x_4+36x_5+49x_6+64x_7=12\\ 9x_1+16x_2+25x_3+36x_4+49x_5+64x_6+81x_7=123.\end{array}$$ υπολογίστε την τιμή της παράστασης $$L=16x_1+25x_2+36x_3+49x_4+64x_5+81x_6+100x_7.$$

University of North Alabama: Previous Years' Written Exams 2014 - 2025

2025 Written Exams

Without Answers

Geometry

Algebra II

Comprehensive

With Answers

Geometry

Algebra II

Comprehensive

2024 Written Exams

Without Answers

Geometry

Algebra II

Comprehensive

With Answers

Geometry

Algebra II

Comprehensive

Απλοποιώντας τις Τετραγωνικές Ρίζες

Έστω $a$ και $b$ δύο θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $a^2\ge b$. Ποια από τις παρακάτω εκφράσεις είναι ίση με την: $$\sqrt{{\displaystyle \frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}}?$$ 

A) $\sqrt{{\displaystyle \frac{a+b}{2}}}$ 

B) $\sqrt{a-\sqrt{b}}$ 

Γ) $\sqrt{a+\sqrt{b}}$ 

Δ) $\sqrt{\sqrt{a}+b}$ 

E) Κανένα από αυτά 

Το Μυστικό των Βαθμών: Ένα Παιχνίδι Μέσων Όρων

Μια μαθήτρια έχει δώσει τρεις εξετάσεις. Αν η μαθήτρια λάβει την ίδια βαθμολογία στην τέταρτη εξέταση με την πρώτη, τότε ο μέσος όρος και των τεσσάρων εξετάσεων θα ήταν $10$. Αν λάβει την ίδια βαθμολογία με τη δεύτερη εξέταση, τότε ο μέσος όρος θα ήταν $12$. 

Αν λάβει την ίδια βαθμολογία με την τρίτη εξέταση, τότε ο μέσος όρος θα ήταν $14$.

Ποιες ήταν οι βαθμολογίες των τριών πρώτων εξετάσεων;

(A) 2, 10, και 26

(B) 3, 11, και 23

(Γ) 4, 12, και 20

(Δ) 5, 9, και 21

(E) Κανένα από αυτά

19ος Μαθητικός Διαγωνισμός «Παιχνίδι και Μαθηματικά» 2025 - ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ

• 
  Θέματα για τους μαθητές της Ε’ τάξης – Λύσεις των θεμάτων της Ε’ τάξης
• Θέματα για τους μαθητές της ΣΤ’ τάξης – Λύσεις των θεμάτων της ΣΤ’ τάξης

Εύρεση Διαστήματος όπου Συνάρτηση Μηδενίζεται

Έστω 

$f(x)=x^3+x^2-4x-4$ 

και ορίζουμε τη συνάρτηση 

$g(x)=f(x)-\sqrt{(f(x){)}^2}$. 

Για ποιο από τα παρακάτω διαστήματα ισχύει $g(x)=0$ για όλες τις τιμές του $x$ στο διάστημα;

 (A) $[-1,2]$ 

(B) $[2,4]$ 

(C) $[-2,2]$ 

(D) Όλα τα παραπάνω 

E) Κανένα από αυτά

Το μοτίβο των χρωμάτων: Κόκκινο, Κίτρινο, Πράσινο...

Θεωρήστε ένα μεγάλο τετράγωνο διαστάσεων $51\times 51$, το οποίο αποτελείται από τετράγωνα μονάδας. Στο κέντρο του βρίσκεται ένα κόκκινο τετράγωνο μονάδας. 

Γύρω από αυτό σχηματίζονται ομόκεντρα «δαχτυλίδια» από τετράγωνα μονάδας:

• Ο πρώτος δακτύλιος (κίτρινος) αποτελείται από $8$ τετράγωνα,

• ο δεύτερος (πράσινος) από $16$ τετράγωνα,

Bhaskaracharya Mathematics Talent Search Competition - Study Material

• 2024 Round 2 Question Paper
• 2024-25 BMTSC Round 1 Questions with the detailed solution
• 2022-2023 BMTSC_question_paper Round2
• 2022-2023 BMTSC_solutions to question_paper Round2
  
• 2022 Round 2 Question Paper
• 2019 BMTSC_question_paper
• 2019 BMTSC_question_paper solution
• 2020-2021 BMTSC_question_paper with answers

Μια Ιδιόμορφη Συναρτησιακή Ιδιότητα

Έστω ${\mathbb{R}}^{+}$ το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών και έστω $f:{\mathbb{R}}^{+}\to {\mathbb{R}}^{+}$ μια συνάρτηση που ικανοποιεί τις συνθήκες 

$f(1)={\displaystyle \frac{1}{2025}}$ 

και 

$f(x)f(yf(x))=f(x+y)$ 

για όλους τους $x,y\in {\mathbb{R}}_{>0}$. 

Υπολογίστε την τιμή του $f(2026)$. 

(A) ${\displaystyle \frac{1}{2026}}$ 

(B) ${\displaystyle \frac{2}{2025}}$ 

(C) ${\displaystyle \frac{1}{2025\cdot 2026}}$ 

(D) ${\displaystyle \frac{1}{{2025}^2}}$ 

(E) Κανένα από αυτά 

[65] - Algebraic Systems for and from Contests

[7] - Geometric problems from and for Μath Contests

Έστω $ABCD$ ένα ορθογώνιο με $BC=24$. Έστω $X$ σημείο μέσα στο ορθογώνιο τέτοιο ώστε $\mathrm{\angle }AXB={90}^{\circ }$.

Δεδομένου ότι τα τρίγωνα $\mathrm{\Delta }AXD$ και $\mathrm{\Delta }BXC$ είναι και τα δύο οξυγώνια και έχουν περιγεγραμμένους κύκλους ακτίνων $13$ και $15$, αντίστοιχα, να υπολογιστεί το $AB$.

Δύο ωραίες ασκήσεις για διαγωνισμούς

1. Προσδιορίστε όλες τις τριάδες των πραγματικών αριθμών $(a,b,c)$ έτσι ώστε: 

$$\begin{gathered} abc=8 \\ {a}^{2}b+b^{2}a+c^{2}a=73 \end{gathered}$$

$a(bc{)}^2+b(ca{)}^2+c(ab{)}^2=98$

2. Δείξτε ότι αν $a+b+c=0$, τότε $$({\displaystyle \frac{a}{bc}}+{\displaystyle \frac{b}{ca}}+{\displaystyle \frac{c}{ab}})({\displaystyle \frac{bc}{a}}+{\displaystyle \frac{ca}{b}}+{\displaystyle \frac{ab}{c}})=9.$$

JAPAN Today’s Calculation Of Integral 2008

📘 Πατήστε το κουμπί παρακάτω για να ανοίξετε το PDF από το Art of Problem Solving:

➤ Άνοιγμα PDF

Δέκα διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί

Υπάρχουν δέκα διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται διαδοχικά με τους $$9,7,5,3,1,1,3,5,7,9;$$

JAPAN Today’s Calculation Of Integral 2005

📘 Πατήστε το κουμπί παρακάτω για να ανοίξετε το PDF:

➤ Άνοιγμα PDF

Τελευταίο ύψος

Οι εξισώσεις των ευθειών των πλευρών ενός τριγώνου είναι: 

$3411x+5191y-11417=0$ 

$4435x+7239y-10393=0$ 

$7574x-3787y+15451=0$. 

Να βρεθεί η εξίσωση τους ύψους του τριγώνου προς την τελευταία πλευρά.