Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2017

Πηγή: mathematica

Πολλαπλάσια του 24 με ψηφία 2 και 4

Πόσοι $24$-ψήφιοι νούμερα που περιέχουν μόνο τα ψηφία $2$ και $4$ είναι πολλαπλάσια του $24$;

Άθροισμα Αντιστρόφων Ακεραίων με Ψηφία 1 και 2: Φράγματα και Υπολογισμοί

Έστω $A$ το σύνολο των θετικών ακεραίων που περιέχουν μόνο τα ψηφία $1$ ή $2$. Ορίζουμε το ακόλουθο άθροισμα: $$S = \sum_{n \in A} \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{21} + \dfrac{1}{22} + \dfrac{1}{111} + \dots$$

(α) Πόσα στοιχεία του συνόλου $A$ έχουν ακριβώς $n$ ψηφία; Η απάντησή σας πρέπει να εκφράζεται συναρτήσει του $n$.

(β) Δείξτε ότι $S \leq 3$. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το αποτέλεσμα του (α).

(γ) Βρείτε όσο το δυνατόν ακριβέστερα άνω και κάτω φράγματα για το $S$.

[16] - Equations for and from Math Contests

 

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2016

Πηγή:

Επαναληπτική Διαδικασία με Αριθμητικό Μετασχηματισμό

Ένας θετικός ακέραιος αριθμός $a$ εισάγεται (είσοδος) σε μια μηχανή. Αν ο $a$ είναι περιττός, τότε η μηχανή δίνει στην έξοδο τον αριθμό $a+3$. Αν ο $a$ είναι άρτιος, τότε δίνει στην έξοδο τον αριθμό $a+5$. 

Αυτή η διαδικασία μπορεί να επαναληφθεί χρησιμοποιώντας κάθε διαδοχική έξοδο ως επόμενη είσοδο. 

Για παράδειγμα, αν η είσοδος είναι $a=1$ και το μηχάνημα χρησιμοποιηθεί τρεις φορές, τότε η τελική έξοδος θα είναι ο αριθμός $12$.

Αν η είσοδος είναι $a=15$ και η μηχανή χρησιμοποιηθεί $53$ φορές, η τελική έξοδος θα είναι ο αριθμός:

Α. $211$        Β. $218$        Γ. $223$        Δ. $226$        Ε. $231$

25η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 

Λόγος Εισαγωγής στην Οξφόρδη

Αν \( s < t \), ποια είναι η μικρότερη τιμή της παράστασης: \[ K=\dfrac{4s^2 + t^2}{5st} \]

Oxford Math Admission Exam

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2013

Πηγή: mathematica

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2011

Πηγή: mathematica

[36] - Algebraic Inequalities from and for Contests

 

Πιθανές Συμμετοχές σε Τουρνουά Τένις με Ελίτ Παίκτες

Σε ένα τουρνουά τένις στο οποίο συμμετέχουν $Ν$ παίκτες, ο αριθμός των κορυφαίων παικτών δίνεται από τον τύπο:

όπου $[ x ]$ σημαίνει τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό μικρότερο ή ίσο του $x$.

Εάν στο εν λόγω τουρνουά υπάρχουν $19$ παίκτες ελίτ και ο συνολικός αριθμός παικτών είναι μικρότερος από $120$, υπολογίστε το άθροισμα όλων των πιθανών τιμών του $N$.

Το ημερήσιο διάβασμα του Γιάννη

Ο Γιάννης διάβασε τον περασμένο Νοέμβριο ένα πολυσέλιδο λογοτεχνικό βιβλίο. Κρατούσε σημειώσεις για το πόσες νέες σελίδες διάβαζε κάθε μέρα και μας έδωσε τα εξής στοιχεία για το μέσο όρο των νέων σελίδων που διάβαζε στα παρακάτω χρονικά διαστήματα:

• Από τις $1$ μέχρι και τις $20$ Νοεμβρίου ο μέσος όρος ήταν $304.
• Από τις $11$ μέχρι και τις $25$ Νοεμβρίου ο μέσος όρος ήταν $20$.
• Από τις $16$ μέχρι και τις $30$ Νοεμβρίου ο μέσος όρος ήταν $10$.

(α) Να προσδιορίσετε τον μέγιστο και τον ελάχιστο δυνατό αριθμό σελίδων του βιβλίου.

(β) Αν δίνεται επιπλέον ότι από τις $16$ μέχρι και τις 420$ Νοεμβρίου ο μέσος όρος των νέων σελίδων που διάβαζε ήταν $20$, να βρείτε πόσες ακριβώς σελίδες είχε το βιβλίο.

Διαγωνισμός «Ευκλείδης», Β΄ Λυκείου 2020

Harvard - MIT Math Tournament (ΗΜΜΤ): Problems, Solutions and Results

 

Click on the image.

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2008

Πηγή: mathematica

An integral limit from Putnam

 

All American Mathematics Competitions: AMC 8/10/12/AHSME, AIME, USAMO, USAJMO, PUTNAM | PROBLEMS AND SOLUTIONS

Click on the image.

[54] - Algebraic Systems from and for Contests

 

Korea Math Olympiad Problem 2023

Να λυθεί η εξίσωση:

[53] - Algebraic Systems from and for Contests

[52] - Algebraic Systems from and for Contests