Μοιρομετρήσεις

Στο παρακάτω σχήμα, είναι 

$\angle DOC = 36^\circ$, $\angle AOC = 90^\circ$, 

$\angle AOB = 4x$, $\angle FOE = 5x$. 

Να βρεθούν οι μοίρες $x$.

Kyiv Mathematical Olympiad 2025, Round 1

Σύγκριση μεγάλων δυνάμεων

Να συγκριθούν οι αριθμοί:

$a+b+c+d=?$

A-Start Math Tournament 2016

[14] - Algebraic Equations for Contests

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2022

   

Πηγή: mathematica

[45] - Algebraic Systems for Contests

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2010

Πηγή: mathematica

Romanian Mathematical Olympiad RMC 1996 - PROBLEMS and SOLUTIONS

Click on the image.

[31] - Algebraic Inequalities for Contests

16ος Ημαθιώτικος Μαθητικός Διαγωνισμός στα Μαθηματικά «Κ. ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ» 2025 - ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ

[44] - Algebraic Systems for Contests

Romanian Mathematical Olympiad RMC 2001 - PROBLEMS and SOLUTIONS

Click on the image.

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία: 85ος Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός “ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ” 2025 - ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ

Κάντε κλικ εδώ, για να δείτε τις λύσεις των θεμάτων.

Δεν υπάρχουν !

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν πολυώνυμα \( P(x) \) και \( Q(x) \), με \( Q(x) \neq 0 \), που να ικανοποιούν την εξίσωση: \[ \frac{P(x)}{Q(x)} = \sqrt{x^{2018} + 2017} \] για κάθε πραγματικό \( x \).

[43] - Algebraic Systems for Contests

 

[42] - Algebraic Systems for Contests

[41] - Algebraic Systems for Contests

 

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία: Προκριματικός Διαγωνισμός 2001

Από socrates

Eric Larsen Math Olympiad 2012 [Shortlists & Solutions]

Algebra

1. Let $x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3$ be nonzero real numbers satisfying $x_1+x_2+x_3=0$, $y_1+y_2+y_3=0$. Prove that $\dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)}}+\dfrac{x_2x_3+y_2y_3}{\sqrt{(x_2^2+y_2^2)(x_3^2+y_3^2)}}+$ $+\dfrac{x_3x_1+y_3y_1}{\sqrt{(x_3^2+y_3^2)(x_1^2+y_1^2)}} \ge -\dfrac32.$
   
2. Let $a,b,c$ be three positive real numbers such that $ a \le b \le c$ and $a+b+c=1$. Prove that $\dfrac{a+c}{\sqrt{a^2+c^2}}+\dfrac{b+c}{\sqrt{b^2+c^2}}+$ $+\dfrac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}} \le \dfrac{3\sqrt{6}(b+c)^2}{\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}.$
3. Prove that any polynomial of the form $1+a_nx^n + a_{n+1}x^{n+1} + \cdots + a_kx^k$ ($k\ge n$) has at least $n-2$ non-real roots (counting multiplicity), where the $a_i$ ($n\le i\le k$) are real and $a_k\ne 0$.

[30] - Algebraic Inequalities for Contests