Δύο ωραίες ασκήσεις για διαγωνισμούς

1. Προσδιορίστε όλες τις τριάδες των πραγματικών αριθμών $(a,b,c)$ έτσι ώστε: 

$$\begin{gathered} abc=8 \\ {a}^{2}b+b^{2}a+c^{2}a=73 \end{gathered}$$

$a(bc{)}^2+b(ca{)}^2+c(ab{)}^2=98$

2. Δείξτε ότι αν $a+b+c=0$, τότε $$({\displaystyle \frac{a}{bc}}+{\displaystyle \frac{b}{ca}}+{\displaystyle \frac{c}{ab}})({\displaystyle \frac{bc}{a}}+{\displaystyle \frac{ca}{b}}+{\displaystyle \frac{ab}{c}})=9.$$

JAPAN Today’s Calculation Of Integral 2008

📘 Πατήστε το κουμπί παρακάτω για να ανοίξετε το PDF από το Art of Problem Solving:

➤ Άνοιγμα PDF

Δέκα διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί

Υπάρχουν δέκα διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται διαδοχικά με τους $$9,7,5,3,1,1,3,5,7,9;$$

JAPAN Today’s Calculation Of Integral 2005

📘 Πατήστε το κουμπί παρακάτω για να ανοίξετε το PDF:

➤ Άνοιγμα PDF

Τελευταίο ύψος

Οι εξισώσεις των ευθειών των πλευρών ενός τριγώνου είναι: 

$3411x+5191y-11417=0$ 

$4435x+7239y-10393=0$ 

$7574x-3787y+15451=0$. 

Να βρεθεί η εξίσωση τους ύψους του τριγώνου προς την τελευταία πλευρά.

Κατανομή ριζών σε διαστήματα

Να διερευνήσετε πώς κατανέμονται οι ρίζες της εξίσωσης $$(x^2-x\tan v{)}^2\cdot x^2-\frac{1}{4{\cos }^{6}v}=0$$ στα διαστήματα $(-\mathrm{\infty },0)$, $(0,\tan v)$ και $(\tan v,\mathrm{\infty })$, όταν $v$ είναι οξεία γωνία.

[64] - Algebraic Systems from and for Contests

 

JAPAN Today’s Calculation Of Integral 2013

📘 Πατήστε το κουμπί παρακάτω για να ανοίξετε το PDF από το Art of Problem Solving:

➤ Άνοιγμα PDF

[42] - Algebraic Inequalities from and for Contests

Έστω $a,b,c$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι: $${\displaystyle \frac{a\sqrt{a}}{2a+b}+\frac{b\sqrt{b}}{2b+c}+\frac{c\sqrt{c}}{2c+a}\le \frac{(a+b+c)\sqrt{a+b+c}}{3\sqrt{3}\sqrt[3]{abc}}.}$$

[63] - Algebraic Systems from and for Contests

[41] - Algebraic Inequalities from and for Contests

Δείξτε ότι για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x>0$ και $x\ne 1$, ισχύει: $${\displaystyle \frac{1-\sqrt[3]{x}}{1-x}}\le {\displaystyle \frac{\sqrt[3]{1+x}}{1+x}}.$$

[8] - Geometric problems from and for Μath Contests

Από ένα σημείο $O$ στο εσωτερικό ενός τριγώνου $AB\Gamma$, φέρουμε κάθετα ευθύγραμμα τμήματα $OM$, $ON$, και $OP$ στις πλευρές $AB$, $B$, και $A$, αντίστοιχα. 

Αν $AM=3$, $MB=5$, $BN=4$, $N\Gamma =2$ και $\Gamma P=4$, βρείτε το $PA$. 

E. Tsinovi

[62] - Algebraic Systems from and for Contests

 

Ημίτονα και Ορίζουσα

Να αποδειχθεί ότι $$\left|\begin{array}{ccc}\sin (x+y)& \sin (2x+y)& \sin (3x+y)\\ \sin (4x+y)& \sin (5x+y)& \sin (6x+y)\\ \sin (7x+y)& \sin (8x+y)& \sin (9x+y)\end{array}\right|=0.$$

[6] - Geometric problems from and for Μath Contests

Έστω $P$ σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου $\mathrm{\Delta }ABC$ τέτοιο ώστε $\mathrm{\angle }ABP=\mathrm{\angle }ACP$. Δεδομένου ότι $AB=6$, $A{C}^{\prime }=8$, $BC=7$ και ${\displaystyle \frac{BP}{PC}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$, να υπολογιστεί ο λόγοε $[{\displaystyle \frac{BP}{ABC}}]$. (το $[XYZ]$ συμβολίζει το εμβαδόν του $\mathrm{\Delta }XYZ$). 

Harvard MIT Math Tournament 2025 

Παράγοντες, άθροισμα και ίσες δυνάμεις

Έστω ότι $a,b,c,d$ είναι ακέραιοι τέτοιοι ώστε 

$ab=cd$. 

Να αποδείξετε ότι το άθροισμα 

$a^{1992}+b^{1992}+c^{1992}+d^{1992}$ 

είναι πάντα σύνθετος αριθμός.

Ο Διαγωνισμός Κανγκουρό: Ένας Μαθηματικός Διαγωνισμός που Κέρδισε τον Κόσμο

Η Γέννηση του Κανγκουρό (1991-1994)

Η διδασκαλία των μαθηματικών αποτελεί διαχρονική πρόκληση για τους εκπαιδευτικούς παγκοσμίως. Αναγνωρίζοντας τη σημασία τους τόσο στην καθημερινή ζωή όσο και σε άλλους επιστημονικούς τομείς, οι μαθηματικοί αναζητούν τρόπους να εμπνεύσουν ενθουσιασμό στους μαθητές.

Στην Αυστραλία, τη δεκαετία του 1970, ξεκίνησε μια πρωτοβουλία που άλλαξε τα δεδομένα: ένας διαγωνισμός πολλαπλής επιλογής, ο Διαγωνισμός Μαθηματικών της Αυστραλίας, γεννήθηκε το 1978. Σύντομα, η συμμετοχή εκτοξεύτηκε, φτάνοντας το 80% των σχολείων της χώρας μέσα σε λίγα χρόνια.

[40] - Algebraic Inequalities from and for Contests

Αν 

• $K=a+b$
• $L=\sqrt{a^2{\cos }^2\alpha +b^2{\sin }^2\alpha }+\sqrt{a^2{\sin }^2\alpha +b^2{\cos }^2\alpha }$
• $M=\sqrt{2(a^2+b^2)}$ 

δείξτε ότι $$K\le L\le M$$ για όλους τους $a,b\ge 0$ και όλες τις γωνίες $\alpha$.

Ψηφιακοί υπολογισμοί

 

Cambridge International A Level Compendium: 2001–2023

Información general Download

2001 – 2008 Download

2009 – 2012 Download

2013 – 2015 Download

2016 – 2018 Download

2019 – 2023 Download