Κωνικές τομές και εκκεντρότητα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου: Οκτώ ασκήσεις στο κύκλο

Άσκηση 1

Δίνεται η εξίσωση $x^2+y^2+4\lambda x-2y+40=0,\lambda \in \mathbb{R}$.

1. Να βρείτε τις τιμές του $\lambda \in \mathbb{R}$, ώστε η εξίσωση να παριστάνει κύκλο.
2. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει κύκλος με την πιο πάνω εξίσωση που να έχει κέντρο το σημείο $(-1,1)$.

Άσκηση 2

Να αποδείξετε ότι αν η ευθεία $y=\lambda x+c$ εφάπτεται στον κύκλο με εξίσωση $(x-\alpha {)}^2+(y-\beta {)}^2=R^2$, τότε $(\alpha \lambda -\beta +c{)}^2=R^2+{\lambda }^2{R}^2$.

Άσκηση 3

Δίνεται ο κύκλος με εξίσωση $x^2+y^2=10$. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου, οι οποίες:

1. είναι παράλληλες με την ευθεία $x+3y=2$.
2. είναι κάθετες με την ευθεία $x=1$.
3. διέρχονται από το σημείο $A(0,10)$.
4. που σχηματίζουν γωνία ${45}^{\circ }$ με τον άξονα των τετμημένων.

Τεταγμένη σημείου

Να βρεθεί η τιμή του $m$.

 

@kazakov_yu

Συντεταγμένες Σημείου Τομής

Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου τομής;

Μαθηματικά κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου: Μεθοδολογία και Επιλεγμένες Ασκήσεις στην Ευθεία

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Πηγή: bakouros

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ: 32+ Διαγωνίσματα από το φροντιστήριο «συν»

Σεπτέμβριος 2015

Νοέμβριος 2015

Ιανουάριος 2016

Μάρτιος 2016

Απρίλιος 2016

Οκτώβριος 2016

Ιανουάριος 2017

Μάρτιος 2017

Νοέμβριος 2017

Ιανουάριος 2018

Μάρτιος 2018

Νοέμβριος 2018

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου – Μεθοδολογία και ασκήσεις στην Ευθεία

Πηγή: bakouros

Οι συντεταγμένες του Τ

Η παραβολή με εξίσωση $y=x2–ax–a$ , με $a>0$, τέμνει τον άξονα $Ox$  στα σημεία $P$  και $Q$ και τον άξονα $Oy$ στο σημείο $R$.

Έστω $S$ ο κύκλος που διέρχεται από τα $P,Q$  και $R$ και έστω $T$  το άλλο σημείο τομής του κύκλου $S$  με τον άξονα $Ox$.

Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου ${\rm T}$.

Επαναληπτικό διαγώνισμα διάρκειας 2 ωρών από την ομάδα του Ασκησόπολις στα Διανύσματα

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Ευθεία και παραβολή

Η ευθεία $y=mx+k$ εφάπτεται της παραβολής $y=a{x}^2+bx+c$, (όπου $a\ne 0$) στο σημείο $(p,q)$. 

Αν $m=8a^2+4ab+12ac+b$, να βρεθεί το $p$, συναρτήσει των $a,b$ και $c$.

Συντεταγμένα αθροίσματα

Να βρεθεί η κλίση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία 

${\rm A}(1-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{16}}-{\displaystyle \frac{1}{64}}+...,1+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{16}}+{\displaystyle \frac{1}{64}}+...)$ 

και 

${\rm B}(1-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{8}}+...,1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}+...)$.

Μαθηματικά κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου: Διαγώνισμα στα Διανύσματα (1ο κεφάλαιο)

 Του Σπύρου Γιαννάκαρου  

Πηγή: 

Εξίσωση ευθείας

Στο παρακάτω σχήμα, το τετράπλευρο $ABCD$ είναι τετράγωνο. 

Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας $OC$.

Τεστ στον πολλαπλασιασμό αριθμού επί διάνυσμα

Πηγή: bakouros

Ενδεικτικά διαγωνίσματα 1ου τετραμήνου στα Μαθηματικά για όλες τις τάξεις του Γενικού Λυκείου

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Ελεύθερο υλικό για όλα τα Μαθηματικά του Λυκείου

Στους παρακάτω συνδέσμους που βρίσκονται στην ιστοσελίδα της Ηλεκτρονικής Τάξης (e-class), υπάρχει αρκετό ελεύθερο υλικό για όλα τα Μαθηματικά του Λυκείου.

Τα Μαθήματα είναι ελεύθερα και δεν χρειάζονται κωδικούς για την πρόσβαση σε αυτά.

Απευθύνονται σε όλους τους μαθητές των Γενικών Λυκείων. Αποτελούνται από ερωτήσεις σωστού/λάθους, πολλαπλής επιλογής και αντιστοίχισης.

Επίσης υπάρχουν, κυρίως στην Γ΄ Λυκείου και πιλοτικές ασκήσεις ανάπτυξης.

Ο μαθητής κάνοντας κάθε τεστ έχει άμεσα την βαθμολογία του.

Οι σύνδεσμοι ανά τάξη είναι:

Άθροισμα τεταγμένων

Οι ευθείες 

$y=x,y=ax$ και $y=bx+c$ 

όπου $b<a<0$ και $c>0$, τεμνόμενες σχηματίζουν ένα ισόπλευρο τρίγωνο εμβαδού $1$. 

Να βρθει το άθροισμα των τεταγμένων των κορυφών του τριγώνου.

Φωτεινή ακτίνα

Ένας καθρέφτης $AB$ τοποθετείται κατά μήκος της γραμμής $𝑦=10𝑥$. Μια φωτεινή ακτίνα $PQ$ έρχεται κατά μήκος της γραμμής $𝑦=5𝑥+40$ και χτυπά τον καθρέφτη στο σημείο $Q$. Η ανακλώμενη ακτίνα $QR$ είναι τέτοια που η γωνία $PQA$ είναι ίση με τη γωνία $RQB$.

α) Να βρείτε την εξίσωση της ανακλώμενης ακτίνας φωτός $QR$. 

β) Βρείτε κατά προσέγγιση την γωνία $PQR$ μεταξύ της προσπίπτουσας και των ανακλώμενης ακτίνας.

Οριοθέτηση ορθογωνίου

Μια παραβολή με κατακόρυφο άξονα συμμετρίας εφάπτεται στις τρεις ευθείες $y=2x+3$, $y=x+2$ και $y=-x+6$. 

Να βρεθεί η το μέγιστο εμβαδόν ενός ορθογωνίου που εγγράφεται στην περιοχή που οριοθετείται από αυτή την παραβολή και τον άξονα $x$, όπου η βάση του ορθογωνίου βρίσκεται πάνω στον άξονα $x$ και οι δύο πάνω κορυφές του βρίσκονται πάνω στην παραβολή.

Τέσσερις ευθείες

Ο Πυθαγόρας σχεδιάζει τις ευθείες $y=ax+1$ και $y=2ax+3$, οι οποίες τέμνονται στο σημείο $A$. μετά σχεδιάζει τις ευθείες $y=3ax+6$ και $y=4ax+10$, οι οποίες τέμνονται στο σημείο $B$. 

Ο αριθμός $a$ είναι θετικός ακέραιος. Aν ${\rm A}{\rm B}={\displaystyle \frac{\sqrt{629}}{5}}$, να βρεθεί ο αριθμός $a$.