Μαθηματικά κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου: Οκτώ ασκήσεις στο κύκλο

Άσκηση 1

Δίνεται η εξίσωση $x^2+y^2+4\lambda x-2y+40=0,\lambda \in \mathbb{R}$.

1. Να βρείτε τις τιμές του $\lambda \in \mathbb{R}$, ώστε η εξίσωση να παριστάνει κύκλο.
2. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει κύκλος με την πιο πάνω εξίσωση που να έχει κέντρο το σημείο $(-1,1)$.

Άσκηση 2

Να αποδείξετε ότι αν η ευθεία $y=\lambda x+c$ εφάπτεται στον κύκλο με εξίσωση $(x-\alpha {)}^2+(y-\beta {)}^2=R^2$, τότε $(\alpha \lambda -\beta +c{)}^2=R^2+{\lambda }^2{R}^2$.

Άσκηση 3

Δίνεται ο κύκλος με εξίσωση $x^2+y^2=10$. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου, οι οποίες:

1. είναι παράλληλες με την ευθεία $x+3y=2$.
2. είναι κάθετες με την ευθεία $x=1$.
3. διέρχονται από το σημείο $A(0,10)$.
4. που σχηματίζουν γωνία ${45}^{\circ }$ με τον άξονα των τετμημένων.

Άσκηση 4

Δίνεται ο κύκλος με εξίσωση $(C):x^2+y^2+2gx+2fy+1=0$ με κέντρο $K(1,4)$.

1. Να δείξετε ότι ο κύκλος $(C)$ εφάπτεται του άξονα των $x^{\prime }x$.
2. Αν $(h,k)$ είναι το σημείο επαφής μιας άλλης εφαπτομένης του κύκλου που άγεται από το σημείο $(3,0)$, να δείξετε ότι $h-2k=1$.

Άσκηση 5

Δίνεται κύκλος με εξίσωση $x^2+y^2-4x-8y-80=0$. Να βρείτε:

1. το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου.
2. τις τιμές του $\alpha \in \mathbb{R}$, ώστε ο κύκλος να αποκόπτει χορδή μήκους 16 μονάδων από την ευθεία $3x-4y=\alpha$.

Άσκηση 6

Δίνεται ο κύκλος με εξίσωση $x^2+y^2-6x+1=0$.

1. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που διέρχονται από το σημείο $M(0,1)$.
2. Αν $A,B$ είναι τα σημεία επαφής των πιο πάνω εφαπτομένων με τον κύκλο, να βρείτε το εμβαδόν του $AMBK$, όπου $K$ το κέντρο του κύκλου.

Άσκηση 7

Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου $\mathrm{\Sigma }$, το οποίο βρίσκεται πάνω στην ευθεία $(ϵ):x+2y=0$ και έχει δύναμη ${\mathrm{\Delta }}_K(\mathrm{\Sigma })=100$ ως προς τον κύκλο $(\kappa )$ με εξίσωση $x^2+y^2=25$.

Άσκηση 8

Να βρείτε την εξίσωση κύκλου που περνά από την αρχή των αξόνων, το κέντρο του βρίσκεται στο α' τεταρτημόριο των αξόνων, αποκόπτει χορδή μήκους 4 μονάδων από τον άξονα $x^{\prime }x$ και υπάρχει σημείο $\mathrm{\Sigma }(-1,2)$ με δύναμη μιας μονάδας ως προς αυτόν.

Από το σχολικό βιβλίο των μαθηματικών κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου της Κύπρου.